吉林省白山市抚松县第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前四章（30%），必修第一册第五章，必修第二册第六、七章（70%）．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解之即可求解.
【详解】因为，所以，解得.
故选：A
2. “甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】若甲和乙的生肖相同，则甲和乙的生肖不一定都是龙；
若甲和乙的生肖都是龙，则甲和乙的生肖肯定相同，
所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的必要不充分条件.
故选：A
3. 复数的共轭复数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的四则运算与共轭复数的定义即可得解.
【详解】因为，
所以的共轭复数为.
故选：B.
4. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，利用辅助角公式结合正弦函数的性质求出函数值域化简集合B，再求出交集得解.
【详解】解不等式，得，则，
，则，
所以
故选：A
5. 在中，角的对边分别为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用正弦定理边化角计算得解.
【详解】在中，由，得，
由及正弦定理，得．
故选：C
6. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助投影向量定义计算即可得.
【详解】依题意得向量在上的投影向量为．
故选：D.
7. 在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 或2
【答案】D
【解析】
【分析】分解因式解方程,再求模长即可求解.
【详解】由，
得.
因为，所以或，
当或，；
当或，.
故选：D
8. 已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数“五点法”求得，再利用向量垂直的坐标表示求得，从而得解.
【详解】因为，
由图象可知，则，因为，所以，
所以，
由，得，即，
因为，所以，则，则，
因为，，
所以，解得（负根舍去），
所以，
故.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称D. 为奇函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，再结合余弦函数的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，则的图象关于直线对称，B正确；
对于C，，则的图象关于点对称，C正确；
对于D，为奇函数，D正确．
故选：BCD
10. 已知函数，则（ ）
A. 当有2个零点时，只有1个零点
B. 当有3个零点时，只有1个零点
C. 当有2个零点时，有2个零点
D. 当有2个零点时，有4个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】将问题转化为与的图象交点问题，结合图象，逐一分析各选项中的取值范围，从而得解.
【详解】令，得，
利用指数函数与二次函数的性质作出的大致图象，如图所示，
由图可知，当有2个零点时，或，
此时无零点或只有1个零点，故A错误；
当有3个零点时，，此时只有1个零点，故B正确；
当有2个零点时，，此时有4个零点．故C错误，D正确.
故选：BD.
11. 湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，测得米，，，则（ ）

A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】ABD
【解析】
【分析】中，由等腰三角形的性质求判断选项B；在和中，正弦定理求和判断选项AC；在中，由余弦定理得判断选项D.
【详解】在中，，，则米，B选项正确．
在中，，又，则，
由正弦定理可得，即，
解得米，A选项正确；
中同理可得米，C选项错误；
在中，由余弦定理得，
所以米，D选项正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则________
【答案】
【解析】
【分析】对两边取对数，根据对数的运算性质计算可得.
【详解】因为，所以，即，所以．
故答案：
13. 已知复数，若为纯虚数，则的虚部为________；若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根据复数的乘方化简，再根据纯虚数的定义求出，再根据虚部的定义求解即可；根据复数的几何意义即可求出的取值范围.
【详解】，
若为纯虚数，则，解得，
所以，的虚部为，
若在复平面内对应的点位于第四象限，
则，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：；．
14. 已知正六边形边上任意一点，且，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】建立适当平面直角坐标系，结合向量数量积公式分类讨论并计算即可得.
【详解】以正六边形的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设分别交轴于点，则，，．
设，则，
，
根据正六边形的对称性，不妨只研究点位于轴的左半部分的情况，
分以下四种情形：
①当点在上时，则，则，
不满足．
②当点在上时，则，则，
不满足．
③当点在上时，直线对应的一次函数为，
则，
因为，所以，解得或（舍去），，
④当点在上时，直线对应的一次函数为，
则，不满足，
所以当时，，
．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量满足．
（1）求；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把给定的两个等式两边分别平方，利用数量积的运算律计算得解.
（2）由（1）的结论可得，再利用基本不等式求解即得.
【小问1详解】
由，得，
即，两式相减得，
所以．
小问2详解】
由（1）知，，于是，则，即，
因此，即，当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
16. 在中，角所对的边分别为．已知．
（1）求的面积；
（2）求的内切圆的半径；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式即可得解；
（2）先利用余弦定理得求得，再利用等面积法求得内切圆半径，从而得解；
（3）分别利用余弦定理与余弦定理求得，进而得到，再利用正切的倍角公式即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以的面积为．
【小问2详解】
由余弦定理得.
则由，即，解得.
【小问3详解】
由正弦定理得．
又，
所以，
则.
17. 在中，已知，，，与边上的中线相交于点．
（1）请用表示；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得；
（3）依题意为向量与的夹角，求出与，再由夹角公式计算可得.
【小问1详解】
为边上的中线，，
，可得
【小问2详解】
由（1）可得
．
【小问3详解】
，
，
则．
18. 定义：若函数的值域是定义域的子集，则称是紧缩函数．
（1）试问函数是否为紧缩函数？说明你的理由．
（2）若函数是紧缩函数，求的取值范围．
（3）已知常数，函数，是紧缩函数，求的取值集合．
【答案】（1）不是 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出的定义域与值域，即可判断；
（2）首先求出的定义域，再利用换元法求出的值域，结合题意得到不等式，即可求出参数的取值范围；
（3）首先推导出的值域与定义域相同，再分，两种情况讨论，分别计算可得.
【小问1详解】
函数的定义域为，值域为.
因为不是的子集，所以不是紧缩函数.
【小问2详解】
对于函数，
令，解得，即的定义域为.
令，则，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，即的值域为，
依题意可得，解得，
故的取值范围为.
【小问3详解】
因为的值域是定义域的子集，所以的值域是的值域的子集，
又，则，所以的值域与定义域相同，
又，，
所以的值域为.
（i）若，则，即，
则且，
所以且，
即，解得，此时，符合题意.
（ii）若，则或，即，
则且，
所以且，即，方程无解.
综上，的取值集合为.
19. 在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）延长交于，延长交于，则，设，且，分别求出，再根据三角恒等变换化一，结合正弦函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以；
【小问2详解】
延长交于，延长交于，
根据题意可得．因为，所以，
设，且，
则，
同理可得，
则
，
因为，所以，
又，
所以，
所以的取值范围是．
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.