甘肃省武威市凉州区西营镇九年制学校教研联片2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共30分)
1. 二次根式中，x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得，据此求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
2. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则进行计算即可．
【详解】A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解答关键是根据相关运算法则进行计算．
3. 若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值为（ ）
A. 2B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．
根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可．
【详解】
的整数部分为a，小数部分为b，
，
故选：A．
4. 如图所示，将一根筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，当筷子的底端在点时，筷子露在外面的长度最长，然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在外面的长度最长，
∴，
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
∴，
此时，
所以取值范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
5. 如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处．若，，则的长为（ ）
A. 4B. C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．
【详解】解：在矩形中，，，
∴，
∴，
根据折叠可得：，
∴，，
设，则，，，
在中：， ，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，矩形的性质，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6. 如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（ ）
A. DE=DFB. EF=ABC. S△ABD=S△ACDD. AD平分∠BAC
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：A．∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，∴DE=AC，DF=AB，∵AC≠AB，∴DE≠DF，故该选项错误；
B．由A选项的思路可知，B选项错误；
C．∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；
D．∵BD=CD，AB≠AC，∴AD不平分∠BAC，
故选C．
考点：三角形中位线定理．
7. 如图，四边形是平行四边形，连接，过点A作于点M，交于点E，连接，若，点M为的中点，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，交于点O，先证明，再由全等三角形的性质和平行四边形的性质证明，继而得出平行四边形是菱形，是等边三角形，即可得出，根据直角三角形的性质设，则，根据勾股定理计算即可求解．
【详解】连接，交于点O，
∵，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，即，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
8. 如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若，则△CDE的面积是（ ）

A. 18B. C. D. 14.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE和△DCF全等，然后即可得到CF和DE的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF和DE的关系，再根据勾股定理可以得到DF2的值，然后即可计算出△CDE的面积．
【详解】解：作CF⊥ED于点F，如图所示，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠CDA＝90°，
∴∠ADE+∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，CD＝CE，
∴EF＝DF＝DE，∠CFD＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，
∴DF＝CF，
∵∠CFD＝90°，CD＝6，
∴DF2+CF2＝CD2，
即DF2+（2DF）2＝62，
解得DF2＝7.2，
∴S△CDE＝ ＝2DF2＝2×7.2＝14.4，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．
9. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据直角三角形斜边山的中线得到，然后利用等边对等角求解即可．
【详解】在中，是斜边上的中线，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质，等边对等角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
10. 有一个边长为的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图，如此继续“生长”下去，则“生长”第k次后所有正方形的面积和为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设图中直角三角形三边为，，，
则，
同理：，
，
，
，
∴所有正方形面积和为，
次之后，所有正方形面积和是．
故选∶B．
【点睛】本题考查了的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答本题的关键．
二、填空题(共24分)
11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
解得：．
故答案为：．
12. 若，时，则的值是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用平方差公式求解即可求得答案．
【详解】解：当，时，
．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算．此题难度不大，注意掌握平方差公式的应用是解此题的关键．
13. 如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是________．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出，根据三角形面积公式和网格的特点求出的面积，利用面积相等，即可得到答案．此题考查了勾股定理、网格中求三角形的面积等知识，熟练掌握等积法是解题的关键．
【详解】由图形，根据勾股定理可得，
设边上的高是h，
则，，
∴，解得，
故答案为：
14. 如图，已知四边形中，，，，，，求四边形的面积为_______．

【答案】36
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运用，连接，先根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，且，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接，

在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为
．
故答案为：36．
15. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AB、AD上，，且∠ECF＝45°，则CF的长为___．
【答案】
【解析】
【分析】首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．
【详解】解：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF，
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，
∵∠ECF=45°，
∴∠BCE+∠DCF=45°，
∴∠GCF=∠DCG+∠DCF=45°=∠ECF，
在△GCF与△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF=EF，
∵CE=，CB=6，
∴BE=，
∴AE=3，
设AF=x，则DF=6-x，GF=3+(6-x)=9-x=EF，
∴EF=，
∴(9-x)2=，
∴x=4，
即AF=4，
∴GF=5，
∴DF=2，
∴CF=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=8cm，AB=6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为_____．
【答案】2cm．
【解析】
【详解】试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC=8cm，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=6cm，
∴DE=AD﹣AE=8﹣6=2（cm）.
17. 如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交边DC于E，若∠DAE＝30°，则∠B =____°．
【答案】120
【解析】
【详解】∵∠BAD的平分线AE交DC于E，
∴∠DAB=2∠DAE=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∴∠B=120°.
故答案为120.
18. 在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点M，边交x轴于点N（如图）．在旋转正方形的过程中，的周长为________
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形性质，以及全等三角形的判定与性质等知识，注意求一些线段的长度或角的度数，总要整理到已知线段的长度上或已知角的度数上进而得出是解题关键. 延长交y轴于E点，证明，进而得到，利用全等把的各边整理到成与正方形的边长有关的式子即可解题．
【详解】解：如图所示：延长交y轴于E点，
则，，
．
又，，
在和中，
，，，
．
，．
在和中，
，，，
．
．
，
的周长．
三、计算题(共6分)
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键；
（1）先化简再计算即可；
（2）把括号里的每一项都除以，再化简即可；
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
四、作图题(共共4分)
20. 已知四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图．
（1）如图①，点为上任意一点，在上找出另一点，使；
（2）如图②，点为上任意一点，在上找出一点，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图，平行四边形的性质；
（1）连接交于点，作直线交于点，点即为所求作．
（2）连接交于点，作在交于点，作直线交于点，连接交于点，点即为所求作．
【小问1详解】
如图，点即为所求作．
【小问2详解】
如图，点即为所求作．
五、解答题(共56分)
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先将分式化简，然后代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：
.当时，
原式．
22. 在等腰中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求的周长．
【答案】的周长是13或11
【解析】
【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，等腰三角形的定义，先利用非负数的性质求解，的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
又∵a，b，c分别是等腰的边，
①当时，，符合三角形的三边关系，
∴的周长是：，
②当时，，符合三角形的三边关系，
∴的周长是：，
综上分析可知，的周长是13或11．
23. 如图，在中，，平分，于，若，，求的长．

【答案】
【解析】
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得，再由勾股定理求得的长即可．
【详解】解：平分，
又，，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线性质及勾股定理．角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题．
24. 如图，已知正方形中，，为对角线，平分，，垂足为．求的长．

【答案】
【解析】
【分析】利用正方形的性质求出，再根据角平分线的性质可得，进而可证明，问题随之得解．
【详解】∵正方形中，，为对角线，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，证明，是解答本题的关键．
25. 如图，四边形中，，为对角线，于E，，，，．

（1）求证：；
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，运用了等积法．
（1）由勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断；
（2）利用等面积法即可求解．
【小问1详解】
解：在直角中，，，，
∴．
∵，，
∴，
∴直角三角形，且．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
26. 如图，已知E、F是对角线上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于O， 先由平行四边形的性质得到，，进而得到，由此即可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：如图，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
27. 如图，在中，点M、N分别是对角线上的两点，且，连接．求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质，，再证明，从而证明，得到，由此即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
28. 在矩形中，，点射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点．

（1）求证：；
（2）当点是边中点时，求的长；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
（2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解；
（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，则，；第二种情况，点在线段的延长线上，则，在中，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵点E是边的中点，
∴，
∵四边形为矩形，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则由（1）知，，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
【小问3详解】
解：当时，设，
第一种情况，点在线段上，如图所示：

则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示：

则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
综上可知，当时，的长为或．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，画出图形，数形结合，应用分类讨论的思想是解题的关键．