双峰县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份双峰县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数在区间上的平均变化率为( )
A.1B.2C.D.0
2．已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为( )
A.B.C.eD.
3．若点P是曲线上任意一点,则点P到直线的最小距离为( )
A.B.C.2D.
4．函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.B.
C.D.
5．有七名同学排成一排, 其中甲, 乙两人不能在一起, 丙, 丁两人要排在一起的排法数是( )
A.960B.720C.480D.240
6．若函数在有最大值无最小值,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数,则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
8．已知函数及其导函数定义域均为R,满足,且为奇函数,记,其导函数为,则( )
A.0B.1C.D.2
二、多项选择题
9．已知定义在上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知函数,,则下列说法正确的是( )
A.若函数存在两个极值,则实数的取值范围为
B.当时,函数在上单调递增
C.当时,若存在,使不等式成立,则实数的最小值为
D.当时,若,则的最小值为
三、填空题
11．已知,用割线逼近切线的方法可以求得___________.
12．雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动,每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有_________种
四、解答题
13．先阅读参考材料,再解决此问题：
参考材料：求抛物线弧（）与x轴及直线所围成的封闭图形的面积
14．阅读材料,并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n,
不等式恒成立,
则实数a的取值范围为_________.
15．已知函数在和处取得极值.
(1)求a,b的值及的单调区间;
(2)若对任意,不等式恒成立,求c的取值范围.
16．4名男生和名女生站成一排.
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？
(4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
17．已知函数,.
（1）求函数在点点处的切线方程;
（2）当时,求函数的极值点和极值;
（3）当时,恒成立,求a的取值范围.
18．函数.
(1)若曲线存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围;
(2)设,试探究函数的零点个数.
19．已知函数.
(1)若函数存在单调递减区间,求实数a的取值范围;
(2)设,是函数的两个极值点,证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：A
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：A
解析：
6．答案：B
解析： , ,
根据题意结合正弦函数图象可得,
解得.
故选：B.
7．答案：A
解析：因为单调递增,且,,
所以存在唯一,使得,
所以当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
又,且,
所以由可得,
故选：A
8．答案：D
解析：因为,两边同时求导可得：,
又,即,可得关于对称,
对两边同时求导可得,则关于对称;
又为奇函数,则,求导可得,
所以关于对称,同时,则关于对称,
由关于对称得,,
由关于对称得,,
故,可得,
所以,故的周期为6;
同理的周期也为6,
因此,
由可知,令可得;
由关于对称,可得;
所以
故选：D.
9．答案：CD
解析：令,,因为,
则,故在上单调递减,
因为,则,
结合选项可知,,从而有,即,故A错误,
因为,结合在上单调递减可知,从而有,
由可得,故B错误;
,从而有,且,即.故C正确;,从而有即.故D正确.
选：CD.
10．答案：BC
解析：对A选项：,
若函数存在两个极值,则函数必有两个变号零点,
令,则,
令,则,
则当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
故,
又当时,恒成立,
当时,,
故当,函数有两个变号零点,
即若函数存在两个极值,则实数的取值范围为,
故A错误;
对B选项：当时,,
,
令,则,
则当时,,当时,;
故在上单调递减,在上单调递增,
故,故函数在上单调递增;
故B正确;
对C选项：当时,,
,
令,则,
则当时,;当时,;
故在上单调递减,在上单调递增,
故,故在上单调递增,
则存在,使不等式成立,
等价于存在,使不等式成立,
则当时,有成立,
由当时,,且在上单调递增,
故,即实数的最小值为,故C正确;
对D选项：当时,由B、C可知,、均为定义域上的增函数,
由,,故有,,
由,则,
即,故,
又,故,
令,则,令,
则,
则当时,,当时,;
故在上单调递减,在上单调递增,
即,故在上单调递增,
故无最小值,即无最小值,
故D错误.
故选：BC.
11．答案：
解析：因为,
所以
,
故答案为：.
12．答案：240
解析：根据题意,分2步进行分析：
①将5名学生志愿者分为4组,有种分组方法,
②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动,有种情况,
则有种分配方案,
故答案为：240.
13．答案：
解析：把区间进行n等分,得个分点（）,过分点,作x轴的垂线,交抛物线于,并如图构造个矩形,先求出个矩形的面积和,再求,
即是封闭图形的面积,又每个矩形的宽为,第i个矩形的高为,
所以第i个矩形的面积为;
所以封闭图形的面积为.
14．答案：
解析：作出的图像,可得以0为原点,1为半径的圆在第一象限的部分,
把区间进行n等分,得n-1个分点,过分点,作x轴的垂线,交抛物线于,并如图构造个矩形,先求出个矩形的面积和,再求,即是封闭图形的面积,又每个矩形的宽为,第i个矩形的高为,所以第i个矩形的面积为;
,
则封闭图形的面积为
由恒成立,
可得a的范围是
故答案为：
15．答案：（1）单调递增区间为,;函数单调递减区间为
（2）
解析：（1）,
函数在和处取得极值.
,,
联立解得：,.
,
令,解得和,
时,,函数单调递增;时,,函数单调递减;时,,函数单调递增.
故和是的极值点,
故函数单调递增区间为,;函数单调递减区间为.
（2）由（1）知在单调递减,在单调递增,
要使得对任意,不等式恒成立,则需且,
故且,
解得,或,
的取值范围是.
16．答案：（1）241920
（2）10080
（3）5760
（4）2880
（5）60480
解析：（1）先排甲有6种,其余有种,
共有种排法.
（2）先排甲、乙,再排其余人,
共有种排法.
（3）把男生和女生分别看成一个元素,
男生和女生内部还有一个全排列,共种.
（4）先排名男生有种方法,
再将名女生插在男生形成的个空上有种方法,
故共有种排法.
（5）9人共有种排法,
其中甲、乙、丙三人有种排法,
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法,
故共有种排法.
17．答案：（1）
（2）的极大值,函数无极小值
（3）
解析：（1）由题,所以,又
所以切线方程为：
（2）由题时,,所以
所以;,
所以在单增,在单减,所以在取得极大值.
所以函数的极大值,函数无极小值.
（3）,令,
,令,
（i）若,,在递增,
在递增,,从而,不符合题意
（ii）若,当,,∴在递增,
从而,以下论证同（1）一样,所以不符合题意
（iii）若,在恒成立,
在递减,,
从而在递减, ,,
综上所述,a的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）的零点个数为3个
解析：（1）,则
由题意,存在,使得
即关于的方程在上有实根,
该方程等价于,
则a的取值范围是函数,的值域,
又函数在单调递增,
在单调递减,且,
则函数的值域为,
所以,a的取值范围是.
（2）当时,令,对称轴,
则,,
则存在两个零点,,
在上,递增;
在上,递减;
在上,递增.
又,,
在上,,,
则,,所以在上零点个数为1
又,所以,在上零点个数为1,又.
综上,当时,的零点个数为3个.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题.
函数存在单调递减区间, 在定义域上有解.
∵,设,则,
当时,显然在上有解;
当时,,
由韦达定理知,,
所以必有一个正根,满足条件.
当时,有,解得,
综上：
故实数a的取值范围为.
（2）证明：由（1）可知,,
有两个极值点,, ,是的两个根,
则,
,要证,
即证,即证,即证,
即证,令,则证明,
令,则,在上单调递增,则,
即,
所以原不等式成立.