2024年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学一模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝2B．（﹣2a）3＝﹣6a3
C．（﹣a）4÷a＝a3D．（﹣a）2•a＝﹣a3
3．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）将抛物线y＝x2﹣3向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后图象经过（ ）
A．（1，﹣5）B．（﹣1，5）C．（﹣1，﹣5）D．（0，﹣5）
5．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为2，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径作弧交AB于点D，再分别以点C、D为圆心，BC长为半径作弧交于点E，若BC＝5，，则CF的长为（ ）
A．B．3C．D．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点P，若∠EOF＝110°，则∠PDC的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
9．（3分）如图，DE∥BC，EF∥AB，AC分别交DE、EF于点G、K，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）“梨花风起正清明，游子寻春半出城．日暮笙歌收拾去，万株杨柳属流莺．”古人在春季里都有踏青游乐的习俗，古时也叫行青、探春、寻春等，人们聚亲约友，承大好春光到郊外游玩，然后围坐野宴，抵暮而归．小明与家人乘车去阳屏湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离y（km）与所用时间t（h）的对应关系如图所示，以下说法错误的是（ ）
A．小明全家去阳屏湖时的平均速度为80km/h
B．小明全家停车游玩了4.5小时
C．小明全家返回时的平均速度为60km/h
D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）据教育部预测，到2024年我国中学毕业人数将达到33000000人，用科学记数法表示为 人．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）计算﹣2的结果是 ．
14．（3分）把多项式2x2﹣8y2分解因式的结果是 ．
15．（3分）不等式组的解集是 ．
16．（3分）分式的解为 ．
17．（3分）一个扇形的弧长是6π，面积是6π，则此扇形的半径是 ．
18．（3分）四边形ABCD为矩形，以AB为边作等边三角形ABE，连接CE，若AB＝2，则CE的长为 ．
19．（3分）如图，在菱形ABCD中，若AB＝2，∠BAD＝120°，点E、F、P分别为BC、CD、BD上的点，则PE+PF的最小值为 ．
20．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC⊥BD于点E，若2∠DBC+∠DAC＝90°，AC＝BD＝10，则CD的长为 ．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（1﹣）的值，其中x＝2cs30°﹣tan45°．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，已知线段AC和EF，点A、C、E、F均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以线段AC为底的等腰直角三角形ACD，点D在小正方形的顶点上．
（2）在方格纸中画出△EFK，使EF＝EK，且△EFK的面积为，点K在小正方形的顶点上．连接DK，并直接写出线段DK的长．
23．（8分）为提高学生的身体素质，了解学生体育锻炼的需求，虹友中学随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪类体育运动”（必选且只选一类）的调查，并根据调查结果，绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢“篮球”运动的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了多少名学生？并将条形统计图补充完整；
（2）若虹友中学共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生有多少名？
（3）如果小萍和小红也参加了本次调查，那么小萍和小红喜欢同一种体育运动的概率为 ．
24．（8分）已知：AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点H，点F为上一点，连接DF交AB于点E，交AC于点G，∠AEF＝∠BAC+∠ACF．
（1）如图1，求证：AB⊥CD；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，当∠ACD＝2∠ACF，AE＝4，BD＝6时，求AG的长．
25．（10分）2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．振华纪念品经销店要购进A、B两种工艺品，若购进A种工艺品2件和B种工艺品3件共需68元，若购进A种工艺品3件和B种工艺品1件共需60元．
（1）求A、B两种工艺品每件的进价分别为多少元？
（2）若A种工艺品售价为21元，B种工艺品售价为19元，该经销店准备购进A、B两种工艺品共40件，这两种工艺品全部售出后总获利不低于216元，那么该经销店最多可以购进A种工艺品多少件？
26．（10分）已知：正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A、D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，AF交BE于点O，连接CF，设∠ABE＝α．
（1）如图1，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AF交AF的延长线于点G，AG交CD于点H，连接DG，求AF与DG的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，若CF＝4DG，，求△BCF的面积．
27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC，S△ABC＝10．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第二象限抛物线上一点，过P作PE⊥x轴交直线AC于点E，点D为线段CE上一点，过点D作直线DF⊥x轴交抛物线于点F，连接PF．设点P的横坐标为t，点F的横坐标为n，若四边形PEDF为平行四边形，求n与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PD并延长，交x轴于点G，连接GF，点M在GF的延长线上，延长FP交x轴于点H，连接HM、DM．若BG＝OA，∠PED﹣∠DMG＝∠MDF，∠MHF＝∠PGF，求线段DM的长．
2024年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解；﹣的相反数是，
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝2B．（﹣2a）3＝﹣6a3
C．（﹣a）4÷a＝a3D．（﹣a）2•a＝﹣a3
【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂的除法的运算法则逐项判断即可．
【解答】解：A、2a2﹣a2＝a2，故原选项计算错误，不符合题意；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故原选项计算错误，不符合题意；
C、（﹣a）4÷a＝a4÷a＝a3，故原选项计算正确，符合题意；
D、（﹣a）2⋅a＝a2⋅a＝a3，故原选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）将抛物线y＝x2﹣3向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后图象经过（ ）
A．（1，﹣5）B．（﹣1，5）C．（﹣1，﹣5）D．（0，﹣5）
【分析】根据平移法则“左加右减、上加下减”，即可得出平移后的函数解析式，然后代入点的坐标判断即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣3﹣2，即y＝（x+1）2﹣5，
当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝﹣5；当x＝0时，y＝﹣4，
∴函数y＝（x+1）2﹣5的图象过点（﹣1，﹣5），
故选：C．
5．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，一共有两列，从左到右正方形个个数分别为3、1，
故选：A．
6．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为2，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据△OAB的面积，借助于k的几何意义即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为△OAB的面积为2，且AB⊥x轴，
所以，
即xAyA＝4．
又因为点A在反比例函数y＝的图象上，
所以k＝xAyA＝4，
所以反比例函数的解析式为y＝．
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径作弧交AB于点D，再分别以点C、D为圆心，BC长为半径作弧交于点E，若BC＝5，，则CF的长为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】根据∠A的余弦及BC的值，可求出AC和BC的长，然后用面积法即可解决问题．
【解答】解：由题知，
BF平分∠ABC，
过点F作AB的垂线，垂足为M，
在Rt△ABC中，
csA＝，
令AC＝12x，AB＝13x，
则（12x）2+52＝（13x）2，
解得x＝1（舍负），
所以AC＝12，BC＝13．
因为BF平分∠ABC，∠C＝90°，FM⊥AB，
所以CF＝MF，
则S△ABC＝S△ABF+S△BCF，
即，
所以CF＝．
故选：A．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点P，若∠EOF＝110°，则∠PDC的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】作圆的直径DM，连接CM，DB，由圆周角定理得到∠DCM＝90°，因此∠M+∠CDM＝90°，由切线的性质推出DM⊥PD，得到∠PDC+∠CDM＝90°，由余角的性质推出∠PDC＝∠M，由圆周角定理推出∠M＝∠CBD，得到∠PDC＝∠CBD，由三角形外角的性质求出∠CBA＝∠EOF﹣∠OFB＝20°，由垂径定理推出＝，由圆周角定理得到∠DBA＝∠CBA＝20°，因此∠CBD＝20°×2＝40°，即可得到∠PDC＝40°．
【解答】解：作圆的直径DM，连接CM，DB，
∴∠DCM＝90°，
∴∠M+∠CDM＝90°，
∵PD切圆于D，
∴DM⊥PD，
∴∠PDC+∠CDM＝90°，
∴∠PDC＝∠M，
∵∠M＝∠CBD，
∴∠PDC＝∠CBD，
∵OF⊥BC，
∴∠OFB＝90°，
∴∠CBA＝∠EOF﹣∠OFB＝110°﹣90°＝20°，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠DBA＝∠CBA＝20°，
∴∠CBD＝20°×2＝40°，
∴∠PDC＝40°．
故选：C．
9．（3分）如图，DE∥BC，EF∥AB，AC分别交DE、EF于点G、K，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行判断即可．
【解答】解：A．∵DE∥BC，
∴＝，
故本选项正确，不符合题意；
B．∵EF∥AB，
∴△ADG∽△KEG，
∴＝，
故本选项错误，符合题意；
C∵EF∥AB，
∴△ADG∽△KEG，
∴＝，
故本选项正确，不符合题意；
D．∵DE∥BC，
∴△GEK∽△CFK，
，
故本选项正确，不符合题意，
故选：B．
10．（3分）“梨花风起正清明，游子寻春半出城．日暮笙歌收拾去，万株杨柳属流莺．”古人在春季里都有踏青游乐的习俗，古时也叫行青、探春、寻春等，人们聚亲约友，承大好春光到郊外游玩，然后围坐野宴，抵暮而归．小明与家人乘车去阳屏湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离y（km）与所用时间t（h）的对应关系如图所示，以下说法错误的是（ ）
A．小明全家去阳屏湖时的平均速度为80km/h
B．小明全家停车游玩了4.5小时
C．小明全家返回时的平均速度为60km/h
D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时
【分析】根据函数图象逐项判断即可．
【解答】解：A、小明全家去阳屏湖时的平均速度为＝80（km/h），
故A选项错误，符合题意；
B、由图象可知，小明全家停车游玩的时间为6﹣1.5＝4.5（h），
故B选项正确，不符合题意；
C、小明全家返回时的平均速度为＝60（km/h），
故B选项正确，不符合题意；
D、设小明全家出发后x小时时距家90km，
根据题意得：80x＝90或120﹣60（x﹣6）＝90，
解得x＝或x＝，
∴小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时或小时．
故D选项错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）据教育部预测，到2024年我国中学毕业人数将达到33000000人，用科学记数法表示为 3.3×107 人．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：33000000＝3.3×107，
故答案为：3.3×107．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0，解得答案．
【解答】解：根据题意得：x+2≠0，
解可得：x≠﹣2．
13．（3分）计算﹣2的结果是 ．
【分析】原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝2﹣2×
＝2﹣
＝，
故答案为：．
14．（3分）把多项式2x2﹣8y2分解因式的结果是 2（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：原式＝2（x2﹣4y2）＝2（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．
15．（3分）不等式组的解集是 x＞3 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由3x﹣8≥0得：x≥，
由7﹣2x＜1得：x＞3，
则不等式组的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
16．（3分）分式的解为 x＝2 ．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：x2﹣2（x﹣1）＝x（x﹣1），
整理得：﹣2x+2＝﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，
故原方程的解为x＝2．
17．（3分）一个扇形的弧长是6π，面积是6π，则此扇形的半径是 2 ．
【分析】根据扇形的面积＝lr，结合题意即可得出扇形的半径．
【解答】解：设扇形的半径为r，
根据题意得6π＝×6πr，
解得：r＝2．
故答案为：2．
18．（3分）四边形ABCD为矩形，以AB为边作等边三角形ABE，连接CE，若AB＝2，则CE的长为 或7 ．
【分析】当E在矩形ABCD的内部时，过E作EH⊥BC于H，当E在矩形ABCD的外部时，根据矩形的性质得到∠ABC＝90°，根据等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE＝2，∠ABE＝60°，求得∠EBH＝30°，得到EH＝，根据勾股定理得到结论．
【解答】解：当E在矩形ABCD的内部时，′过E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝2，∠ABE＝60°，
∴∠EBH＝30°，
∴EH＝，
∴BH＝＝，
∵AD＝3，
∴CH＝2，
∴CE＝＝＝，
当当E在矩形ABCD的外部时，过E′作E′G⊥BC于G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵△ABE′是等边三角形，
∴AB＝AE′＝BE′＝2，∠ABE＝60°，
∴∠E′BG＝30°，
∴E′G＝1，BG＝，
∴CG＝4，
∴CE′＝＝7，
综上所述，CE的长为或7，
故答案为：或7，
19．（3分）如图，在菱形ABCD中，若AB＝2，∠BAD＝120°，点E、F、P分别为BC、CD、BD上的点，则PE+PF的最小值为 ．
【分析】在AD上取一点F'，使DF'＝DF，连接PF'，EF'，过点A作AH⊥BC于点H，推出PE+PF的最小值为AH的长，再在Rt△ABH中，求出AH的长即可．
【解答】解：在AD上取一点F'，使DF'＝DF，连接PF'，EF'，过点A作AH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点F'与点F关于对角线BD所在直线对称，
∴PF'＝PF，
∴PE+PF＝PE+PF'≥EF'≥AH，
即PE+PF的最小值为AH的长，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ABH＝60°，
在Rt△ABH中，
AH＝AB•sin∠ABH＝2×＝，
即PE+PF的最小值为，
故答案为：．
20．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC⊥BD于点E，若2∠DBC+∠DAC＝90°，AC＝BD＝10，则CD的长为 ．
【分析】过D点分别作DG⊥BC交BC的延长线于点G，作DF⊥AB于点F，先证明四边形BGDF为矩形，根据矩形的性质可得BF＝DG，DF∥BG，利用AAS证明△ADF≌△BDF及△ABC≌△BGD可证得△CDG为等腰直角三角形，即可得CD＝DG，再由勾股定理求解GD的长，进而可求解．
【解答】解：过D点分别作DG⊥BC交BC的延长线于点G，作DF⊥AB于点F，
∴∠AFD＝∠BFD＝∠BGD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形BGDF为矩形，∠BAC+∠ABC＝90°，
∴BF＝DG，DF∥BG，
∴∠DBC＝∠BFD，
∵AC⊥BD于点E，
∴∠ADE+∠DAC＝90°，
∵2∠DBC+∠DAC＝90°，
∴∠ADE＝2∠DBC，
∴∠ADF＝∠BDF，
∵DF＝DF，
∴△ADF≌△BDF（AAS），
∴AF＝BF＝AB，
∴DG＝AB，
∵∠ABC＝∠BGD＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠GBD+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠GBD，
∵AC＝BD，
∴△ABC≌△BGD（AAS），
∴BC＝DG，AB＝BG，
∴BC＝BG，
∴CG＝BC＝DG，
∴△CDG为等腰直角三角形，
∴CD＝DG，
在RtBGD中，（2GD）2+GD2＝BD2＝102，
解得GD＝，
∴CD＝．
故答案为：．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（1﹣）的值，其中x＝2cs30°﹣tan45°．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x＝2cs30°﹣tan45°求出x的值，代入原式进行计算即可．
【解答】解：原式＝×
＝，
∵x＝2cs30°﹣tan45°，
∴x＝2×﹣1＝﹣1，
∴原式＝＝．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，已知线段AC和EF，点A、C、E、F均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以线段AC为底的等腰直角三角形ACD，点D在小正方形的顶点上．
（2）在方格纸中画出△EFK，使EF＝EK，且△EFK的面积为，点K在小正方形的顶点上．连接DK，并直接写出线段DK的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质结合网格以及勾股定理作出图形即可；
（2）根据等腰三角形的性质结合网格以及三角形的面积公式作出图形即可，再连接DK，根据勾股定理求出DK的长即可．
【解答】解：（1）如图所示，等腰直角三角形ACD即为所求；
（2）如图所示△EFK即为所求，DK＝．
23．（8分）为提高学生的身体素质，了解学生体育锻炼的需求，虹友中学随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪类体育运动”（必选且只选一类）的调查，并根据调查结果，绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢“篮球”运动的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了多少名学生？并将条形统计图补充完整；
（2）若虹友中学共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生有多少名？
（3）如果小萍和小红也参加了本次调查，那么小萍和小红喜欢同一种体育运动的概率为 ．
【分析】（1）用最喜欢“篮球”运动的学生人数除以30%可得一共调查的学生人数；求出最喜欢“排球”运动的学生人数，补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用2000乘以样本中最喜欢“滑冰”运动的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及小萍和小红喜欢同一种体育运动的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（名）．
∴一共调查了200名学生．
最喜欢“排球”运动的学生人数为200﹣56﹣60﹣34＝50（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）2000×＝340（名）．
∴估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生约340名．
（3）将“足球”“篮球”“排球”“滑冰”分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小萍和小红喜欢同一种体育运动的结果有4种，
∴小萍和小红喜欢同一种体育运动的概率为＝．
故答案为：．
24．（8分）已知：AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点H，点F为上一点，连接DF交AB于点E，交AC于点G，∠AEF＝∠BAC+∠ACF．
（1）如图1，求证：AB⊥CD；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，当∠ACD＝2∠ACF，AE＝4，BD＝6时，求AG的长．
【分析】（1）利用圆周角定理，三角形的外角的性质得到∠BAC＝∠BAD，则，利用垂径定理的推论解答即可得出结论；
（2）利用圆周角定理与已知条件得到∠ACF＝∠CDF＝∠ADF，利用圆周角定理和三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理得到BE＝BD＝6，利用圆周角定理和勾股定理得到AD＝AC＝8，利用三角形的面积公式求得DH，利用垂径定理得到CD，再利用角平分线的性质得到比例式，将数值代入运算即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠AEF＝∠BAC+∠ACF，∠AEF＝∠BAD+∠ADF，
∴∠BAC+∠ACF＝∠BAD+∠ADF．
∵∠ACF＝∠ADF，
∴∠BAC＝∠BAD，
∴．
∵AB为⊙O的直径，
∴AB⊥CD；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC．
∵∠ACD＝2∠ACF，
∴∠ADC＝2∠ACF．
∵∠ADC＝∠ADF+∠CDF，∠ADF＝∠ACF，
∴2∠ACF＝∠CDF+∠ACF，
∴∠ACF＝∠CDF＝∠ADF．
∵∠BED＝∠BAD+∠ADF，∠BDE＝∠BDC+∠CDF，∠BDC＝∠BAD，
∴∠BED＝∠BDE，
∴BE＝BD＝6，
∴AB＝AE+BE＝10．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝＝8，
∴AC＝AD＝8．
∵S△ABD＝AD•BD＝AB•DH，
∴6×8＝10DH，
∴DH＝4.8，
∴CD＝2DH＝9.6，
∵∠CDF＝∠ADF，
∴，
∴，
∴AG＝．
25．（10分）2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．振华纪念品经销店要购进A、B两种工艺品，若购进A种工艺品2件和B种工艺品3件共需68元，若购进A种工艺品3件和B种工艺品1件共需60元．
（1）求A、B两种工艺品每件的进价分别为多少元？
（2）若A种工艺品售价为21元，B种工艺品售价为19元，该经销店准备购进A、B两种工艺品共40件，这两种工艺品全部售出后总获利不低于216元，那么该经销店最多可以购进A种工艺品多少件？
【分析】（1）根据若购进A种工艺品2件和B种工艺品3件共需68元，若购进A种工艺品3件和B种工艺品1件共需60元．可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）设A种工艺品每件的进价为a元，B种工艺品每件的进价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种工艺品每件的进价为16元，B种工艺品每件的进价为12元；
（2）设购进A种工艺品x件，则购进B种工艺品（40﹣x）件，
由题意可得：（21﹣16）x+（19﹣12）（40﹣x）≥216，
解得x≤32，
∵x为整数，
∴x的最大值为32，
答：该经销店最多可以购进A种工艺品32件．
26．（10分）已知：正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A、D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，AF交BE于点O，连接CF，设∠ABE＝α．
（1）如图1，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AF交AF的延长线于点G，AG交CD于点H，连接DG，求AF与DG的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，若CF＝4DG，，求△BCF的面积．
【分析】（1）由轴对称的性质可得AB＝BF，BE⊥AF，可求∠CBF＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可求解；
（2）如图2，连接AC，证明△ACF∽△DCG可得结论；
（3）如图3，连接AC，过点F作FM⊥BC于M，根据圆周角相等，可知点A，点D，点G，点C四点共圆，则∠AGD＝∠ACD＝45°，证明△DHG∽△CHF，并由勾股定理和三角形的面积可解答．
【解答】解：（1）如图1，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴AB＝BF，BE⊥AF，
∴∠ABE＝∠EBF＝α，BC＝BF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝90°﹣2α，
∴∠BCF＝＝45°+α；
（2）AF＝DG，理由如下：
如图2，连接AC，BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∵∠AFB＝90°﹣α，∠BCF＝45°+α，
∴∠AFC＝135°，
∴∠CFG＝45°＝∠FCG，
∴∠FCG＝∠ACD＝45°，
∴∠ACF＝∠DCG，
∵△ADC和△FCG是等腰直角三角形，
∴AC＝CD，CF＝CG，
∴＝＝，
∴△ACF∽△DCG，
∴＝，
∴AF＝DG；
（3）如图3，连接AC，过点F作FM⊥BC于M，
∵∠ADC＝∠AGC＝90°，
∴点A，点D，点G，点C四点共圆，
∴∠AGD＝∠ACD＝45°，
∴∠CFG＝∠AGD＝45°，
∵∠DHG＝∠FHC，
∴△DHG∽△CHF，
∴＝＝，
∵FH＝4GH，GH＝，
∴FH＝，
∴FG＝FH+GH＝+＝2＝CG，
∴CF＝FG＝4，
Rt△CGH中，CH＝＝＝，
∴DH＝CH＝，
∴BC＝CD＝CH+DH＝＝BF，
设BM＝x，则CM＝﹣x，
由勾股定理得：FM2＝BF2﹣BM2＝CF2﹣CM2，
∴39﹣x2＝（4）2﹣（﹣x）2，
解得：x＝，
∴FM＝＝＝，
∴△BCF的面积＝•BC•FM＝××＝18．
27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC，S△ABC＝10．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第二象限抛物线上一点，过P作PE⊥x轴交直线AC于点E，点D为线段CE上一点，过点D作直线DF⊥x轴交抛物线于点F，连接PF．设点P的横坐标为t，点F的横坐标为n，若四边形PEDF为平行四边形，求n与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PD并延长，交x轴于点G，连接GF，点M在GF的延长线上，延长FP交x轴于点H，连接HM、DM．若BG＝OA，∠PED﹣∠DMG＝∠MDF，∠MHF＝∠PGF，求线段DM的长．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由四边形PEDF为平行四边形，得PE∥DF，且PE＝FD，从而有点P坐标为（t，﹣t2﹣3t+4），点F坐标为（n，﹣n2﹣3n+4），然后求出直线AC的解析式y＝x+4，则PE＝﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t，FD＝﹣n2﹣3n+4﹣（n+4）＝﹣n2﹣4n，根据平行四边形的性质得PE＝FD，最后解方程即可；
（3）根据题意画出图形，延长FD交x轴于点S，求出∠FSG＝90°，∠FGS＝45°，再利用三角函数得到＝＝1，则F（﹣1，6），P（﹣3，4），D（﹣1，3），证明△MHF≌△PGF，最后由勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）令x＝0得，y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
∴OC＝4，
∵OA＝OC，
∴点A的坐标为（﹣4，0），
又∵S△ABC＝AB•OC＝10，
∴AB＝5，
∵OB＝AB﹣OA＝5﹣4＝1，
∴点B的坐标为（1，0），
将点A、B的坐标代入y＝ax2+bx+4，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）∵四边形PEDF为平行四边形，
∴PE∥DF，且PE＝FD，
∵点P的横坐标为t，点F的横坐标为n，
∴点P坐标为（t，﹣t2﹣3t+4），点F坐标为（n，﹣n2﹣3n+4），
设直线AC方程为y＝mx+d，将点A、C坐标代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝x+4，
∴点E坐标为（t，t+4），点D坐标为（n，n+4），
PE＝﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t，FD＝﹣n2﹣3n+4﹣（n+4）＝﹣n2﹣4n，
∵PE＝FD，
∴﹣t2﹣4t＝﹣n2﹣4n，即n2﹣t2+4n﹣4t＝0，
（n+t）（n﹣t）+4（n﹣t）＝0，
（n﹣t）（n+t+4）＝0
∴n＝t（舍去）或n＝﹣t﹣4，
∴n与t的函数关系式为：n＝﹣t﹣4；
（3）延长FD交x轴于点S，过M作MK⊥y轴于点K，交DF延长线于点T，
∵BG＝OA，
∴OG＝OB+BG＝5，
∵PE∥OC，
∴∠PED＝∠ACO＝45°，
又∵∠PED﹣∠DMG＝∠MDF，
∴∠DMG+∠MDF＝∠DFG＝∠PED＝45°，
∴∠FSG＝90°，∠FGS＝45°
∴＝tan∠FGS＝1，即＝＝1，
解得：n＝﹣1，
∴F（﹣1，6），P（﹣3，4），D（﹣1.3），
∴PF＝2，gf＝6，
∵FD∥OC，PF∥AC，
∴∠PFD＝∠FDC＝∠DCO＝45°，
∴∠PFG＝∠PFD+∠DFG＝90°，
∴∠FGS＝∠FHS＝45°，
∴HF＝FG，
又∵∠MHF＝∠PGF，
∴△MHF≌△PGF（AAS），
∴MF＝PF＝2，
∴MG＝FG+FN＝8，
∴点M的纵坐标为MG•sin∠FGS＝8×＝8，横坐标为OG﹣MG•cs∠FGS＝5﹣8×＝5﹣8＝﹣3，
∴点M坐标为（﹣3.8），
∵F（﹣1，6），
∴T（﹣1.8），
∴MT＝2，DT＝5，
∴DM＝＝＝．