江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷及答案

这是一份江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
4．函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为，则
D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
10．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若函数无极值点，则没有零点
B．若函数无零点，则没有极值点
C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点
D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点
11．正方体的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合，则（ ）
A．中元素的个数为58
B．中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2
C．中每个四面体的外接球构成集合，则中只有1个元素
D．中不存在四个表面都是直角三角形的四面体
三、填空题
12．与圆和圆都相切的直线方程是 ．
13．已知函数在区间上单调，且满足，，则 .
14．从1，2，3，，这个数中随机抽一个数记为，再从1，2，，中随机抽一个数记为，则 .
四、解答题
15．已知，函数.
(1)求的单调区间.
(2)讨论方程的根的个数.
16．如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17．已知各项均不为0的数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若对于任意成立，求实数的取值范围．
18．已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且．
(1)求的方程；
(2)设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标．
19．由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，.
(1)若，，记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1）
(2)若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.
附：经验回归方程系数：，，，.
n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26
参考答案：
1．D
【分析】将代入方程结合复数的乘法运算即可得解.
【详解】将代入方程得：，得，即.
故选：D.
2．D
【分析】由集合的元素特性，可得集合间的关系.
【详解】由集合，，得.
故选：D
3．C
【分析】求出双曲线的顶点坐标及渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】依题意，双曲线的顶点为，渐近线方程为，
所以双曲线的顶点到其渐近线的距离为.
故选：C
4．D
【分析】如图，过作轴于，根据题意得到，进而可求出，再利用，得到，则有，可求出，从而，即可求出结果.
【详解】如图，过作轴于，则，
又是等腰直角三角形，所以，故，得到，
又，所以，则，所以，
所以，得到，又，得到，
所以，则，
故选：D.
5．D
【分析】先得到多面体为正八面体，然后根据正八面体的棱长可得外接球的半径，进而可得体积.
【详解】如图一：所得的多面体为正八面体，这正八面体的球心如图二中点，设外接球半径为，
正八面体的棱长为，
在中，，，，
所以，
所以.
故选：D.

6．C
【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可
【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：
①，；
②，；
③，；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为
故选：C
7．C
【分析】设出三个角度的大小关系，结合已知条件求得最小角的正切值，再求正弦值即可.
【详解】设，根据题意可得，且，
即，又，则，，
解得，又，则.
故选：C.
8．B
【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得.
【详解】如图，设点关于直线的对称点为，
则得，即，
由题意知与直线不平行，故，
由，得，即，
故直线的斜率为，
直线的直线方程为：，
令得，故，
令得，故由对称性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．
故，
故选：B
9．ABD
【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D.
【详解】向量，，
对于A，由，得，因此，A正确；
对于B，由，得，因此，B正确；
对于C，与的夹角为，，，
因此，C错误；
对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
10．AD
【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可.
【详解】
，设
若函数无极值点则，则，
此时，即，所以，没有零点，如图①；
若函数无零点，则有，此时，
当时，先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；
若函数恰有一个零点，则，
此时，先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；
若函数有两个零点，则，此时，先正再负再正，
函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；
所以AD正确.
故选：AD.
11．ABC
【分析】由8个顶点中选取4个不共面顶点，确定中元素的个数判断选项A；由每个四面体的结构特征，计算体积值判断选项B；由每个四面体的外接球特征判断选项C；寻找四个表面都是直角三角形的四面体判断选项D.
【详解】正方体的8个顶点中任取4个，共有种情况，
其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，不构成四面体，
所以中元素的个数为58，A选项正确；
四面体的体积有以下两种情况：
第一种情况如下图所示，四面体的四点在相对面且异面的对角线上，如四面体，
若正方体棱长为，则四面体体积为 ，

第二种情况如下图所示，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，如四面体，
若正方体棱长为，则四面体体积为，

所以中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2，B选项正确；
每个四面体的外接球都是原正方体的外接球，中只有1个元素，C选项正确；
如下图， 四面体的每个面都是直角三角形，D选项错误.

故选：ABC
12．
【分析】根据题意，判断两圆的位置关系内切，联立方程组求得公切线方程.
【详解】设圆的圆心为，半径为，则，，
设圆的院系为，半径为，则，，
所以，所以两圆内切.
联立方程，解得，
所以两圆的公切线方程为.
故答案为：.
13．
【分析】由单调性确定函数的最小正周期范围，再结合零点及最小值点求出周期即可得解.
【详解】依题意，，而函数在上单调，
则函数的最小正周期，又，，
因此，解得，所以.
故答案为：
14．
【分析】依题意，，根据全概率公式求出，，再由期望公式计算可得.
【详解】依题意，，
由全概率公式可知
；
；
，
；
；
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是由全概率公式得到，，再利用分组求和法求出期望.
15．(1)减区间为：，；增区间为：.
(2)
【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间.
（2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数.
【详解】（1）因为（）.
所以：.
由，又函数定义域为，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，所以：当时，，方程无解；
当，函数在上递减，在递增，
所以，所以方程无解.
综上可知：方程的根的个数为.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明：取的中点，连接，由题意可证得，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）证明：取的中点，连接.
因为为圆弧的两个三等分点，所以.
因为分别为的中点，所以，
则，从而四边形为平行四边形，
故.因为平面平面，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，
则.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到时，，两式相减得到，得到及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）求得，证得为恒成立，设，求得数列的单调性和最大值，即可求解.
【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且，即，
当时，可得，
两式相减得，
因为，故，
所以及均为公差为4的等差数列：
当时，由及，解得，
所以，，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
因为对于任意成立，所以恒成立，
设，则，
当，即时，
当，即时，
所以，故，所以，
即实数的取值范围为.
18．(1)的方程为的方程为
(2)
【分析】（1）由题意可得，，解方程即可求出，即可求出的方程；
（2）设直线的斜率分别为，由题意可得，设直线的方程为：，联立可得，同理可得，即可求出直线的斜率为，再由基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）依题意可得，得，
由，得，解得，
故的方程为的方程为．
（2）易知，设，直线的斜率分别为，
则，
在，即有，
可得为定值．
设直线的方程为：，联立可得
恒成立，
设，则有，
可求得，
设直线的方程为：，
同理可得，
则
由可得：，
点在第一象限内，故，
当且仅当，即时取等号，
而，故等号可以取到．
即当取最小值时，，联立，
可解得，
故的方程为：的方程为：，
联立可解得，即有．

【点睛】关键点点睛：本题（2）问的关键点在于设直线的斜率分别为，由题意可得，联立直线与椭圆的方程求得，联立直线与椭圆的方程同理可得，即可求出直线的斜率为，再由基本不等式即可得出答案.
19．(1)；3.
(2)分布列见解析；.
(3)；证明见解析.
【分析】（1）根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值；
（2）确定X的取值可能为，根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求得期望;
（3）求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，再求得“每一行都至少一个白球”的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知 ,
故，
所以 ，
所以线性回归方程为： ，
所以，估计时，.
（2）由题意知：，，，，
则X的取值可能为，
记“含红球的行数为k”为事件，记“每列都有白球”为事件B，
所以 ，
，
，
所以X的分布列为：
所以数学期望为.
（3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为 ,
记“不是每一列都至少一个红球”为事件A，所以，
记“每一行都至少一个白球”为事件B，所以，
显然， ，所以 ，
即，所以.
【点睛】关键点点睛：解答要首先能正确的理解题意，弄清楚题目的要求是什么，比如第二文中的条件概率的计算，要弄清每种情况的含义，第三问难点在于正确计算出“不是每一列都至少一个红球”以及“每一行都至少一个白球”的概率，并能进行判断二者之间的关系，从而比较概率大小，证明结论.

0
1
2