云南省大理白族自治州民族中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.
【详解】设，故，而，
故，故，故，
故选：A
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先化简复数，再利用虚部的定义可得答案.
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选：A.
3. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则角B的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理边化角可得，进而可得.
【详解】在中，因，由正弦定理可得
，
因，所以，故，即，
又因，所以，
故选：A
4. 若，，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角基本关系式与三角函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
则
.
故选：B.
5. 在中，若点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.
【详解】由条件可知，得.
故选：A
6. 下列区间为函数的增区间的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用整体法求解三角函数的单调递增区间，通过分析只有B选项满足要求.
【详解】令，，
解得：，，
当时，，
当时，，
当时，，
故四个选项中，只有B选项满足要求，
故选：B
7. 已知，，是平面直角坐标系内的三点，若，，则的面积为（ ）
A. 15B. 12C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积运算判断两边垂直，再由模长公式求出边长即可求解三角形的面积.
【详解】因为，，
所以，即，
所以，
故选：C
8. 若向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量数量积的运算律可得，再由投影向量的定义求在上的投影向量.
【详解】由，则，
由在上的投影向量.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设z是非零复数，则下列说法正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据复数的相关概念结合复数的运算逐项分析运算.
【详解】设，但不同时为0，则，可得，
对于A：若，则，
故，A正确；
对于B：∵，
若，则，
解得：或（舍），B正确；
对于C：若，即，解得，
故，则，
可得，C不正确；
对于D：，则，解得，
即z为纯虚数，此时，
故，D不正确.
故选：AB.
10. 已知向量，，则下列结论正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为，则
D. 若与的夹角为，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；利用向量数量积运算律求出模即可判断D.
【详解】向量，，
对于A，由，得，因此，A正确；
对于B，由，得，因此，B正确；
对于C，与的夹角为，，，C正确；
对于D，由C知，，故D错误.
故选：ABC
11. 在中，角的对边分别为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则有两解
B. 若，则
C. 的周长有最大值6
D. 的面积有最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】综合运用正弦定理，面积公式及周长可得选项.
【详解】因为，，由正弦定理可得，
又，所以有两解，A正确.
由，可得，，
由正弦定理可得，B正确.
由余弦定理，
，当且仅当时，取到等号，解得，C不正确.
由余弦定理，
即，当且仅当时，取到等号，
所以的面积，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据复数的除法运算、模长计算可得答案.
【详解】法一：由，得，所以，；
法二：由，得，所以，.
故答案为：1.
13. 设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为______.
【答案】且
【解析】
【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可.
【详解】向量，，由得，，所以.
由已知得，，所以，即，且不共线.
则，所以.
又不共线，则.所以x的取值范围为且.
故答案为：且.
14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度约为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.
【详解】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）若三点共线，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；
（2）根据求解即可.
【小问1详解】
由题意可得，
由于复数是纯虚数，则，解得；
【小问2详解】
由（1）可得，，则点，，点
所以，
因三点共线，所以，所以，
所以
16. 已知平面向量，的夹角为，且，，．
（1）当时，求；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先得到，然后展开计算即可；
（2）由条件知，使用向量内积坐标表示即可得到关于的方程，进而求出.
【小问1详解】
，故．
【小问2详解】
由条件知，故，
所以．
17. 在 中，内角的对边分别为 .已知
（1） 求的值
（2） 若 ，求的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得，化简即得答案．
（2）由（1）知，结合题意由余弦定理可解得 ，，从而计算出面积．
【详解】（1）由正弦定理得，
所以
即
即有，即
所以
（2）由（1）知，即，
又因为 ，所以由余弦定理得：
，即，解得,
所以，又因为，所以 ，
故的面积为=.
【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．
18. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知的内角，，所对的边分别为，，，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；
（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.
【小问1详解】
由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
【小问2详解】
由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，，，由
得：，整理得，
则
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为，在中，，，求的值；
（3）记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先化简函数，然后结合伴随向量的定义可得答案；
（2）先求，结合三角形的性质及差角公式可得答案；
（3）先根据区间及正弦函数性质确定，再结合值域求法可得答案.
【小问1详解】
，
所以．
【小问2详解】
由题意，得．
所以，又C为的内角，所以．
因为，所以，所以．
所以．
【小问3详解】
由题意，得，故，
∵，∴，
在上单调递增，在上单调递减，且，
所以，，
此时，；
∵，∴，∴，
即可得函数的值域为.