2022-2023学年广东省深圳市龙岗区德琳学校高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙岗区德琳学校高一（下）期中数学试卷，共49页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）（2022•平罗县校级三模）已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则
A．B．C．D．
2．（5分）（2022春•湖北期中）设集合，，则
A．B．，C．，D．
3．（5分）（2023春•西青区期末）如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积
A．B．1C．D．
4．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）计算：
A．B．C．D．
5．（5分）（2024•九龙坡区校级模拟）在内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是
A．B．
C．D．
6．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）的内角，，的对边分别为，，，，则
A．B．3C．D．2
7．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，为的中点，为的中点，设，，以向量、为基底，则可以表示为
A．B．C．D．
8．（5分）（2023春•榆林期末）在长方体中，，，则该长方体的外接球表面积为
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2023•黄州区校级二模）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
10．（5分）（2022•苏州模拟）关于平面向量，下列说法中不正确的是
A．若且，则B．
C．若，且，则D．
11．（5分）（2022•天津模拟）将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是
A．的周期为
B．的一条对称轴为
C．是奇函数
D．在区间，上单调递增
12．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，下列结论正确的是
A．是钝角三角形B．
C．若则的面积是D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知，，若与共线，则 ．
14．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，在正三棱台中，上底面是边长为2的等边三角形，下底面是边长为4的等边三角形，侧面是高为3的等腰梯形，则该三棱台的体积为 ．
15．（5分）（2023春•滨州期末）如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
16．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
17．（10分）（2023春•龙岗区校级期中）已知，．
（1）求；
（2）求在方向上的投影向量（用坐标表示）．
18．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）已知函数的最小正周期为．
（1）求单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域．
19．（12分）（2023春•仙游县校级期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
20．（12分）（2010•天河区校级模拟）已知函数，其中．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并给予证明；
（3）求使的取值范围．
21．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．若 ， ，求：
（1）仓库的容积（含上下两部分）；
（2）仓库的表面积（不含底面）．
22．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积．
（1）求；
（2）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，，求的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市龙岗区德琳学校高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．（5分）（2022•平罗县校级三模）已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则
A．B．C．D．
【答案】
【考点】复数的运算
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：复数在复平面内所对应点的坐标为，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2．（5分）（2022春•湖北期中）设集合，，则
A．B．，C．，D．
【答案】
【考点】补集及其运算
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算
【分析】利用补集的定义求解即可．
【解答】解：，，
，．
故选：．
【点评】本题考查补集的求法，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）（2023春•西青区期末）如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积
A．B．1C．D．
【答案】
【考点】斜二测法画直观图
【专题】计算题
【分析】由题意求出直观图中的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．
【解答】解：由题意正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以，对应原图形平行四边形的高为：，
所以原图形的面积为：．
故选：．
【点评】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．
4．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）计算：
A．B．C．D．
【答案】
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；二倍角的三角函数
【专题】数学运算；计算题；三角函数的求值；综合法；转化思想
【分析】利用二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了二倍角公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
5．（5分）（2024•九龙坡区校级模拟）在内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】函数的图象与图象的变换
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．
【解答】解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除，，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除．
能反映血液中药物含量随时间变化的图象是．
故选：．
【点评】本题考查了直线与指数函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）的内角，，的对边分别为，，，，则
A．B．3C．D．2
【答案】
【考点】正弦定理
【专题】方程思想；转化思想；综合法；计算题；解三角形；数学运算
【分析】由正弦定理化简已知等式可得，进而求出的值，再根据余弦定理求解的值即可．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理，可得，所以，所以，
所以由余弦定理，可得
．
故选：．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，为的中点，为的中点，设，，以向量、为基底，则可以表示为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量的基本定理
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：因为为的中点，
则，
因为为的中点，
则．
所以，
，，
则．
故选：．
【点评】本题考查向量的四则运算，向量在几何中的应用，考查计算能力，属于基础题．
8．（5分）（2023春•榆林期末）在长方体中，，，则该长方体的外接球表面积为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【专题】转化法；数学运算；立体几何；转化思想
【分析】根据长方体的对角线是外接球的直径，由此求出外接球的表面积．
【解答】解：长方体中，，，
所以长方体的对角线，
所以外接球的直径为，
所以外接球的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查了长方体的结构特征应用问题，是基础题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2023•黄州区校级二模）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算
【分析】根据圆柱、圆锥 侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案．
【解答】解：选项，圆柱的侧面积为，故选项错误．
选项，圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为，故选项错误．
选项，球的表面积为，
所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故选项正确．
选项，圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
球的体积为，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了圆柱、圆锥、球的表面积及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属基础题．
10．（5分）（2022•苏州模拟）关于平面向量，下列说法中不正确的是
A．若且，则B．
C．若，且，则D．
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用
【专题】对应思想；分析法；平面向量及应用；逻辑推理
【分析】利用向量数量积所具备的相关性质逐一进行判断即可．
【解答】解：对于，若，因为与任意向量平行，所以不一定与平行，故错；
对于，向量数量积满足分配律，故对；
对于，向量数量积不满足消去率，故错；
对于，是以为方向的向量，是以为方向的向量，故错．
故选：．
【点评】本题考查命题真假性的判断，掌握向量的相关性质即可，属于基础题．
11．（5分）（2022•天津模拟）将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是
A．的周期为
B．的一条对称轴为
C．是奇函数
D．在区间，上单调递增
【答案】
【考点】函数的图象变换
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】首先利用函数的图象的平移变换求出函数的关系式为，进一步利用函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
故对于：函数的最小正周期为，故正确；
对于：当时，，故错误；
对于：由于函数，故错误；
对于：当，时，，，故函数在该区间上单调递增，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
12．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，下列结论正确的是
A．是钝角三角形B．
C．若则的面积是D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；解三角形；正弦定理
【专题】计算题；转化思想；数学运算；逻辑推理；解三角形；综合法；三角函数的求值
【分析】直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式的应用及向量的夹角运算判断、、、的结论．
【解答】解：在中，已知，
设，，，
对于：利用正弦定理：，
所以，与没有关系，故错误；
对于：利用余弦定理，即，故正确；
对于：由于，，，，
所以，
故，，，
利用余弦定理，所以，故，故正确；
对于：由于，故为钝角，所以是钝角三角形，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）已知，，若与共线，则 ．
【答案】．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；向量相等与共线
【专题】数学运算；转化思想；平面向量及应用；转化法
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：，，与共线，
则，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
14．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）如图，在正三棱台中，上底面是边长为2的等边三角形，下底面是边长为4的等边三角形，侧面是高为3的等腰梯形，则该三棱台的体积为 ．
【答案】．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】转化思想；数学运算；综合法；立体几何
【分析】取的中点，的中点，设的中心为，的中心为，连接，过点作，根据已知数据可求得的长，即为棱台的高，再由棱台的体积公式求解即可．
【解答】解：取的中点，的中点，连接，，，
设的中心为，的中心为，连接，过点作，垂足为，如图所示，
易知为该三棱台的高，且四边形为矩形，
依题意，，
则，
又，
则，
又，
所以该三棱台的体积为．
故答案为：．
【点评】本题考查棱台的结构特征以及棱台的体积计算，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（5分）（2023春•滨州期末）如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【考点】异面直线及其所成的角
【专题】计算题；数形结合；综合法；空间角；逻辑推理
【分析】推导出，从而是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：在正方体中，
，依次是和的中点，
，是异面直线与所成角（或所成角的补角），
设正方体中棱长为2，则，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则 1 ．
【答案】1．
【考点】正弦定理
【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算
【分析】根据已知条件，推得，再结合三角函数的诱导公式，即可求解．
【解答】解：，，
则，
故．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
17．（10分）（2023春•龙岗区校级期中）已知，．
（1）求；
（2）求在方向上的投影向量（用坐标表示）．
【答案】（1）．
（2），．
【考点】投影向量；平面向量数量积的性质及其运算
【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；方程思想；平面向量及应用
【分析】（1）根据题意，求出的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；
（2）根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，，，
则，故．
（2）根据题意，，，
则，，
则在方向上的投影向量为，．
【点评】本题考查平面向量数量积的计算，涉及投影向量的计算，属于基础题．
18．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）已知函数的最小正周期为．
（1）求单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域．
【答案】（1）单调递增区间为，，．
（2）值域为，．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性
【专题】数学运算；三角函数的图象与性质；定义法；对应思想
【分析】（1）根据三角函数最小正周期的定义求出，求出的解析式，根据函数单调性进行求解即可．
（2）求出角的范围，结合正弦函数的最值性质进行求解即可．
【解答】解：（1）函数的最小正周期为且，
，即，得，
则，
由，，
得，，得，，
即函数的单调递增区间为，，．
（2），，，，，
当或时，函数取得最小值，函数的最小值为，
当时，函数取得最大值，函数的最大值为，
即函数的值域为，．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，根据周期公式求出函数的解析式，利用函数的单调性的性质和函数的最值性质进行求解是解决本题的关键，是基础题．
19．（12分）（2023春•仙游县校级期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【考点】平面与平面平行；直线与平面平行
【专题】空间位置关系与距离；转化法；转化思想；逻辑推理；直观想象
【分析】（1）连接，则，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；
（2）连接，利用面面平行的判定定理，即可证明结论．
【解答】证明：（1）连接，如图所示：
，分别是，的中点，
，
又平面，平面，
直线平面；
（2）连接，如图所示：
，分别是，的中点，
，
又平面，平面，
平面，
由（1）得平面，且平面，平面，，
平面平面．
【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查转化思想，考查逻辑推理能力和直观想象，属于中档题．
20．（12分）（2010•天河区校级模拟）已知函数，其中．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并给予证明；
（3）求使的取值范围．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；对数函数的定义域；对数函数图象与性质的综合应用
【专题】函数的性质及应用
【分析】（1）由函数的解析式可得，即，由此求得故函数的定义域．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足，可得函数为奇函数．
（3）由 可得，即，由此求得的取值范围．
【解答】解：（1）由函数（其中，可得，即，
即，解得，故函数的定义域为．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足，
故函数为奇函数．
（3）由 可得，即，，
解得，故所求的的取值范围为．
【点评】本题主要考查对数函数的定义域，函数的奇偶性的判断，解分式不等式，属于中档题．
21．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．若 ， ，求：
（1）仓库的容积（含上下两部分）；
（2）仓库的表面积（不含底面）．
【答案】（1）312；
（2）．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算
【分析】（1）求出四棱锥的体积正四棱柱的体积，然后求解几何体的体积即可；
（2）利用勾股定理求出，进而求出△的面积，然后求解仓库的表面积（不含底面）．
【解答】解：（1），，
，
，
，
仓库的容积；
（2），，
，
△的面积为，
仓库的表面积．
【点评】本题考查几何体的体积和表面积的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
22．（12分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积．
（1）求；
（2）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，，求的取值范围．
【考点】：余弦定理
【专题】34：方程思想；58：解三角形；：转化法
【分析】（1）结合三角形的面积公式建立方程进行求解即可
（2）结合三角形的面积公式以及正弦定理进行化简求解即可
【解答】解：（1）的面积．
，
即，
即，
，．
（2）和的面积分别为，，
由正弦定理得，
，，，
即，．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及正弦定理是解决本题的关键．
考点卡片
1．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．函数的图象与图象的变换
【知识点的认识】
函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
图象的变换
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
【命题方向】
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
5．对数函数的定义域
【知识点的认识】
一般地，我们把函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．
6．对数函数图象与性质的综合应用
【知识点的认识】
1、对数函数的图象与性质：
2、由对数函数的图象确定参数的方法
已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．
【解题方法点拨】
1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法
（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；
（2）将同底对数的和、差、倍合并；
（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；
（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．
2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点
（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
（2）对数函数y＝lg ax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．
（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．
【命题方向】
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
（2）解对数不等式：
形如lg ax＞lg ab的不等式，借助y＝lg ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如lg ax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
7．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
8．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
9．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
10．二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cs2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
11．三角函数的恒等变换及化简求值
【知识点的认识】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
【解题方法点拨】
例：sin60°cs（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cs（﹣570°）的值等于
解：，，，，
∴原式＝．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cs（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cs30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【命题方向】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
12．向量相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
15．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
16．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
17．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
20．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
21．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
22．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
23．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
24．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
25．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
26．斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
27．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
28．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
29．平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
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a＞1
0＜a＜1
图象


定义域
（0，+∞）
值域
R
定点
过点（1，0）
单调性
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
函数值正负
当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0
当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝