上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷及答案

这是一份上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷及答案，共20页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．不等式的解集为 ．
2．已知向量，，则 ．
3．已知复数，则 ．
4．的二项展开式中的常数项为 .
5．设随机变量服从正态分布，若，则实数 ．
6．椭圆的离心率为，则 ．
7．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ．
8．已知，，若，则满足条件的 的取值范围是 ．
9．对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是 ．
10．从中任取个不同的数字，设“取到的个数字之和为偶数”为事件，“取到的个数字均为奇数”为事件，则 ．
11．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率 ．
12．如图，在棱长为的正方体中，在棱上，且，以为底面作一个三棱柱，使点分别在平面上，则这个三棱柱的侧棱长为 ．
二、单选题
13．函数的最小值是（ ）
A．4B．5C．D．
14．已知点是抛物线C：上一点到拋抛物线C的准线的距离为d，M是x轴上一点，则“点M的坐标为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件，
15．设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（ ）．
A．B．C．D．
16．如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（ ）．
A．2个极大值点，1个极小值点B．3个极大值点，2个极小值点
C．2个极大值点，无极小值点D．3个极大值点，无极小值点
三、解答题
17．对于函数，其中，．
(1)求函数的单调增区间；
(2)在锐角三角形中，若，，求的面积．
18．如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，分别为棱和棱的中点．
(1)求证：面面；
(2)求二面角的余弦值大小．
19．垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：
(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？
附：，其中，．
(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．
（i）求比赛只进行3局就结束的概率；
（ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望．
20．已知双曲线，，分别为其左、右焦点．
(1)求，的坐标和双曲线的渐近线方程；
(2)如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率；
(3)是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21．若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．
(1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．
男生
女生
总计
A等级
40
20
60
B等级
20
20
40
总计
60
40
100
参考答案：
1．；
【分析】根据绝对值的定义分类讨论解一元一次不等式组得出结果.
【详解】或，
即或，所以不等式的解集为或，
故答案为：.
2．
【分析】由向量的数量积公式求两个向量的夹角即可.
【详解】由向量的夹角公式得，又因为，
所以.
故答案为：.
3．/2.5
【分析】根据复数的运算法则求出，再写出复数的虚部即可.
【详解】∵，
∴，
故答案为：.
4．
【分析】由二项式定理得展开式的通项公式，代入可求出结果.
【详解】因为的展开式通项为，
展开式中常数项，必有，即，
所以展开式中常数项为.
故答案为：
5．
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即得.
【详解】由正态分布的对称性，得，所以.
故答案为：
6．
【分析】直接根据椭圆方程得出离心率公式，则a可求.
【详解】由题意得椭圆离心率为，
解得，
故答案为：2.
7．
【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率.
【详解】由直线方程：得的倾斜角为，
所以的倾斜角为，即的斜率为.
故答案为：.
8．；
【分析】由绝对值等式可知，代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值范围求出结果即可.
【详解】因为，
所以，即，
解得或，
所以 的取值范围是，
故答案为：.
9．
【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案.
【详解】将函数向右平移1个单位得到，
作出函数的图象如下：
要关于的方程有两个不同的根，
则函数和函数有两个不同的交点，
当过点时，，
所以当函数和函数有两个不同的交点时，.
故答案为：.
10．/0.75
【分析】利用互斥事件的概率及排列组合计算公式求出事件的概率，同样利用排列组合计算公式求出事件的概率，然后直接利用条件概率公式求解．
【详解】，．
由条件概率公式得．
故答案为：．
11．
【分析】计算出当水深为时，水的体积，然后除以流速可得出时刻的值，设水的深度为，求出关于的函数表达式，利用导数可求得当水深为时，水升高的瞬时变化率.
【详解】设时刻水的深度为，水面半径为，则，得，
所以当水深为时，酒杯中水面的半径为，此时水的体积为，
设当水深为的时刻为，可得，可得；
又由题意可得，则，
所以，
所以当时，.
故答案为：.
12．
【分析】建立平面直角坐标系写出点的坐标，根据三棱柱中向量相等得到坐标，进而得到的坐标，从而得到侧棱.
【详解】
以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
则，，，
由三棱柱可知，即，所以，，
，即，所以，，
所以，所以，
故这个三棱柱的侧棱长为，
故答案为：.
13．D
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
则的最小值是.
故选：D.
14．A
【分析】由题意可知抛物线C的焦点．易知充分条件成立，结合图形，举例说明必要条件不成立，即可求解.
【详解】由题意知，将点代入方程，即，得，则抛物线C的焦点．
当点M的坐标为时，点M与拋物线的焦点重合，由抛物线的定义知必有；当时，点M的坐标不一定为，理由如下：
如图，连接PF，当时，．
因此“点M的坐标为”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
15．C
【分析】根据题意算出，可得且，由此对各项的结论加以判断，即可得结论．
【详解】，
，，即且，
，且，两边都除以，得，可得．
对于A，由，可得，故A项不正确；
对于B，由于，所以不成立，故B不正确；
对于C，因为，所以，可得．
结合，可得，故C正确；
对于D，根据且，当，时，，
此时不成立，故D不正确．
故选：C．
16．B
【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否.
【详解】
，
作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为，
在处的导数都等于，
在上，,单调递增，
在上，单调递减，
因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键所在是作出与直线平行的函数的所有的切线，由此观察图象即可顺利得解.
17．(1)
(2)．
【分析】（1）由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简，根据复合函数的单调性求出结果；
（2）由（1）及条件求出角A，根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果.
【详解】（1）

令，则，函数为增函数，
当时函数为增函数，
即，得，
所以函数的单调增区间是．
（2）（2）由已知，所以，
因为，所以，即，所以，
又，所以，
所以的面积．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）方法一：根据二面角定义，结合（1）的结论、线面垂直的性质，结合余弦定理进行求解即可；方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）为棱中点，为正三角形，.
又三棱柱是直三棱柱，
面，又面，，
而平面，
面，面，
面面；
（2）由（1）得面，面，
，
是二面角的平面角，
在中，
二面角的余弦值为．
方法二：以为原点，建立直角坐标系如图：
则，
，，
设平面、平面的法向量分别为，
，可以是
可以是，
二面角的余弦值为．
19．(1)无关
(2)（i）；（ii）分布列见解析，
【分析】（1） 计算的值，再与进行比较即可得结论；
（2）（i）由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案；
（ii）先由相互独立事件概率的乘法公式求出，则分布列可得，再由期望公式求数学期望即可.
【详解】（1）提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，
确定显著性水平，由题意得，
可得，
由，且，
所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.
（2）（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为
比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为，
故比赛只进行3局就结束的概率为；
（ii）的可能取值为，
，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故，
，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，
故，
，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得，
所以分布为
故数学期望为.
20．(1)，，
(2)；
(3)存在，．
【分析】（1） 直接根据题干给的双曲线的标准方程求得答案；
（2）由双曲线的定义以及切线的性质可得圆的半径，再借助于点到直线的距离公式求直线的斜率；
（3）假设存在直线l，由得，取的中点，则，进而得；又利用得，于是联立方程组可得的坐标，从而得到直线的斜率并得出直线的方程.
【详解】（1）因为双曲线，所以，所以，
即，，
所以双曲线的渐近线方程是 ；
（2）由题意可知，，，
所以，
，即是椭圆右顶点
设圆的半径为，因为圆的面积为，则，即，
，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于圆的半径，
可得，
解得直线的斜率为
（3）假设存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，
设,，,，中点为,，又，，
由，可知△为等腰三角形，，且直线不与轴重合，
于是，即，
因此，， (I)，点，在双曲线上，
所以，
①②化简整理得：，，
则，可得，(II)，
联立（Ⅰ）（Ⅱ）得，，得或（舍），所以 ，
由，得，所以直线的方程为．
【点睛】关键点点睛：针对类似于的角度问题，一般情况下会转化垂直问题，再结合垂直时的斜率之积为-1即可解决问题.
21．(1)是周期为的周期数列，理由见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题设定义，利用的周期，即可得出结果；
（2）分与两种情况讨论，当，易得到是周期为1的周期数列，当时，构造，则，利用导数与函数单调性间的关系，可得出是严格增（或减）数列，从而可得出结果；
（3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果.
【详解】（1）因为，
所以是周期为的周期数列．
（2）①当时，，，
所以当时，是周期为1的周期数列，
②当时，记，则，
，当且仅当时等号成立，
即，所以在上严格增，
若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列；
同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列．
综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列．
（3）必要性：
若存在，使得是周期数列，设的周期为，
则，所以是周期为的周期数列，
充分性：
若是周期数列，设它的周期为，记，则
，是关于x的连续函数；
，是关于x的连续函数；
…
，是关于x的连续函数；
，
令，则是连续函数，
且，，
所以存在零点，于是，
取，则，
从而，
，
……
一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列．
（说明：关于函数连续性的说明不作要求）
【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.
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