山西省长治市第二中学校2024届高三高考模拟考试一模数学试题及答案
展开一、单选题
1.已知,则( )
A.B.C.D.2
2.已知集合,则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
3.已知,则“”是“的二项展开式中常数项为60”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4.如图,点P,A,B均在边长为1的小正方形组成的网格上,则( )
A.-8B.-4C.0D.4
5.研究人员用Gmpertz数学模型表示治疗时长(月)与肿瘤细胞含量的关系,其函数解析式为,其中为参数.经过测算,发现(为自然对数的底数).记表示第一个月,若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的,那么的值为( )
A.B.C.D.
6.小李买了新手机后下载了个APP,已知手机桌面上每排可以放4个APP,现要将它们放成两排,若每排都有这4个中的APP,且和放在同一排,则不同的排列方式有( )
A.288种B.336种C.384种D.672种
7.已知函数的部分图象如图所示,若方程在上有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8.若,则的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多选题
9.下列说法正确的是( )
A.68,60,62,78,70,84,74,46,73,81这组数据的第80百分位数是78
B.若一组数据的方差为0.2,则的方差为1
C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性
D.若变量,则
10.如图,已知圆台的下底面直径,母线,且,P是下底面圆周上一动点,则( )
A.圆台的表面积为B.圆台的体积为
C.三棱锥体积的最大值为D.的最大值为6
11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,如星形线、卵形线、蔓叶线等,心形线也是其中一种,因其形状像心形而得名,其平面直角坐标方程可表示为,图形如图所示.当时,点在这条心形线C上,且,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.
D.C上有4个整点(横、纵坐标均为整数的点)
三、填空题
12.已知复数z满足,则其共轭复数的虚部为 .
13.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则 ,点D在边AC上,且,则 .
14.已知抛物线,F为C的焦点,P,Q为其准线上的两个动点,且.若线段PF,QF分别交C于点A,B,记的面积为的面积为,当时,直线AB的方程为
四、解答题
15.已知正项等比数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,设其前n项和为,求证:.
16.2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行,亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会.某校想趁此机会带动学生的锻炼热情,准备开设羽毛球兴趣班,在全校范围内采用简单随机抽样的方法,分别抽取了男生和女生各100名作为样本,调查学生是否喜欢羽毛球运动,经统计,得到了如图所示的等高堆积条形图.
(1)根据等高堆积条形图,填写下列列联表,并依据的独立性检验,推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联;
(2)已知该校男生与女生人数相同,将样本的频率视为概率,现从全校学生中随机抽取30名学生,设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X,求取得最大值时的值.
附:
参考公式:
,其中.
17.已知函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)若关于x的不等式恒成立,求实数a的取值范围.
18.如图,在三棱锥中,底面ABC为等边三角形,D,E,F,M分别在AC,BC,AB,PB上,,,AE,BD,CF交于点O,PD⊥底面ABC.
(1)证明:平面平面;
(2)若,求平面BMF与平面夹角的余弦值.
19.已知双曲线的右焦点为,经过点F的直线l交C于A,B两点.当直线l的斜率为1时,.
(1)求C的标准方程;
(2)经过点F的直线交C于P,Q两点,直线,记AB,PQ的中点分别为M,N,求证:直线MN过定点.
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案:
1.B
【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简计算即得.
【详解】由,得.
故选:B
2.A
【分析】解一元二次不等式及绝对值不等式求集合,结合韦恩图,根据集合的交集及补集运算可得结果.
【详解】因为,
图中阴影部分表示的集合为:
或,
故选:A.
3.B
【分析】写出二项式展开式的通项,求出常数项为60时的值,即可判断结果.
【详解】的展开式的通项为.
令,得,则的常数项为,则,
∴“”是“的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件.
故选:B.
4.A
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】如图,以点P为坐标原点,建立平面直角坐标系,则:,
,
,
故选:A.
5.D
【分析】根据给定信息,列出方程并求解即得.
【详解】依题意,,而,则,即,
又,解得,所以.
故选:D
6.D
【分析】根据给定条件,利用分步乘法计数原理及排列应用问题,列式计算即得.
【详解】选定一排放和的不同方法数是,另一排放的不同方法数是,
不同的排列方式有;
从中取一个与同排,不同的排列方式有,
所以不同的排列方式有(种).
故选:D
7.B
【分析】根据给定的函数图象,结合五点法作图求出函数的解析式,再分析在上的图象性质即可得解.
【详解】观察图象知,,函数的周期,,
由,得,而,则,
于是,当时,,
当,即,函数单调递减,函数值从减小到,
当,即时,函数单调递增,函数值从增大到,
显然函数的上的图象关于直线对称,
方程在上有两个不相等的实数根,即直线与函数在上的图象有两个公共点,
所以实数m的取值范围是.
故选:B
8.C
【分析】构造函数,求导得到函数单调性,得到,求出,构造,求导得到函数单调性,得到,故,得到答案.
【详解】设,
则,
∴时,,在上单调递增.
∴,即,
∴,.
设,则,
∴当时,,即在上单调递增.
∴,,
∴,即.
综上,.
故选:C.
【点睛】方法点睛:构造函数比较大小是高考热点和难点,结合代数式的特点,选择适当的函数,通过导函数研究出函数的单调性,从而比较出代数式的大小.
9.CD
【分析】根据百分位数的定义、方差的性质,结合相关系数的性质、正态分布的性质逐一判断即可.
【详解】对于A,这组数据从小到大排列为:46,60,62,68,70,73,74,78,81,
又,第8位数字是78,第9位数字是81,
故这组数据的第80百分位数是,故A错误;
对于B,的方差为,故B错误;
对于C,样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性,当时,成对样本数据正相关,当时,成对样本数据负相关,故C正确;
对于D,∵,
∴,
故D正确,
故选:CD
10.BD
【分析】作出圆台轴截面等腰梯形及其高,求出圆台的高及上底面圆半径,分析计算判断ABC;求出的函数关系,利用导数求出最大值即得.
【详解】圆台中,作出圆过点的直径,则四边形是等腰梯形,作于,
在中,由,得,则,
对于A,圆台的表面积,A错误;
对于B,圆台的体积,B正确;
对于C,由P是下底面圆周上一动点,得点到直线距离的最大值为2,
则面积最大值为,三棱锥体积的最大值为,C错误;
对于D,连接,当与点都不重合时,设,
则,在中,由余弦定理得,
于是,,
求导得,显然,则,
函数在上单调递增,,当与重合时,,
当与重合时,,因此的最大值为6,D正确.
故选:BD
11.ACD
【分析】根据三点共线可得直线过原点,联立直线与曲线的方程,求解,即可根据弦长公式求解AB,根据三角函数的性质即可求解C,利用换元法,结合判别式,即可求解方程的整数根.
【详解】依题意,心形线C的直角坐标方程为,
过原点,由,可知三点共线,
可设直线,由
消去y,得.
不妨设,
则.
∴,故A正确;
,
当时,,故B错误;
设点在心形线C上,,角以x轴非负半轴为起始边,
则心形线C的方程转化为,
即,
∴,又,
∴,故C正确;
由,可知.
令,则心形线C的方程可化为:,
∴,
当,或,进而可得或0,
当时,方程无整数解;
当时,,故
∴C上有4个整点,故D正确,
故选:ACD.
【点睛】方法点睛:对于给定的曲线方程,要研究该曲线的性质,往往需要结合曲线方程的特征合理换元(如平方和转化为距离等).
12./
【分析】利用复数的除法运算求出,再求出共轭复数即得.
【详解】依题意,,因此,
所以的虚部为.
故答案为:
13. /0.5
【分析】利用正、余弦定理进行边角转化求得B;利用图形中的向量关系,有,由向量数量积和余弦定理化简得结果.
【详解】在中,由及正弦定理,得,
整理得,由余弦定理可得,
而,所以;
由,得,
则,
则,即,
整理得,又,因此,
所以.
故答案为:;
14.
【分析】设直线AB方程及其坐标,将面积之比转化为坐标之间的关系结合韦达定理计算即可.
【详解】显然直线不垂直于轴,设其方程为,
由消去x得:,,
则,由得:,
即,而,于是,
直线的方程为,则点纵坐标,同理点纵坐标,
又,
由,得,则,,
所以直线AB的方程为,即.
故答案为:
【点睛】方法点睛:圆锥曲线中面积之比问题,通常利用线段之比来转化,然后设线设点将线段之比化为坐标关系,联立直线与圆锥曲线方程结合韦达定理计算即可.
15.(1);
(2)证明见解析.
【分析】(1)利用给定的递推公式,结合等比数列的定义求出公比及首项即得.
(2)由(1)的结论,求出,再利用错位相减法求和即得.
【详解】(1)设正项等比数列的公比为,由,得,
两式相除得,则,又,即,而,则,
所以数列的通项公式是.
(2)由(1)知,
则,
于是,
两式相减得,
因此,而恒成立,则.
所以.
16.(1)填表见解析;能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联
(2)
【分析】(1)根据等高堆积条形图,填写列联表,利用公式求,与临界值对比后下结论;
(2)依题意,随机变量,由不等式组,求取得最大值时的值.
【详解】(1)由题意,根据等高堆积条形图,完成列联表如下:
零假设为
:该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联.
,
∴依据小概率值的独立性检验,
我们推断不成立,即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联.
(2)由列联表可知,该校学生喜欢羽毛球运动的频率为,
∴随机变量,
∴.
要使取得最大值,则需,
解得,
∵,∴当时,取得最大值.
17.(1)0;
(2).
【分析】(1)当时,利用导数探讨单调性,求出最小值.
(2)由(1)的信息,利用不等式性质可得当时,不等式恒成立,当时,利用导数探讨存在实数使得得解.
【详解】(1)当时,函数的定义域为,求导得,
显然函数在上单调递增,而,
则当时,,函数在上单调递减,
当时,,函数在上单调递增,
所以当时,函数取得最小值.
(2)函数的定义域为,
当时,,,则,
由(1)知,,,而,即有,
因此恒成立,此时;
当时,,由(1)知,函数在上单调递减,在上单调递增,
则,而恒成立,不等式不恒成立,
所以实数a的取值范围是.
18.(1)见解析
(2)
【分析】(1)以为坐标原点,取上靠近点的三等分点,连接,建立如图所示的空间直角坐标系,由空间向量证明,即,再由PD⊥,由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明;
(2)求出平面BMF与平面的法向量,由二面角的向量公式求解即可.
【详解】(1)因为PD⊥底面ABC,底面ABC为等边三角形,
所以以为坐标原点,取上靠近点的三等分点,连接,,
则建立如图所示的空间直角坐标系,
设等边三角形ABC的边长为,所以,,
因为,所以设,则,,
则,所以,,所以,
设,
,,因为三点共线,
所以,解得:,所以,
设,,则,,
所以,,设,
设,,,
所以,,所以,
所以,因为三点共线,
所以,解得:,所以,
,,
,所以,
又因为PD⊥底面ABC,底面ABC,所以PD⊥,
,平面,所以平面,
平面,所以平面平面.
(2)因为,所以,
若,则,,
设,则,
,解得:,
所以,,
可得.
设平面的法向量为,则,
取,可得,所以,
设平面的法向量为,
.
则,
取,可得,所以,
所以,
故平面BMF与平面夹角的余弦值为.
19.(1);
(2)证明见解析.
【分析】(1)求出直线的方程,与双曲线方程联立,利用弦长公式求出即可求得解.
(2)当直线不垂直于坐标轴时,设出其方程,联立双曲线方程求出坐标,表示出直线的方程,推出直线过定点,再验证直线垂直于坐标轴的情况即可.
【详解】(1)依题意,设,当直线l的斜率为1时,直线的方程为,
由消去y得:,而,显然,
则,由,得,
即,又,于是,
解得,所以C的标准方程是.
(2)当直线和斜率均存在时,
设直线的方程为,由(1)知,设其中点,
由,消去,得,显然,,
则,,点;
设直线的方程为且,同理得,
由,得,有,,
当,即时,直线的方程为,
当时,直线MN的斜率,
直线的方程为,即过定点,
因此直线过定点;
当直线和中一条直线的斜率不存在时,所在直线为x轴,也过点,
所以直线过定点.
【点睛】方法点睛:求解直线过定点问题常用方法如下:
①“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;
②“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;
③求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200
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