2023-2024学年江苏省无锡一中高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡一中高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果a，b是两个单位向量，下列四个结论中正确的是( )
A. a=bB. a⋅b=1C. a2≠b2D. |a|2=|b|2
2.已知a,b为不共线的非零向量，AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−3b，则( )
A. A，B，C三点共线B. A，B、D三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
3.已知非零向量a，b，c，则“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若e1，e2是夹角为π3的两个单位向量，则a=2e1+e2和b=−3e1+2e2的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.已知i，j为互相垂直的单位向量，a=i+2j，b=3i−(λ−4)j，且a与a+b的夹角为锐角，则λ的取值范围为( )
A. .(0,+∞)B. .(0,10)∪(10,+∞)
C. .(−∞,−2)∪(−2,8)D. (−∞,0)
6.若向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|等于( )
A. 2B. 5C. 2或5D. 2或 5
7.在△ABC中，AB=2 2，AC= 6，BC边上的中线AD= 5，则△ABC面积S为( )
A. 134B. 34C. 392D. 53
8.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c−b=2bcsA，则下列四个结论中正确的是( )
A. B=2A
B. B的取值范围为(0,π4)
C. ab的取值范围为( 2, 3)
D. 1tanB−1tanA+2sinA的最小值为2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( )
A. EF=13AB
B. AD+DC=AB+BC
C. BE=CB−CE
D. AF=23AD+13AC
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若a=10，b=8，B=45°，则符合条件的△ABC有二个
B. 若acsB= 3，bsinA=3，则角B的大小为π6
C. 若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形
D. 若△ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+Sc⋅MC=0.以下命题正确的有( )
A. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心
B. 若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0
C. 若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA：SB：SC= 3：2：1
D. 若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cs∠AMB=− 66
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|=2,b=( 3,3)，向量a在b上的投影向量为12b，则向量a与b的夹角为______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2C，b=6，c=4，则△ABC的面积为______．
14.已知向量a，b夹角为π3，|b|=2，若对任意x∈R，恒有|b+xa|≥|b−12a|，则函数|tb−12a|(t∈R)的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(m,−1)，b=(1,2)．
(1)若(a+b)⊥2b，求|a+2b|；
(2)若向量c=(−2,1)，a/​/c，求a与a−2b夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，sinBsinC=1−csBcsA．
(1)若∠B=120°，BC边上的中线AD的长为 7，求c的值；
(2)若S△ABC= 34(a2+b2−c2)，c=1，求S△ABC．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC为锐角，E是线段AC的中点，D在线段BC上，且BD=3DC，AD，BE相交于点P，△ABC的面积为2 3．
(1)求AD的长度；
(2)求∠DPE的余弦值．
18.(本小题17分)
某公园拟对一扇形区域AOB进行改造，如图所示，平行四边形OMPN为休闲区域，阴影部分为绿化区，点P在弧AB上，点M，N分别在OA，OB上，且OA=100米，∠AOB=π3，设∠POB=θ．
(1)请求出顾客的休息区域OMPN的面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S取得最大值，最大值为多少平方米？
(2)设OP=xOA+yOB，求x2+y2的取值范围．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
(1)若csinC−asinA=(c−b)sinB，
①求A；
②若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(2)若cs2B+cs2C−cs2A=1，设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.单位向量是模为1的向量，但方向可不同，故A错；
B.a⋅b=|a|⋅|b|⋅cs=cs，故B错；
C.a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2，故C错；
D.|a|2=1，|b|2=1，故D对．
故选：D．
由相等向量的概念：大小相等，方向相同的两向量为相等向量，即可判断A；
由向量的数量积的定义，即可判断B；
由向量的平方即为模的平方，以及单位向量的概念，即可判断C，D．
本题考查平面向量的基本概念：单位向量、相等向量、向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵AB=a+5b，BC=−2a+8b，
∴不存在λ，使AB=λBC，
故A，B，C三点不共线，
故选项A错误；
∵BD=BC+CD=a+5b，
∴AB=BD，
∴A，B、D三点共线，
故选项B正确；
∵BC=−2a+8b，CD=3a−3b，
∴不存在λ，使CD=λBC，
故B，C，D三点不共线，
故选项C错误；
∵AC=AB+BC=−a+13b，CD=3a−3b，
∴不存在λ，使AC=λCD，
故A，D，C三点不共线，
故选项D错误；
故选：B．
利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可．
本题考查了向量共线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：当a⊥c且b⊥c，则a⋅c=b⋅c=0，但a与b不一定相等，
故a⋅b=b⋅c不能推出a=b，
则“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的不充分条件；
由a=b，可得a−b=0，
则(a−b)⋅c=0，即a⋅b=b⋅c，
所以a=b可以推出a⋅b=b⋅c，
故“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的必要条件．
综上所述，“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的必要不充分条件．
故选：B．
分别从充分性和必要性进行判断，由充分条件与必要条件的定义，即可得到答案．
本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，以及已知三角函数求角，清楚向量夹角的范围．
由条件可以得到|e1|=1,|e2|=1，e1⋅e2=12，然后进行数量积的运算便可求出a⋅b=−72，a2=7,b2=7，设a,b的夹角为θ.从而根据向量夹角余弦的计算公式即可求出csθ=−12，这样便可得出向量a,b的夹角．
【解答】
解：根据条件，|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=12；
∴a⋅b=(2e1+e2)⋅(−3e1+2e2)
=−6e12+e1⋅e2+2e22
=−6+12+2=−72，
a2=4e12+4e1⋅e2+e22=7，
b2=9e12−12e1⋅e2+4e22=7；
设a,b的夹角为θ．
∴csθ=a⋅b|a||b|=−72 7⋅ 7=−12；
又∵θ∈[0,π]，
∴a,b的夹角为2π3．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：∵i，j为互相垂直的单位向量，∴i⋅j=0，|i|=|j|=1，
∵a=i+2j，b=3i−(λ−4)j，
∴a⋅(a+b)=a2+a⋅b=(i+2j)2+(i+2j)⋅[3i−(λ−4)j]=16−2λ，
|a|2=(i+2j)2=5，∴|a|= 5，
|a+b|2=[4i+(6−λ)j]2=λ2−12λ+52，
∴|a+b|= (λ−6)2+16，
∴cs=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|=16−2λ 5× (λ−6)2+16>0，∴λ