浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2024届高三上学期第二次联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2024届高三上学期第二次联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知是关于的实系数一元二次方程的一个根,则( )
A.2B.3C.4D.5
3．已知向量,,向量在向量上的投影向量( )
A.B.C.D.
4．已知直线交圆于A,B两点,设甲:,乙:,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．已知数列满足,,则( )
A.B.C.D.
6．函数的单调递增区间是( )
A.B.C.D.
7．已知,,若,,则( )
A.B.C.D.
8．假设变量与变量Y的对观测数据为,,…,,两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数b的最小二乘估计,即求使取最小值时的b的值,则( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．为了了解某公路段汽车通过的时速,随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),绘制成频率分布直方图,“根据直方图,以下说法正确的是( )
A.时速在的数据有40个
B.可以估计该组数据的第70百分位数是65
C.时速在的数据的频率是0.07
D.可以估计汽车通过该路段的平均时速是62km
10．函数是定义在R上的奇函数,满足,以下结论正确的是( )
A.B.C.D.
11．曲线的法线定义:过曲线上的点,且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点是抛物线上的点,F是C的焦点,点处的切线与y轴交于点T,点P处的法线与轴交于点A,与y轴交于点G,与C交于另一点,点M是PG的中点,则以下结论正确的是( )
A.点T的坐标是
B.的方程是
C.
D.过点M的C的法线(包括)共有两条
12．已知棱长为1的正方体,是空间中一个动平面,下列结论正确的是( )
A.设棱AB,AD,所在的直线与平面所成的角为,,,则
B.设棱AB,AD,所在的直线与平面所成的角为,,,则
C.正方体的12条棱在平面上的射影长度的平方和为8
D.四面体的6条棱在平面上的射影长度的平方和为8
三、填空题
13．的展开式中的系数是__________.
14．已知正方形ABCD的四个顶点均在椭圆上,E的两个焦点分别是AB,CD的中点,则E的离心率是__________.
15．设函数,若存在使成立,则的取值范围是__________.
16．已知函数,,若关于的不等式有解,则的最小值是__________.
四、解答题
17．记等差数列的前n项和为,等比数列的前n项和为,且,,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
18．如图,已知三棱锥,平面PAC,,,点O是点P在平面ABC内的射影,点Q在棱PA上,且满足.
（1）求证:;
（2）求OQ与平面BCQ所成角的正弦值.
19．在中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,.
（1）求的值;
（2）若,点M是AB的中点,且,求的面积.
20．已知双曲线的左右焦点分别为,,点在C的渐近线上,且满足.
（1）求C的方程;
（2）点Q为C的左顶点,过P的直线l交C于A,B两点,直线AQ与y轴交于点M,直线BQ与P轴交于点N,证明:线段MN的中点为定点.
21．某商场推出购物抽奖促销活动,活动规则如下:
①顾客在商场内消费每满100元,可获得1张抽奖券;
②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券,抽奖规则为:从放有5个白球,1个红球的盒子中,随机摸取1个球(每个球被摸到的可能性相同),若摸到白球,则没有中奖,若摸到红球,则可获得1份礼品,并得到一次额外抽奖机会(额外抽奖机会不消耗抽奖券,抽奖规则不变);
③每位顾客获得的礼品数不超过3份,若获得的礼品数满3份,则不可继续抽奖;
（1）顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券,求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率;
（2）顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后,获得的礼品数满3份,则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中,获得礼品的概率是多少?
（3）设顾客在消耗X张抽奖券抽奖后,获得的礼品数满3份,要获得张抽奖券,至少要在商场中消费满Y元,求的值.
(重复进行某个伯努利试验,且每次试验的成功概率均为p.随机变量表示当恰好出现次失败时已经成功的试验次数.则服从参数为和p的负二项分布.记作.它的均值,方差)
22．已知函数,,
（1）当时,求函数的值域;
（2）若函数恒成立,求取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：令,解得,则,
故,
故选:C
2．答案：D
解析：因为是关于的实系数一元二次方程的一个根,
所以,整理得到:即,
故选:D.
3．答案：C
解析：因为向量,,
所以向量在向量上的投影向量,
故选:C
4．答案：A
解析：圆的圆心为,半径为,
当时,直线,则到直线的距离为,
此时,而,即为正三角形,
故;
当时,为正三角形,则C到的距离为,
即圆心C到直线距离为,解得或,
即当时,不一定推出,
故甲是乙的充分条件但不是必要条件,
故选:A
5．答案：B
解析：,
所以,,所以为等差数列,且公差为1,首项为1,
故,即,
故选:B
6．答案：D
解析：函数的定义域为,
且,
令,解得,
所以的单调递增区间为.
故选:D
7．答案：D
解析：由于,,则,
而,故,,
由,,可得,
则
,
故,
故选:D
8．答案：A
解析：因为,
上式是关于b的二次函数,
因此要使Q取得最小值,当且仅当b的取值为.
故选:A.
9．答案：AD
解析：对于A,,即时速在的数据有40个,故A正确;
对于B,,
所以该组数据的第70百分位数位于不妨设为,
则,解得,故B错误;
对于C,时速在的数据的频率是,故C错误;
对于D,可以估计汽车通过该路段的平均时速是,故D正确.
故选:AD.
10．答案：BC
解析：由条件,可知,
所以,
所以函数是周期为4的函数,
,故A错误;,故B正确;
由条件,可知,所以
,故C正确;
由函数的周期为4,且,,
所以,故D错误.
故选:BC
11．答案：BCD
解析：对A,将点代入,得,则,当时,
故的方程为,令,则,点T的坐标是,故A错误;
对B,,的方程为,整理得,故B正确;
对C,易得与轴的交点A的坐标为,与y轴的交点G的坐标为,
联立,解得或.
与C的另一个交点的坐标为,
则,,,,故C正确;
对D,易得点M的坐标为,设点为抛物线上一点,
当Q是原点时,Q处的法线为y轴,显然不过点M,
当点Q不是原点时,则Q处的法线方程为,
将点代入得,,
又,则,,
故或,过点M的C的法线(包括)共有两条,故D正确.
故选:BCD
12．答案：ACD
解析：对于A,以点A坐标原点,AB为轴,为y轴,为轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
得,,,设的法向量为,
则,同理可得,
,故A正确;
对于B,则,故B错误;
对于C,AB,AD,这3条棱在平面上的射影长度的平方和为,
条棱在平面上的射影长度的平方和为8,故C正确;
对于D,,设AC与平面所成角为,与平面所成角为,
则,,
,
在平面上的射影长度的平方和为
,
则四面体的6条棱在平面上的射影长度的平方和为
,故D正确.
故选:ACD
13．答案：8
解析：展开式的通项公式为,(其中,1,2,3,4),
令,解得,即二项式展开式中的系数为.
故答案为:8
14．答案：
解析：不妨设,为椭圆的左,右焦点,由题意知轴,轴,
且AB,CD经过椭圆焦点,,,
则,将代入椭圆方程,得,
故,由,得,
结合,得,即,
解得(负值舍),
故E的离心率是,
故答案为:
15．答案：
解析：由于函数,
当时,,
根据正弦函数的性质可知当时,离最近且使得的x值为,
故存在,使成立,需满足,,
即的取值范围为,
故答案为:
16．答案：或0.5
解析：由得,显然,
所以有解,
令,则,
令,则,所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,即,
所以,则,即m最小值是.故答案为:
17．答案：（1）,
（2）
解析：（1）得:,
或,
同理:或,
是等差数列,,,,
是等比数列,,;
（2）令,其前n项和为,
当n为偶数时,
当n为奇数时,.
综上所述,.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）连结PO,
平面PAC,PA,平面PAC,,,
又,,PB,PC两两垂直,以P为原点,PA为轴,PC为y轴,PB为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
不妨设,可得,,,,,
,.
,所以是正三角形,
点O为正三角形ABC的中心,所以,
,所以.
,又,
,.
（2）,,,,
设平面BCQ的一个法向量为,
由,得:,
则,,,,,,
设与平面所成角为,
则.
故直线OQ与平面BCQ所成角的正弦值为.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）
由正弦定理得:,
,则,,
不等于0,.
（2）,,所以,
联立,,,
在中,由余弦定理得:①
在中,由余弦定理得:②
由①②式得:
故,,,
.
20．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）设,,,,由,得,
解得,即,而曲线的渐近线方程为,
由点在C的渐近线上,得,即,因此,
所以C的方程为.
（2）由（1）知,设直线为,,,,,
由消去y得:,
则,,
,,由A,Q,M三点共线,得,同理,
因此
,
所以MN的中点T为定点.
21．答案：（1）;
（2）;
（3）,.
解析：（1）由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为,摸到白球的概率为,
故甲至少获得1份礼品的概率;
（2）设“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后,获得的礼品数满3份”,“顾客乙在消耗第2
张抽奖券抽奖的过程中,获得礼品”
,
,
;
（3）由题意可知,,
则,
.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
在上单调递增又,,
的值域是.
（2）方法一:①当时,
在上恒成立,
②当时,
,
在上单调递增,成立.
③当时,
令,
则,
所以上单调递增,即在上单调递增,
,,
使得当时,故在上单调递减,
则,不成立,
④当时,
令,
则,
所以在上单调递增,即在上单调递增,
,即在上递增,则成立.
综上所述,若函数恒成立,则.
方法二
当时,成立,当时,成立,
当时,恒成立,
令,则,
又,,
令,
,
当时,,
,
在上单调递增.
,故,
,又,
,故.