河北省2024届高三下学期适应性测试（二模）数学试卷(含答案)

这是一份河北省2024届高三下学期适应性测试（二模）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,则 ( )
A.B.
C.D.
2．平面向量,满足,则在方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
3．若,则( )
A.B.C.或D.
4．1941年中国共产党在严重的困难面前,号召根据地军民,自力更生,艰苦奋斗,尤其是通过开展大生产运动,最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子,在结构简图中线段与所在直线异面垂直,E,F分别为,的中点,且,,线拐子使用时将丝线从点A出发,依次经过D,B,C又回到点A,这样一直循环,丝线缠好后从线拐子上脱下,称为“束丝”．图中,则丝线缠一圈长度为( )
A.B.C.D.
5．定义在R上的函数周期为4,且为奇函数,则( )
A.为偶函数B.为偶函数
C.为奇函数D.为奇函数
6．现将四名语文教师,三名心理教师,两名数学教师分配到三所不同学校,每个学校三人,要求每个学校既有心理教师又有语文教师,则不同的安排种数为( )
A.216B.432C.864D.1080
7．函数在区间内所有零点的和为( )
A.0B.C.D.
8．过抛物线焦点F且斜率为的直线与C交于A,B两点,若为的内角平分线,则面积最大值为( )
A.B.C.D.16
二、多项选择题
9．要得到函数的图象,可将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍
B.向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
C.纵坐标不变,横坐标变为原来的,再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
D.纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
10．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字,抛掷一次并记录与地面接触面上的数字,记事件“数字为2的倍数”为事件A,“数字是5的倍数”为事件B,“数字是7的倍数”为事件C,则下列选项不正确的是( )
A.事件A、B、C两两互斥B.事件与事件对立
C.D.事件A、B、C两两独立
11．已知数列,,满足,,当时,,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．的展开式中常数项为__________．
13．若,,则a,b,c的大小关系为__________（用“<”号连接）．
14．数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后,在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥侧面､截面相切,就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形,则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为__________．
四、解答题
15．已知函数在处的切线为x轴．
（1）求a,b的值;
（2）求的单调区间．
16．如图所示,五面体中,,四边形为平行四边形,点E在面内的投影恰为线段的中点,．
（1）求五面体体积;
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．过双曲线的右焦点F作斜率相反的两条直线、,与E的右支交与A、B两点,与E的右支交C、D两点,若、相交于点P．
（1）求证：点P为定点;
（2）设的中点为M,的中点为N,当四边形的面积等于时,求四边形的周长．
18．2024年初,多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山,掀起了一波旅游热潮．某地游乐园一迷宫票价为8元,游客从A处进入,沿图中实线游玩且只能向北或向东走,当路口走向不确定时,用抛硬币的方法选择,硬币正面朝上向北走,否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从号出口走出,且从X号出口走出,返现金X元．
（1）随机调查了进游乐园的50名游客,统计出喜欢走迷宫的人数如表：
判断能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为喜欢走迷宫与性别有关？
附：
（2）走迷宫“路过路口B”记为事件B,从“X号走出”记为事件,求和值;
（3）设每天走迷宫的游客为500人,则迷宫项目每天收入约为多少？
19．已知平面内定点,P是以为直径的圆C上一动点（O为坐标原点）．直线与点A处C的切线交于点B,过点B作x轴的垂线,垂足为N,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,过点P作的垂线,垂足为M．
（1）求点M的轨迹方程;
（2）求矩形面积的最大值;
（3）设M的轨迹,直线与x轴围成面积为,甲同学认为随n的增大,也会达到无穷大,乙同学认为随n的增大不会超过4,你同意哪个观点,说明理由．
参考答案
1．答案：D
解析：解不等式,得,则,
由,得,
所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：依题意,在方向上的投影向量为.
故选：D.
3．答案：A
解析：显然,
依题意,是正实数,因此,
所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：依题意,,,
所以,,,
又,
所以
,
所以,同理可得,
所以丝线缠一圈长度为.
故选：C.
5．答案：D
解析：定义在R上的函数周期为4,所以,
又为奇函数,所以,
即,所以为奇函数,故B错误;
所以,则,
所以,则为奇函数,故D正确;
由,所以,则关于对称,
令,则,满足函数周期为4,
且满足为奇函数,
但是为奇函数,故A错误;
令,则,满足函数周期为4,
又满足为奇函数,
但是为偶函数,故C错误.
故选：D.
6．答案：B
解析：求不同的安排种数需要分成3步,把3名心理教师分配到三所学校,有种方法,
再把4名语文教师按分成3组,并分配到三所学校,有种方法,
最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校,有种方法,
由分步乘法计数原理得不同的安排种数为.
故选：B.
7．答案：B
解析：依题意,
,
由,得或或（不符合题意,舍去）,
函数是偶函数,在上的所有零点关于数0对称,它们的和为0,
正弦函数的周期为,方程在的两根和为,
在上的两根和为,因此在,,上
的两根和构成首项为,末项为的等差数列,共有2024项,所有根的和为.
故选：B.
8．答案：B
解析：抛物线焦点,直线的方程为,
由,解得,,不妨令,,
则,,由为的内角平分线,
得,设点,
于是,
整理得,显然点P在以点为圆心,2为半径的圆上,因此点P到直线距离的最大值为2,
所以面积最大值为.
故选：B.
9．答案：BC
解析：对于A,所得解析式为,A错误;
对于B,所得解析式为,B正确;
对于C,所得解析式为,C正确;
对于D,所得解析式为,D错误.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：依题意抛掷一次可能出现的结果有2、5、7、70,
事件A包含的基本事件有2、70,则;
事件B包含的基本事件有5、70,则;
事件C包含的基本事件有7、70,则;
显然事件A与事件B,事件A与事件C,事件C与事件B均可以同时发生,
故事件A与事件B,事件A与事件C,事件C与事件B均不互斥,故A错误;
事件包含的基本事件有2、5、70,
事件包含的基本事件有70,
当出现70时事件与事件均发生,故事件与事件不互斥,
显然不对立,故B错误;
又事件包含的基本事件有70,所以,
所以,故C错误;
因为事件包含的基本事件有70,所以,所以B与C相互独立;
因为事件包含的基本事件有70,所以,所以B与A相互独立;
因为事件包含的基本事件有70,所以,所以A与C相互独立;
即事件A、B、C两两独立,故D正确.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：由,,
所以,又,显然,所以,
所以单调递增,则单调递减,
即,所以①,
由,设,
即、为关于x的方程的两根,所以,
即,则,代入①得,故B正确;
当时,所以,
所以,
所以,,,,
所以,则,
所以,所以,故A正确;
因为单调递增,所以,又因为函数在上单调递增,
所以,
所以,
所以,故C错误;
因为
,
当且仅当时取等号,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：16
解析：依题意,展开式的常数项为,含的项为,
所以的展开式中常数项为.
故答案为：16.
13．答案：
解析：令函数,,求导得,
即函数在上单调递增,,则,即,
令函数,求导得,
即函数在上单调递减,,则,即,
所以a,b,c的大小关系为.
故答案为：.
14．答案：
解析：令两个球,分别与截面相切于点E,F,在截口曲线上任取一点H,过点H作圆锥的母线,
分别与两个球相切于Q,P,,均为球的切线,则,同理,
因此,由切点P,Q的产生方式知,长为定值,
于是截口曲线上任意点H到定点E,F的距离和为定值,该曲线是以点E,F为焦点的椭圆,
作出几何体的轴截面,如图,设,依题意,,
则,,椭圆的长轴长,半焦距为c,
则,因此,所以离心率.
故答案为：.
15．答案：（1）,
（2）单调递减区间为,单调递增区间为
解析：（1）因,所以,
依题意且,
所以,解得.
（2）由（1）可得函数的定义域为R,
又,
令,则,所以（）在定义域R上单调递增,
又,所以当时,当时,
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
16．答案：（1）1
（2）
解析：（1）因为点E在面内的投影恰为线段的中点,
作垂足为O,则平面,
因为,所以为等边三角形,所以,
又,所以,
过点E作的平行线,过点D作的平行线交于点F,
又四边形为平行四边形,所以为三棱柱,
则,
又三棱锥的体积是三棱柱的体积的,
所以五面体的体积是三棱柱的体积的,
所以五面体的体积.
（2）由（1）知平面,在平面内过点O作交于点M,
如图建立空间直角坐标系,则,,,,
又,所以,
所以,,
又平面的法向量可以为,
设平面的法向量为,则,
取,
设平面与平面夹角为,则.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）易知双曲线右焦点,
由与E的右支交与A、B两点,与E的右支交C、D两点,
设直线的斜率为,则直线,
由,得,
设,,不妨设,
则,解得或,
又与斜率相反,即与关于x轴对称,又、相交于点P,
则A点与D点对称,B点与C点对称,则与也关于x轴对称,
根据对称性可知P点一定在x轴上,设,又,
所以,所以,
即,解得,
所以直线、相交于点.
（2）依题意四边形为等腰梯形,为梯形的中位线,
设、与x轴的交点分别为G、H,则,且与互相平分,
所以,
所以,则四边形为正方形,
所以且斜率为1,
所以直线,则,得,解得或,
则,,
所以,,
则,,
所以,
,,
所以四边形的周长为.
18．答案：（1）不能
（2）,
（3）2000元
解析：（1）根据列联表中的数据可得,
所以不能在犯错误的概率不超过的前提下,认为喜欢走迷宫与性别有关.
（2）依题意当路口走向不确定时,用抛硬币的方法选择,所以向北与向东走的概率均为,
由A到路口B需向北走2个,向东走3个路口,则不同路线有条,
所以,
事件表示从A出发经过路口B最后从5号路口走出,
则,
所以,
表示从出发最后从号路口走出的条件下经过路口的概率,
又,,
所以.
（3）依题意从号出口走出,返现金X元,
所以每名游客游玩一次游乐园收入可能取值为,
所以,
,
,,
,,
,
所以每名游客游玩一次游乐园收入的期望为：
,
每天走迷宫的游客为人,则迷宫项目每天收入约为元.
19．答案：（1）;
（2）;
（3）乙的观点,理由见解析.
解析：（1）设点,依题意,直线的方程为,,显然点P与O不重合,
当点P与点A不重合时,连接,由P是以为直径的圆C上一点,则,
由轴,得,则,,
而,则,于是,即,
当点P与点A重合时,点B与点A重合,点M与点A重合,而满足,
所以点M的轨迹方程.
（2）由（1）知,点M的轨迹方程,显然,
即点M的轨迹关于y轴对称,不妨令点P在第一象限,
显然,,,因此,
设矩形的面积为,则,
求导得,
当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,
因此,所以当时,矩形面积的最大值为.
（3）同意乙同学的观点,随n的增大不会超过4.
由（1）知点M的轨迹方程为,设,显然是偶函数,
求导得,当时,,函数在上单调递减,且恒有,
则有,即,
当n增大时,面积的值也在增大,
过点,,,,,,分别作x轴的垂线交函数的图象
于点,,,,,,
由在上单调递减,
得当时,的图象与x轴之间部分的面积小于,
当时,的图象与x轴之间部分的面积小于,
当时,的图象与x轴之间部分的面积小于,
当时,的图象与x轴之间部分的面积小于,
当时,图象与x轴之间部分的面积小于,
当时,的图象与x轴之间部分的面积小于,
则的轨迹,直线,与x轴围成面积为,
,
当,时,,
因此
所以随n的增大不会超过4.
男性
女性
总计
喜欢走迷宫
12
18
30
不喜欢走迷宫
13
7
20
总计
25
25
50
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828