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人教A版 学业考试复习 必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 课件
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这是一份人教A版 学业考试复习 必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 课件，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，课时跟踪检测，集合及其运算，深化认知，｜方法总结｜，常用逻辑用语，多项选择题，解答题，1求集合B等内容，欢迎下载使用。
第一章 集合与常用逻辑用语
The part ne
考向（一） 集合的概念及其表示 [知识梳理]1. 集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做 集合.2. 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.3. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.4. 元素与集合的关系如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作 a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作 a∉A.
5. 常用数集：自然数集N；正整数集 N*或N＋；整数集Z；有理数集 Q；实数集R. 6. 集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法.
[深化认知]1. （2020·7月浙江学考）已知集合 A ＝{ x ∈R｜1＜ x ＜3}，则下列关 系正确的是（ ）
解析： 由题意可知1∉ A ，2∈ A ，3∉ A ，4∉ A . 故选D.
解析： 由题可得，①正确，②错误，③正确，所以正确的有2个. 故选C.
｜题后反思｜利用集合元素的确定性结合分类讨论建立方程求得实数 x 的所 有可能取值，利用集合元素的互异性排除不满足要求的实数 x 的 值，由此得到正确答案.
考向（二） 集合间的基本关系 [知识梳理]
1. 子集（1）定义：对于两个非空集合 A ， B ，如果集合 A 中任意一个元素 都是集合 B 中的元素，就说集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B （或 B ⊇ A ）.一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作⌀.规定：空集是任何集合的子集.当 B ≠⌀时，若 A ⊆ B ，则 A 有两种情况： A ＝⌀或 A ≠⌀.当集合 A 中元素未确定时，优先考虑⌀.（2）性质：① A ⊆ A ；②若 A ⊆ B ， B ⊆ C ，则 A ⊆ C ；③若 A ⊆ B ， B ⊆ A ，则 A ＝ B .
2. 真子集（1）定义：如果集合 A ⊆ B ，但存在元素 x ∈ B ，且 x ∉ A ，就称集 合 A 是集合 B 的真子集，记作： A ⫋ B （或 B ⫌ A ）.（2）性质：①若 A ≠⌀，则⌀⫋ A ；②若 A ⫋ B ， B ⫋ C ，则 A ⫋ C .
[深化认知]4. 设集合 A ＝{1，2，3}，则集合 A 的真子集的个数为（ ）
解析： 因为集合 A ＝{1，2，3}含有3个元素，所以集合 A 的真子 集的个数为23－1＝7.故选C.
｜方法总结｜对于考查集合子集个数的问题，如果集合的元素较少，可以根据 子集的定义，由集合中的部分或全部元素组成的集合是其子集，采用 列举的方式进行处理，避免漏掉空集；如果集合的元素较多，不便列 举时，可根据集合元素的数量 n 得到子集的个数为2 n ，真子集的个数 为（2 n －1），非空真子集的个数为（2 n －2）.5. 下列关系正确的是（ ）
｜题后反思｜解答本题时有两大易错点：（1）考查 B ⊆ A 时，容易漏掉 B ＝⌀而 造成漏解；（2）最后的答案容易不按要求写成集合的形式.在备考复 习时需格外注意.
考向（三） 集合的基本运算 [知识梳理]1. 交集与并集（1）交集： A ∩ B ＝{ x ｜ x ∈ A ，且 x ∈ B }，如图所示.
性质：① A ∩ A ＝ A ， A ∩⌀＝⌀；②若 A ∩ B ＝ B ，则 B ⊆ A .
（2）并集： A ∪ B ＝ { x ｜ x ∈ A ，或 x ∈ B }，如图所示.
性质：① A ∪ A ＝ A ， A ∪⌀＝ A ；②若 A ∪ B ＝ B ，则 A ⊆ B .
（1）定义：∁ UA ＝{ x ｜ x ∈ U ，且 x ∉ A }，如图所示.
（2）性质： A ∩∁ UA ＝⌀， A ∪∁ UA ＝ U ，∁ U （∁ UA ）＝ A .
9. （2020·1月浙江学考）已知集合 A ＝{1，2，4}， B ＝{2，4，6}，则 A ∪ B ＝（ ）
解析： 因为 A ＝{1，2，4}， B ＝{2，4，6}，所以 A ∪ B ＝{1， 2，4，6}.故选D.
10. （2023·2月温州高一期末）已知集合 A ＝{1，3，5}， B ＝{0，1， 2，3，4，5}，则∁ BA ＝（ ）
集合的并集运算是把两个集合的所有元素放在一起，组成新的 集合；集合的交集运算是把两个集合的公共元素放在一起，组成新 的集合；集合的补集运算是把全集中不属于该集合的元素放在一 起，组成新的集合.要注意集合的交、并、补集的混合运算，注意 运算的次序.
The part tw
[深化认知]11. （2021·7月浙江学考）“ x ＝4”是“2 x ＝ x 2”的（ ）
解析： 当 x ＝4时，24＝16＝42；当 x ＞0，2 x ＝ x 2时， x ＝2或 x ＝4.所以“ x ＝4”是“2 x ＝ x 2”的充分不必要条件.故选A.
12. （2022·1月浙江学考）已知空间中两条不重合的直线 a ， b ，则 “直线 a 与 b 没有公共点”是“ a ∥ b ”的（ ）
解析： “直线 a 与 b 没有公共点”表示 a ∥ b 或者 a 与 b 是异面直 线，所以“直线 a 与 b 没有公共点”是“ a ∥ b ”的必要不充分条 件.故选B.
13. （2020·1月浙江学考）设 a ， b ∈R，则“ a ＋ b ＞0”是“ a 3＋ b 3 ＞0”的（ ）
｜方法总结｜充分、必要条件一般可根据如下规则判断：（1） p 是 q 的充分不必要条件，则 p 对应集合是 q 对应集合的 真子集；（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，则 q 对应集合是 p 对应集合的真 子集；（3） p 是 q 的充要条件，则 p 对应集合与 q 对应集合相等；（4） p 是 q 的既不充分也不必要条件，则 q 对应集合与 p 对应集合 互不包含.
考向（二） 全称量词命题与存在量词命题 [知识梳理]1. 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符 号 ∀表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题，用符号简记为 ∀ x ∈ M ， p （ x ）.全称量词命题的否定为∃ x ∈ M ，? p （ x ）.
2. 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并 用符号∃表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题，用符号简记 为 ∃ x ∈ M ， p （ x ）.存在量词命题的否定为∀ x ∈ M ，? p （ x ）.
14. （2023·杭州四校高一联考）命题“∀ x ＞0， x 2－ x ≤1”的否定是 （ ）
解析： “∀ x ＞0， x 2－ x ≤1”的否定是“∃ x ＞0， x 2－ x ＞1”. 故选D.
15. 下列命题的否定为假命题的是（ ）
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是 全称量词命题.命题的真假与其否定的真假相反，所以在判断命题 的否定的真假时，可以通过判断原命题的真假来说明其否定的真 假，也可以先写出命题的否定，然后再判断真假.
The part three
一、单项选择题1. （2021·7月浙江学考）设集合 A ＝{1，2，3}， B ＝{2，3，4}，则 A ∩ B ＝（ ）
解析： 由题意可得 A ∩ B ＝{2，3}.故选B.
4. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＝3 n ＋2， n ∈N}， B ＝{6，8，10，12，14}， 则集合 A ∩ B 中的元素个数为（ ）
解析： 由已知得集合 A ∩ B 中的元素均为偶数，则 n 应取偶数， 故 A ∩ B ＝{8，14}.故选D.
5. （2023·2月杭州八县区高一期末联考）若 a ， b ∈R，则“ a ＞ b ＞ 0”是“ a 2＞ b 2”的（ ）
解析： 由不等式性质知 a ＞ b ＞0时， a 2＞ b 2成立，充分性 满足；但 a ＝－2， b ＝－1时满足 a 2＞ b 2，不满足 a ＞ b ＞0，必要性 不满足.故选A.
6. 已知全集 U ＝R，集合 A ＝{0，1，2，3，4，5}， B ＝{ x ｜ x ＞1}， 则图中阴影部分表示的集合为（ ）
解析： 图中阴影部分表示 A ∩（∁ UB ），又∁ UB ＝{ x ｜ x ≤1}，∴ A ∩（∁ UB ）＝{0，1}.故选B.
7. 已知集合 M ＝{3，4}， N ＝{ x ｜（ x －3）（ x ＋ a ）＝0， a ∈R}， 若 M ＝ N ，则 a ＝（ ）
解析： 因为 M ＝{3，4}且 M ＝ N ，所以3∈ N 且4∈ N . 又 N ＝{ x ｜（ x －3）（ x ＋ a ）＝0， a ∈R}，所以 x ＝3和 x ＝4为方 程（ x －3）（ x ＋ a ）＝0的两个实数根，所以 a ＝－4.故选D.
解析： ∵－3∈ A ，∴－3＝ a 2＋4 a 或－3＝ a －2.若－3＝ a 2＋4 a ，解得 a ＝－1或 a ＝－3.当 a ＝－1时， a 2＋4 a ＝ a －2＝－3，不满足集合中元素的互异 性，故舍去；当 a ＝－3时，集合 A ＝{12，－3，－5}，满足题意，故 a ＝－3 成立.若－3＝ a －2，解得 a ＝－1，由上述讨论可知，不满足题意， 故舍去.综上所述， a ＝－3.故选D.
9. 已知集合 A ＝{ x ｜ ax 2＋2 x ＋ a ＝0， a ∈R}，若集合 A 有且只有两 个子集，则实数 a 的取值集合为（ ）
解析： 因为集合 A 有且只有两个子集，所以集合 A 中有且仅有一 个元素，即方程 ax 2＋2 x ＋ a ＝0只有一个实数根.当 a ＝0时， A ＝ {0}；当 a ≠0时，则要满足Δ＝4－4 a 2＝0，解得 a ＝±1.综上，实数 a 的取值集合为{－1，0，1}.故选C.
10. 已知命题“∀ x ∈R， ax 2＋4 x －1＜0”是假命题，则实数 a 的取值 范围是（ ）
11. （2023·杭州四校高一联考）设全集 U ＝{2，3， m 2＋ m －4}，集合 A ＝{ m ，2}，∁ UA ＝{3}，则 m ＝（ ）
12. 已知 a ， b ， c ∈R， a ≠0，则“关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有 解”是“ b 2－4 ac ＞0”的（ ）
解析： 若关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有解，则当 a ＞0时，关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0一定有解，此时无法 确定判别式是否大于零；当 a ＜0时，则 b 2－4 ac ＞0，所以关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有解不能推出 b 2－4 ac ＞0.若 b 2－4 ac ＞0，当 a ＞0时，关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0一定有解，当 a ＜0时，关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有解，所以 b 2－4 ac ＞0能推出关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有解.故“关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有解”是“ b 2－4 ac ＞0”的必要不充分条件.故选B.
13. 已知集合 A ＝{0，1，2，3}，集合 B ＝{ x ｜ x 2－2 x ＝0}，则下列关 系正确的是（ ）
解析： 因为 B ＝{ x ｜ x 2－2 x ＝0}＝{0，2}，所以 B ⊆ A ，所 以 A ∩ B ＝ B ， A ∪ B ＝ A ，（∁R A ）⊆（∁R B ），对比选项可知， A、B、C正确，D错误.故选A、B、C.
14. 已知集合 A ＝{ x ｜ x 2－1＝0}，则下列选项中正确的是（ ）
解析： 因为 A ＝{ x ｜ x 2－1＝0}＝{－1，1}，所以{1}⊆ A ，－ 1∈ A ，⌀⊆ A ，{－1，1}⊆ A . 选项A、B错误，选项C、D正确.故选 C、D.
15. （2023·11月杭州钱塘联盟高一期中联考）已知集合 M ， N 的关系 如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
解析： 对于A，由图可知集合 M 与集合 N 有公共部分，故A 正确；对于B，当 x 0位于集合 M 与集合 N 的公共部分时，命题为真命题， 故B正确；对于C，（∁ UM ）∩（∁ UN ）＝∁ U （ M ∪ N ），故C正确；对于D，易知∁ UN 中的部分元素在 M 中，故D错误.故选A、B、C.
16. 若“∀ x ∈ M ， x ＜0或 x ＞1”为真命题，“∃ x ∈ M ， x ＞3”为假 命题，则集合 M 可以是（ ）
解析： 命题“∃ x ∈ M ， x ＞3”为假命题，则命题“∀ x ∈ M ， x ≤3”为真命题，则 M ⊆{ x ｜ x ≤3}；命题“∀ x ∈ M ， x ＜0或 x ＞1”为真命题，则 M ⊆{ x ｜ x ＜0或 x ＞ 1}.综上， M ⊆{ x ｜ x ＜0或 x ＞1}∩{ x ｜ x ≤3}＝{ x ｜ x ＜0或1＜ x ≤3}.显然，A、B、D选项中的区间为（－∞，0）∪（1，3]的子集.故 选A、B、D.
三、填空题17. 命题“∀ x ∈R， x 2＋ x ＋1≥0”的否定是 .
答案：∃ x ∈R， x 2＋ x ＋1＜0
解析：命题“∀ x ∈R， x 2＋ x ＋1≥0”的否定是“∃ x ∈R， x 2＋ x ＋1＜0”.
18. 已知集合 A ＝{0，2，3}， B ＝{－1，0，1，2}，则 A ∩ B ＝ ， A ∪ B ＝ .
答案：{0，2} {－1，0，1，2，3}
解析：由 A ＝{0，2，3}， B ＝{－1，0，1，2}可知， A ∩ B ＝{0， 2}， A ∪ B ＝{－1，0，1，2，3}.
19. （2023·精诚联盟高一联考）已知集合 A ＝{ a ， b ， c ， d }，集合 B 中有且仅有2个元素， B ⊆ A ，且集合 B 满足下列三个条件：
①若 a ∈ B ，则 c ∈ B ；②若 d ∉ B ，则 c ∉ B ；③若 d ∈ B ，则 b ∉ B .
则集合 B ＝ （用列举法表示）.
答案：{ c ， d }
解析：因为集合 A ＝{ a ， b ， c ， d }，集合 B 中有且仅有2个元素， 且 B ⊆ A ，则集合 B 可能为{ a ， b }，{ a ， c }，{ a ， d }，{ b ， c }，{ b ， d }，{ c ， d }.
若 B ＝{ a ， b }，则不满足①；
若 B ＝{ a ， c }，则不满足②；
若 B ＝{ a ， d }，则不满足①；
若 B ＝{ b ， c }，则不满足②；
若 B ＝{ b ， d }，则不满足③；
若 B ＝{ c ， d }，则满足①②③.故 B ＝{ c ， d }.
20. （2023·杭州四校高一联考）对于集合 A ， B ，用card（ A ）表示有 限集合 A 中元素的个数，已知card（ A ）＝ M ，card（ B ）＝ N （ M ＜ N ），集合 C 满足 A ⊆ C ⊆ B ，则符合条件的集合 C 的个数 是 .
答案：2 N － M
21. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞2}， B ＝{ x ｜ x 2－3 x ≥0}.
解：（1）由 x 2－3 x ≥0，解得 x ≤0，或 x ≥3，所以 B ＝{ x ｜ x ≤0或 x ≥3}.
（2）求∁R（ A ∪ B ）.
解：（2）因为 A ＝{ x ｜ x ＞2}，所以 A ∪ B ＝{ x ｜ x ≤0或 x ＞2}，所以∁R（ A ∪ B ）＝{ x ｜0＜ x ≤2}.
22. （2023·11月宁波金兰教育合作组织高一期中联考）已知集合 A ＝ { x ｜ x ≤－4或 x ≥3}， B ＝{ x ｜1＜ x ≤5}， C ＝{ x ｜ m －1≤ x ≤2 m }.
（2）若 B ∩ C ＝ C ，求实数 m 的取值范围.
23. （2023·杭州四校高一联考）设全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤5}，集合 B ＝{ x ｜－1－2 a ≤ x ≤ a －2}.（1）若“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的充分不必要条件，求实数 a 的取 值范围；
（2）若 B ⊆ A ，求实数 a 的取值范围.
第一章 集合与常用逻辑用语
The part ne
考向（一） 集合的概念及其表示 [知识梳理]1. 集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做 集合.2. 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.3. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.4. 元素与集合的关系如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作 a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作 a∉A.
5. 常用数集：自然数集N；正整数集 N*或N＋；整数集Z；有理数集 Q；实数集R. 6. 集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法.
[深化认知]1. （2020·7月浙江学考）已知集合 A ＝{ x ∈R｜1＜ x ＜3}，则下列关 系正确的是（ ）
解析： 由题意可知1∉ A ，2∈ A ，3∉ A ，4∉ A . 故选D.
解析： 由题可得，①正确，②错误，③正确，所以正确的有2个. 故选C.
｜题后反思｜利用集合元素的确定性结合分类讨论建立方程求得实数 x 的所 有可能取值，利用集合元素的互异性排除不满足要求的实数 x 的 值，由此得到正确答案.
考向（二） 集合间的基本关系 [知识梳理]
1. 子集（1）定义：对于两个非空集合 A ， B ，如果集合 A 中任意一个元素 都是集合 B 中的元素，就说集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B （或 B ⊇ A ）.一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作⌀.规定：空集是任何集合的子集.当 B ≠⌀时，若 A ⊆ B ，则 A 有两种情况： A ＝⌀或 A ≠⌀.当集合 A 中元素未确定时，优先考虑⌀.（2）性质：① A ⊆ A ；②若 A ⊆ B ， B ⊆ C ，则 A ⊆ C ；③若 A ⊆ B ， B ⊆ A ，则 A ＝ B .
2. 真子集（1）定义：如果集合 A ⊆ B ，但存在元素 x ∈ B ，且 x ∉ A ，就称集 合 A 是集合 B 的真子集，记作： A ⫋ B （或 B ⫌ A ）.（2）性质：①若 A ≠⌀，则⌀⫋ A ；②若 A ⫋ B ， B ⫋ C ，则 A ⫋ C .
[深化认知]4. 设集合 A ＝{1，2，3}，则集合 A 的真子集的个数为（ ）
解析： 因为集合 A ＝{1，2，3}含有3个元素，所以集合 A 的真子 集的个数为23－1＝7.故选C.
｜方法总结｜对于考查集合子集个数的问题，如果集合的元素较少，可以根据 子集的定义，由集合中的部分或全部元素组成的集合是其子集，采用 列举的方式进行处理，避免漏掉空集；如果集合的元素较多，不便列 举时，可根据集合元素的数量 n 得到子集的个数为2 n ，真子集的个数 为（2 n －1），非空真子集的个数为（2 n －2）.5. 下列关系正确的是（ ）
｜题后反思｜解答本题时有两大易错点：（1）考查 B ⊆ A 时，容易漏掉 B ＝⌀而 造成漏解；（2）最后的答案容易不按要求写成集合的形式.在备考复 习时需格外注意.
考向（三） 集合的基本运算 [知识梳理]1. 交集与并集（1）交集： A ∩ B ＝{ x ｜ x ∈ A ，且 x ∈ B }，如图所示.
性质：① A ∩ A ＝ A ， A ∩⌀＝⌀；②若 A ∩ B ＝ B ，则 B ⊆ A .
（2）并集： A ∪ B ＝ { x ｜ x ∈ A ，或 x ∈ B }，如图所示.
性质：① A ∪ A ＝ A ， A ∪⌀＝ A ；②若 A ∪ B ＝ B ，则 A ⊆ B .
（1）定义：∁ UA ＝{ x ｜ x ∈ U ，且 x ∉ A }，如图所示.
（2）性质： A ∩∁ UA ＝⌀， A ∪∁ UA ＝ U ，∁ U （∁ UA ）＝ A .
9. （2020·1月浙江学考）已知集合 A ＝{1，2，4}， B ＝{2，4，6}，则 A ∪ B ＝（ ）
解析： 因为 A ＝{1，2，4}， B ＝{2，4，6}，所以 A ∪ B ＝{1， 2，4，6}.故选D.
10. （2023·2月温州高一期末）已知集合 A ＝{1，3，5}， B ＝{0，1， 2，3，4，5}，则∁ BA ＝（ ）
集合的并集运算是把两个集合的所有元素放在一起，组成新的 集合；集合的交集运算是把两个集合的公共元素放在一起，组成新 的集合；集合的补集运算是把全集中不属于该集合的元素放在一 起，组成新的集合.要注意集合的交、并、补集的混合运算，注意 运算的次序.
The part tw
[深化认知]11. （2021·7月浙江学考）“ x ＝4”是“2 x ＝ x 2”的（ ）
解析： 当 x ＝4时，24＝16＝42；当 x ＞0，2 x ＝ x 2时， x ＝2或 x ＝4.所以“ x ＝4”是“2 x ＝ x 2”的充分不必要条件.故选A.
12. （2022·1月浙江学考）已知空间中两条不重合的直线 a ， b ，则 “直线 a 与 b 没有公共点”是“ a ∥ b ”的（ ）
解析： “直线 a 与 b 没有公共点”表示 a ∥ b 或者 a 与 b 是异面直 线，所以“直线 a 与 b 没有公共点”是“ a ∥ b ”的必要不充分条 件.故选B.
13. （2020·1月浙江学考）设 a ， b ∈R，则“ a ＋ b ＞0”是“ a 3＋ b 3 ＞0”的（ ）
｜方法总结｜充分、必要条件一般可根据如下规则判断：（1） p 是 q 的充分不必要条件，则 p 对应集合是 q 对应集合的 真子集；（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，则 q 对应集合是 p 对应集合的真 子集；（3） p 是 q 的充要条件，则 p 对应集合与 q 对应集合相等；（4） p 是 q 的既不充分也不必要条件，则 q 对应集合与 p 对应集合 互不包含.
考向（二） 全称量词命题与存在量词命题 [知识梳理]1. 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符 号 ∀表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题，用符号简记为 ∀ x ∈ M ， p （ x ）.全称量词命题的否定为∃ x ∈ M ，? p （ x ）.
2. 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并 用符号∃表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题，用符号简记 为 ∃ x ∈ M ， p （ x ）.存在量词命题的否定为∀ x ∈ M ，? p （ x ）.
14. （2023·杭州四校高一联考）命题“∀ x ＞0， x 2－ x ≤1”的否定是 （ ）
解析： “∀ x ＞0， x 2－ x ≤1”的否定是“∃ x ＞0， x 2－ x ＞1”. 故选D.
15. 下列命题的否定为假命题的是（ ）
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是 全称量词命题.命题的真假与其否定的真假相反，所以在判断命题 的否定的真假时，可以通过判断原命题的真假来说明其否定的真 假，也可以先写出命题的否定，然后再判断真假.
The part three
一、单项选择题1. （2021·7月浙江学考）设集合 A ＝{1，2，3}， B ＝{2，3，4}，则 A ∩ B ＝（ ）
解析： 由题意可得 A ∩ B ＝{2，3}.故选B.
4. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＝3 n ＋2， n ∈N}， B ＝{6，8，10，12，14}， 则集合 A ∩ B 中的元素个数为（ ）
解析： 由已知得集合 A ∩ B 中的元素均为偶数，则 n 应取偶数， 故 A ∩ B ＝{8，14}.故选D.
5. （2023·2月杭州八县区高一期末联考）若 a ， b ∈R，则“ a ＞ b ＞ 0”是“ a 2＞ b 2”的（ ）
解析： 由不等式性质知 a ＞ b ＞0时， a 2＞ b 2成立，充分性 满足；但 a ＝－2， b ＝－1时满足 a 2＞ b 2，不满足 a ＞ b ＞0，必要性 不满足.故选A.
6. 已知全集 U ＝R，集合 A ＝{0，1，2，3，4，5}， B ＝{ x ｜ x ＞1}， 则图中阴影部分表示的集合为（ ）
解析： 图中阴影部分表示 A ∩（∁ UB ），又∁ UB ＝{ x ｜ x ≤1}，∴ A ∩（∁ UB ）＝{0，1}.故选B.
7. 已知集合 M ＝{3，4}， N ＝{ x ｜（ x －3）（ x ＋ a ）＝0， a ∈R}， 若 M ＝ N ，则 a ＝（ ）
解析： 因为 M ＝{3，4}且 M ＝ N ，所以3∈ N 且4∈ N . 又 N ＝{ x ｜（ x －3）（ x ＋ a ）＝0， a ∈R}，所以 x ＝3和 x ＝4为方 程（ x －3）（ x ＋ a ）＝0的两个实数根，所以 a ＝－4.故选D.
解析： ∵－3∈ A ，∴－3＝ a 2＋4 a 或－3＝ a －2.若－3＝ a 2＋4 a ，解得 a ＝－1或 a ＝－3.当 a ＝－1时， a 2＋4 a ＝ a －2＝－3，不满足集合中元素的互异 性，故舍去；当 a ＝－3时，集合 A ＝{12，－3，－5}，满足题意，故 a ＝－3 成立.若－3＝ a －2，解得 a ＝－1，由上述讨论可知，不满足题意， 故舍去.综上所述， a ＝－3.故选D.
9. 已知集合 A ＝{ x ｜ ax 2＋2 x ＋ a ＝0， a ∈R}，若集合 A 有且只有两 个子集，则实数 a 的取值集合为（ ）
解析： 因为集合 A 有且只有两个子集，所以集合 A 中有且仅有一 个元素，即方程 ax 2＋2 x ＋ a ＝0只有一个实数根.当 a ＝0时， A ＝ {0}；当 a ≠0时，则要满足Δ＝4－4 a 2＝0，解得 a ＝±1.综上，实数 a 的取值集合为{－1，0，1}.故选C.
10. 已知命题“∀ x ∈R， ax 2＋4 x －1＜0”是假命题，则实数 a 的取值 范围是（ ）
11. （2023·杭州四校高一联考）设全集 U ＝{2，3， m 2＋ m －4}，集合 A ＝{ m ，2}，∁ UA ＝{3}，则 m ＝（ ）
12. 已知 a ， b ， c ∈R， a ≠0，则“关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有 解”是“ b 2－4 ac ＞0”的（ ）
解析： 若关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有解，则当 a ＞0时，关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0一定有解，此时无法 确定判别式是否大于零；当 a ＜0时，则 b 2－4 ac ＞0，所以关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有解不能推出 b 2－4 ac ＞0.若 b 2－4 ac ＞0，当 a ＞0时，关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0一定有解，当 a ＜0时，关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有解，所以 b 2－4 ac ＞0能推出关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有解.故“关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0有解”是“ b 2－4 ac ＞0”的必要不充分条件.故选B.
13. 已知集合 A ＝{0，1，2，3}，集合 B ＝{ x ｜ x 2－2 x ＝0}，则下列关 系正确的是（ ）
解析： 因为 B ＝{ x ｜ x 2－2 x ＝0}＝{0，2}，所以 B ⊆ A ，所 以 A ∩ B ＝ B ， A ∪ B ＝ A ，（∁R A ）⊆（∁R B ），对比选项可知， A、B、C正确，D错误.故选A、B、C.
14. 已知集合 A ＝{ x ｜ x 2－1＝0}，则下列选项中正确的是（ ）
解析： 因为 A ＝{ x ｜ x 2－1＝0}＝{－1，1}，所以{1}⊆ A ，－ 1∈ A ，⌀⊆ A ，{－1，1}⊆ A . 选项A、B错误，选项C、D正确.故选 C、D.
15. （2023·11月杭州钱塘联盟高一期中联考）已知集合 M ， N 的关系 如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
解析： 对于A，由图可知集合 M 与集合 N 有公共部分，故A 正确；对于B，当 x 0位于集合 M 与集合 N 的公共部分时，命题为真命题， 故B正确；对于C，（∁ UM ）∩（∁ UN ）＝∁ U （ M ∪ N ），故C正确；对于D，易知∁ UN 中的部分元素在 M 中，故D错误.故选A、B、C.
16. 若“∀ x ∈ M ， x ＜0或 x ＞1”为真命题，“∃ x ∈ M ， x ＞3”为假 命题，则集合 M 可以是（ ）
解析： 命题“∃ x ∈ M ， x ＞3”为假命题，则命题“∀ x ∈ M ， x ≤3”为真命题，则 M ⊆{ x ｜ x ≤3}；命题“∀ x ∈ M ， x ＜0或 x ＞1”为真命题，则 M ⊆{ x ｜ x ＜0或 x ＞ 1}.综上， M ⊆{ x ｜ x ＜0或 x ＞1}∩{ x ｜ x ≤3}＝{ x ｜ x ＜0或1＜ x ≤3}.显然，A、B、D选项中的区间为（－∞，0）∪（1，3]的子集.故 选A、B、D.
三、填空题17. 命题“∀ x ∈R， x 2＋ x ＋1≥0”的否定是 .
答案：∃ x ∈R， x 2＋ x ＋1＜0
解析：命题“∀ x ∈R， x 2＋ x ＋1≥0”的否定是“∃ x ∈R， x 2＋ x ＋1＜0”.
18. 已知集合 A ＝{0，2，3}， B ＝{－1，0，1，2}，则 A ∩ B ＝ ， A ∪ B ＝ .
答案：{0，2} {－1，0，1，2，3}
解析：由 A ＝{0，2，3}， B ＝{－1，0，1，2}可知， A ∩ B ＝{0， 2}， A ∪ B ＝{－1，0，1，2，3}.
19. （2023·精诚联盟高一联考）已知集合 A ＝{ a ， b ， c ， d }，集合 B 中有且仅有2个元素， B ⊆ A ，且集合 B 满足下列三个条件：
①若 a ∈ B ，则 c ∈ B ；②若 d ∉ B ，则 c ∉ B ；③若 d ∈ B ，则 b ∉ B .
则集合 B ＝ （用列举法表示）.
答案：{ c ， d }
解析：因为集合 A ＝{ a ， b ， c ， d }，集合 B 中有且仅有2个元素， 且 B ⊆ A ，则集合 B 可能为{ a ， b }，{ a ， c }，{ a ， d }，{ b ， c }，{ b ， d }，{ c ， d }.
若 B ＝{ a ， b }，则不满足①；
若 B ＝{ a ， c }，则不满足②；
若 B ＝{ a ， d }，则不满足①；
若 B ＝{ b ， c }，则不满足②；
若 B ＝{ b ， d }，则不满足③；
若 B ＝{ c ， d }，则满足①②③.故 B ＝{ c ， d }.
20. （2023·杭州四校高一联考）对于集合 A ， B ，用card（ A ）表示有 限集合 A 中元素的个数，已知card（ A ）＝ M ，card（ B ）＝ N （ M ＜ N ），集合 C 满足 A ⊆ C ⊆ B ，则符合条件的集合 C 的个数 是 .
答案：2 N － M
21. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞2}， B ＝{ x ｜ x 2－3 x ≥0}.
解：（1）由 x 2－3 x ≥0，解得 x ≤0，或 x ≥3，所以 B ＝{ x ｜ x ≤0或 x ≥3}.
（2）求∁R（ A ∪ B ）.
解：（2）因为 A ＝{ x ｜ x ＞2}，所以 A ∪ B ＝{ x ｜ x ≤0或 x ＞2}，所以∁R（ A ∪ B ）＝{ x ｜0＜ x ≤2}.
22. （2023·11月宁波金兰教育合作组织高一期中联考）已知集合 A ＝ { x ｜ x ≤－4或 x ≥3}， B ＝{ x ｜1＜ x ≤5}， C ＝{ x ｜ m －1≤ x ≤2 m }.
（2）若 B ∩ C ＝ C ，求实数 m 的取值范围.
23. （2023·杭州四校高一联考）设全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤5}，集合 B ＝{ x ｜－1－2 a ≤ x ≤ a －2}.（1）若“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的充分不必要条件，求实数 a 的取 值范围；
（2）若 B ⊆ A ，求实数 a 的取值范围.
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