河南省安阳市龙安高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 已知向量，，且向量与方向相同，则的值为（ ）
A. －2B. 2C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量同向列方程，化简求得的值.
【详解】由于向量与方向相同，
所以，
当时，，符合题意.
当时，，向量与方向相反，不符合题意.
所以的值为.
故选：B
2. 四边形中，，且，则四边形是（ ）
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量相等可知四边形为平行四边形，根据向量加减法运算法则和模长的意义可知平行四边形的对角线长相等，由此可得结论.
【详解】，且，四边形为平行四边形，
由知：平行四边形的两条对角线长相等，
四边形为矩形.
故选：C.
3. 已知向量，，，若、、共面，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，其中、，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可得解.
【详解】因为、、共面，可设，其中、，
即，即，解得.
故选：A.
4. 已知的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则该三角形一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理,将边化为角,结合正弦差角公式合并化简,即可判断三角形形状.
【详解】根据正弦定理
可化为
即
根据正弦差角公式可得
因为
所以
即,所以
即为等腰三角形
故选:A
【点睛】本题考查了三角形形状的判断,正弦定理边角转化的应用,正弦差角公式的简单应用,属于基础题.
5. 在中，已知， ，则的面积S为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据所给条件可得，再由余弦定理求出，根据三角形面积公式即可得解.
【详解】由，可得，所以，
由余弦定理可得，
即，解得，，
又，所以，
所以.
故选：A
6. 已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算和基本定理运算求解.
【详解】解：如图，因为，所以,
又因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，在平面四边形中，,
所以且
所以相似于相似比为，
所以,
,
所以，
故选:B.
7. 如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量线性运算得到，再利用向量共线定理的推论得到方程，求出m的值.
【详解】因为，所以，故，
因为三点共线，故，解得：.
故选：C
8. 在平面直角坐标系中，已知向量，，定点的坐标为，点满足，曲线，区域，曲线与区域的交集为两段分离的曲线，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由平面向量数量积运算可得：，则：，
设N点坐标为，考查曲线C：，
整理可得N点的轨迹为：，即N点是以A位圆心，1为半径的圆，
由平面向量模的几何意义可得P点是以M为圆心，r,R分别为半径的圆环，
数形结合，曲线与区域的交集为两段分离的曲线，则.
本题选择A选项.
二、多选题
9. 已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设平面内点的坐标为，由，得出，即可得出结论.
【详解】设平面内点的坐标为，
则，
平面的一个法向量是，
所以，
即.
故选：AC
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知，，若，则
B. 已知，若，，则
C. 若，则一定不与共线
D. 若，，为钝角，则实数的范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示、共线的条件以及数量积的坐标表示逐一判断各选项.
【详解】对于A，根据向量垂直的充要条件，解得，故A正确；
对于B，因为有条件，若，，则根据两个向量的共线定理，当或时，显然成立；当且时，则存在唯一的实数，使得，，则，所以.故B正确
对于C，，没有限制两个向量的方向，所以可以共线，故C错误；
对于D，为钝角，则，且与不反向，即，且，得且.故D错误.
故选：AB.
11. 已知直线（不同时为0），则（ ）
A. 当时，与轴垂直
B. 当时，与轴重合
C. 当时，过原点
D. 当时，的倾斜角为锐角
【答案】BC
【解析】
【分析】根据直线方程的特征一一分析即可.
【详解】对于A：当时直线（），即，表示与轴平行（重合）的直线，故A错误；
对于B：当时直线，即，即与轴重合，故B正确；
对于C：当时直线，此时满足方程，即过原点，故C正确；
对于D：当时直线，即，斜率，
所以的倾斜角为钝角，故D错误；
故选：BC
12. 已知空间中三点，，，则（ ）
A. 向量与互相垂直
B. 与方向相反的单位向量的坐标是
C. 与夹角的余弦值是
D. 在上的投影向量的模为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；，
所以与方向相反单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
13. 设平面向量，，若，则的值为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】利用向量垂直的数量积坐标公式可求得答案.
【详解】由，得，解得.
故答案为：2.
【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题.
14. 已知满足不等式组，则点所在区域面积等于________.
【答案】
【解析】
【分析】作出不等式组表示的平面区域，求出边界点坐标后可得面积．
【详解】作出不等式表示的平面区域，如图内部（含边界），由边界的三条直线方程可得，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域．掌握二元一次不等式表示的平面区域问题是解题关键．
15. 已知向量，若向量与垂直，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得
因为与垂直，可得，解得.
故答案为：.
16. 在中，，，，则的外接圆半径R的值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】先由三角形的面积公式计算出的值，然后利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求出的外接圆直径，即可求解
【详解】由三角形的面积公式可得，可得，
由余弦定理得，则，
由正弦定理可知，的外接圆直径为，
所以半径为，
故答案为：
四、解答题
17. 如图所示，的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：

（1）写出与相反的向量；
（2）写出与的模相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
【答案】（1），，
（2），，，，
（3），
【解析】
【分析】（1）根据已知可推得，且.结合图象，即可得出答案；
（2）根据已知，结合（1）的结论以及图象，即可得出答案；
（3）根据（1）（2），结合图象，即可得出答案.
【小问1详解】
因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
所以，，且.
所以，与相反的向量为，，.
【小问2详解】
因为的三边均不相等，
又，
所以，与的模相等的向量为，，，，.
【小问3详解】
由（1）（2）可知，与相等的向量为，.
18 已知向量，．
（1）求的坐标及；
（2）若与共线，求实数的值．
【答案】（1）
（2）1或
【解析】
【分析】（1）由向量坐标的线性运算以及模的坐标公式即可得解.
（2）由向量平行充要条件列出方程即可得解.
【小问1详解】
由题意，，所以，
所以.
【小问2详解】
由题意与平行，
所以当且仅当，化简得，
解得，即实数的值为1或-1.
19. 已知平面向量是单位向量，且.
（1）求向量的夹角；
（2）若，向量与向量共线，且，求向量.
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据数量积求解；
（2）根据向量共线与向量模长求解；
【小问1详解】
因为，所以，
又因为是单位向量，设夹角为,所以
解得
又
所以
【小问2详解】
因为，所以即
设，则有
因为向量与向量共线，
所以解得
联立两式得：或，
所以为或.
20. 在中，，，，若，，且．
（1）求向量在向量方向上的投影．
（2）求实数的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的定义知向量在向量方向上的投影是，由此可得结论；
（2）把向量都用表示出来并求其数量积，可得.
【小问1详解】
，
∴在方向上投影为；
小问2详解】
，
因为，
所以，
所以，
所以，
整理得：，
因为，
所以①，
因为，，，
所以，，，代入①式，解得．
21. 在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）如，求a；
（2）若，，求外接圆的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到， 再由两角和的正弦公式得到，从而得到，再结合求解。
（2）结合（1），结合，得到，再利用余弦定理结合，求得，然后由正弦定理求得，再代入圆的面积公式求解。
【详解】（1）因为，
，
即，
得，
所以.
因为，
所以，
解得，
所以，
又，
由正弦定理，得，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以，
所以，
又，，
所以
由正弦定理可得，，
解得
所以外接圆的面积
【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理在解三角形的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22. 在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小.
（2）若，为外一点，，，四边形的面积是，求的大小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知等式，利用余弦定理边化角得到，进而利用正弦定理边化角，利用两角和差三角函数公式化简，求得csA,进而得解；
（2）由余弦定理求得，利用面积公式求得，
，利用得到关于D的方程，求解即得.
【详解】解：（1），
，
由余弦定理可得，
由正弦定理可得，
，
，
，
由，则.
（2）如图，在中，，，
由余弦定理得：
，
，，为等边三角形，
，
，
，
，
，即.
【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的综合运用，属中档题，关键是熟练利用正余弦定理进行边角互化，结合两角和差的三角函数进行运算求解.