2023-2024学年江苏省常州市前黄高级中学高一（下）自主练习数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市前黄高级中学高一（下）自主练习数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(1,2)，b/​/a，那么向量b可以是( )
A. (2,1)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (−2,1)
2.已知sin(α+π4)=45，α∈(π4,π2)，则csα=( )
A. 210B. 3 210C. 22D. 7 210
3.已知点P是边长为2的正△ABC的内部(不包括边界)的一个点，则AP⋅AB的取值范围为( )
A. (0,2)B. (1,2)C. (0,4)D. (2,4)
4.在△ABC中，BD=13BC，点E是AD的中点，记AB=a，AC=b，则CE=( )
A. −13a+13bB. −23a+16bC. −13a−13bD. 13a−56b
5.将函数y=sinx的图象上每点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位，得到的函数解析式为( )
A. y=sin(2x+π6)B. y=sin(2x+π3)C. y=sin(x2+π6)D. y=sin(x2+π12)
6.如图，在边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点(接近点B)，点F为BC的中点，则FE⋅EC=( )
A. − 316
B. −56
C. −103
D. −34
7.已知α，β∈(0,π)，sin(α−β)=56，tanαtanβ=−14，则α+β=( )
A. 56πB. 76πC. 116πD. 76π或116π
8.已知向量a,b均为单位向量，且a⊥b，向量c满足|c|=2，则(c−2a)⋅(c−b)的最大值为( )
A. 4 2B. 4 5C. 4+2 5D. 4+2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简结果正确的是( )
A. cs22°sin52°−sin22°cs52°=−12B. tan24°+tan36°1−tan24∘tan36∘= 3
C. sinπ12− 3csπ12=− 2D. sin105°= 6+ 24
10.下列说法正确的是( )
A. 已知向量a=(1, 3)，b=(csθ,sinθ)，若a−⊥b，则tanθ=− 33
B. 已知向量a=(2,3)，b=(x,2)，则“a，b的夹角为锐角”是“x>−3”的充要条件
C. 若向量a−=(−4,3),b=(1,3)，则a在b方向上的投影向量坐标为(12,32)
D. 在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且BA|BA|⋅BC|BC|=12，则△ABC为等边三角形
11.已知函数f(x)=2csφcs(2x+φ)+sin2x−cs(2x+2φ)，则( )
A. f(x)的图象关于点(3π8,0)中心对称
B. f(x)的值域为[−2,2]
C. 满足f(x)在区间[−m,m]上单调递增的m的最大值为π8
D. f(x)=1在区间(−π8,11π8)上的所有实根之和为5π2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|=|b|=3，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为32e，则a与b的夹角为______．
13.已知α为锐角且tanαtan(α+π4)=−23，则sin(2α+π2)的值是______．
14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°.若m2+n=4，则m+ ncs27°= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
试分别解答下列两个小题：
(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a−3b)⋅(2a+b)=53，设a与b的夹角为θ，求sin2θ；
(2)已知a=(1,2),b=(3,−5),a⋅c=3,b⋅c=20，若m与c共线，且|m|= 26，求m的坐标．
16.(本小题15分)
(1)求tan20°+tan40°− 3tan20°tan40°的值；
(2)已知sinα−csα=15,α∈[0,π]，求sin(2α+π4)的值．
17.(本小题15分)
已知k为实数，f(x)=2sin2(π4+x)−k⋅cs2x．
(1)若k=0，求关于x的方程f(x)=1在[0,π]上的解；
(2)若k= 3，求函数y=f(x)，x∈R的单调减区间；
(3)已知a为实数且k= 3，若关于x的不等式|f(x)−a|<2在x∈[π4,π2]时恒成立，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=5，AD=2DC=4，且AC⋅BD=0，E是线段AB上一点，且AE=4EB，F为线段BC上一动点．
(1)求∠DAB的大小；
(2)若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求cs∠EMF；
(3)求AF⋅DF的取值范围．
19.(本小题17分)
已知向量a=(sinx,csx)，b=(csx, 3csx)，函数f(x)=a⋅b− 32．
(1)若f(x02)=−13，且x0∈(−π2,π2)，求sinx0的值；
(2)已知A(−3,2)，B(3,10)，将f(x)的图象向左平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象.在g(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设向量b=(x,y)，
由b/​/a，得2x−y=0，
∴y=2x，
∴向量b可以是(−1,−2)．
故选：C．
利用平面向量的共线定理，列方程求得向量b满足的条件．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的余弦公式进行转化求解是解决本题的关键，属于基础题．
利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可．
【解答】
解：∵α∈(π4,π2)，∴α+π4∈(π2,3π4)，
∵sin(α+π4)=45，∴cs(α+π4)=−35，
则csα=cs(α+π4−π4)
=cs(α+π4)csπ4+sin(α+π4)sinπ4
=−35× 22+45× 22= 210，
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：如图所示：
因为点P是边长为2的正△ABC的内部(不包括边界)的一个点，
由图象知：|AP|⋅cs〈AP,AB〉=|AD|∈(0,2)，
所以AP⋅AB=|AP|⋅cs〈AP,AB〉⋅AB∈(0,4)．
故选：C．
利用平面向量的数量积的几何意义求解．
本题主要考查了平面向量的数量积得几何意义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：CE=12(CA+CD)=12(−AC+23CB)=−12AC+13CB
=−12AC+13(AB−AC)=13AB−56AC=13a−56b．
故选：D．
由平面向量的线性运算计算即可．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意，将函数y=sinx的图象上每点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，可得y=sin2x
再把所得图象向左平移π6个单位，可得y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)
故选：B．
按照左加右减以及伸缩变换，逐步求出变换后的函数的解析式即可．
本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点(接近点B)，点F为BC的中点，
则EC=BC−BE=BC−13BD=BC−16(BA+BC)=56BC−16BA，EF=12EB+12EC=512BC−112BA−112(BA+BC)=13BC−16BA，
则FE⋅EC=(16BA−13BC)⋅(56BC−16BA)=−136BA2−518BC2+736BA⋅BC=−136×4−518×4+736×4×12=−56．
故选：B．
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：∵α，β∈(0,π)，tanαtanβ=−14，
∴0<α<π2，π2<β<π或0<β<π2，π2<α<π，
①当0<α<π2，π2<β<π时，则−π<α−β<0，sin(α−β)<0，不符合题意，
②当0<β<π2，π2<α<π时，则0<α−β<π，sin(α−β)>0，符合题意，
∵sin(α−β)=56，tanαtanβ=−14，
∴sinαcsβ−csαsinβ=56，sinαcsβcsαsinβ=−14，
∴sinαcsβ=16，csαsinβ=−23，
∴sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=−12，
∵0<β<π2，π2<α<π，∴π2α+β<3π2，
∴α+β=7π6，
故选：B．
利用两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系式求出sinαcsβ=16，csαsinβ=−23即可．
本题考查两角和与差的正弦公式，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：a,b均为单位向量，且a⊥b，∴设a=(1,0),b=(0,1)，c=(x,y)，
∴c−2a=(x−2,y),c−b=(x,y−1)，且x2+y2=4，设x=2csα，y=2sinα，
∴(c−2a)⋅(c−b)=x2−2x+y2−y=4−4csα−2sinα=4−2 5sin(α+φ)，且tanφ=2，
∴(c−2a)⋅(c−b)的最大值为4+2 5．
故选：C．
根据题意可设a=(1,0),b=(0,1)，c=(x,y)，从而得出c−2a=(x−2,y),c−b=(x,y−1)，且设x=2csα，y=2sinα，从而可得出(c−2a)⋅(c−b)=4−4csα−2sinα，然后根据辅助角公式即可求出最大值．
本题考查了设出向量的坐标，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的减法和数乘、数量积的运算，辅助角公式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：cs22°sin52°−sin22°cs52°=sin30°=12，A错误；
tan24°+tan36°1−tan24∘tan36∘=tan60°= 3，B正确；
sinπ12− 3csπ12=2sin(π12−π3)=2sin(−π4)=− 2，C正确；
sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cs60°+cs45°sin60°= 22×12+ 22× 32= 6+ 24，D正确．
故选：BCD．
根据两角和差的正弦公式，两角和的正切公式即可得解．
本题考查了两角和差的正弦和正切公式，是基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，向量a=(1, 3)，b=(csθ,sinθ)，
若a⊥b，则a⋅b=csθ+ 3sinθ=0，
即有tanθ=sinθcsθ=− 33，故A正确；
对于B，向量a=(2,3)，b=(x,2)，a，b的夹角为锐角⇔a⋅b>0且a，b不共线
⇔2x+6>0且3x≠4⇔x>−3且x≠43，“a，b的夹角为锐角”是“x>−3”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若向量a=(−4,3)，b=(1,3)，则a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−4+9 10⋅(1,3) 10=(12,32)，故C正确；
对于D，在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，可得∠BAC的平分线垂直于线段BC，即△ABC中，AB=AC，
又BA|BA|⋅BC|BC|=12，可得cs∠BAC=12，即有∠BAC=60°，则△ABC为等边三角形，故D正确．
故选：ACD．
由向量垂直的条件和同角的基本关系式可判断A；由向量夹角为锐角的等价条件可判断B；由一个向量在另一个向量上的投影向量的定义可判断C；由向量垂直和向量的平行四边形法则、数量积的定义可判断D．
本题考查向量的垂直和数量积的定义和性质，以及向量的夹角，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由已知，f(x)=2cs φ(cs2xcsφ−sin2xsinφ)+sin2x−cs2xcs2φ+sin2xsin2φ
=cs2x(1+cs2φ)−sin2xsin2φ+sin2x−cs2xcs2φ+sin2xsin2φ
=cs2x+sin2x= 2sin(2x+π4)，
对于A，当x=3π8时，2x+π4=3π4+π4=π，此时f(x)= 2sinπ=0，
∴f(x)的图象关于点(3π8,0)中心对称，故A正确；
对于B，∵sin(2x+π4)∈[−1,1]，
∴f(x)的值域为[− 2, 2]，故B错误；
对于C，若f(x)在[−m,m]上单调递增，
则−2m+π4≥−π2+2kπ2m+π4≤π2+2kπ，(k∈Z)，
解得：m≤3π8−kπm≤π8+kπ，(k∈Z)，
又m>0，∴3π8−kπ>0π8+kπ<0，解得：−18∴k=0，∴0对于D，令f(x)=1，则sin(2x+π4)= 22，
当x∈(−π8,11π8)时，2x+π4∈(0,3π)，
作出y=sin(2x+π4)与y= 22的图象如下图所示，
则y=sin(2x+π4)与y= 22的交点x1，x2，x3，x4即为方程f(x)=1的根，
由对称性可知：x1+x2=π4，x3+x4=9π4，
∴x1+x2+x3+x4=π4+9π4=5π2，故D正确．
故选：ACD．
利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到f(x)= 2sin(2x+π4)，利用代入检验法可知A正确；根据正弦型函数值域可知B错误；根据函数单调递增，利用整体代换法可求得m范围，知C正确；将问题转化为y=sin(2x+π4)与y= 22交点横坐标之和的问题，由对称性可求得D正确．
本题考查三角恒等变换与三角函数性质相关问题的求解，本题求解方程实根之和的关键是将问题转化为两函数交点的问题，采用数形结合的方式，结合正弦函数对称性可求得结果，属中档题．
12.【答案】π3
【解析】解：因为|a|=|b|=3，e是与向量b方向相同的单位向量，
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|csθe=3csθe=32e，
解得csθ=12，又θ∈[0,π]，
所以a与b的夹角θ=π3．
故答案为：π3．
根据平面向量与投影向量的定义，列式计算即可求出两向量夹角的大小．
本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题．
13.【答案】−35
【解析】解：tanαtan(α+π4)=tanα(1−tanα)1+tanα=tanα−tan2α1+tanα=−23，
∴3tan2α−5tanα−2=0，且α为锐角，tanα>0，解得tanα=2，
∴sinα=2csα，
∴4cs2α+cs2α=1，∴cs2α=15，
∴sin(2α+π2)=cs2α=2cs2α−1=25−1=−35．
故答案为：−35．
根据两角和的正切公式化简tanαtan(α+π4)=−23即可求出tanα的值，然后即可求出cs2α的值，然后根据三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式即可得解．
本题考查了两角和的正切公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，是基础题．
14.【答案】2 2
【解析】解：因为m=2sin18°，m2+n=4，
所以n=4−m2=4−4sin218°=4cs218°， n=2cs18°，
所以m+ ncs27°=2sin18°+2cs18°sin63∘=2 2sin(45°+18°)sin63°=2 2．
故答案为：2 2．
根据m=2sin18°，m2+n=4，求得 n=2cs18°，代入m+ ncs27°即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
15.【答案】解：(1)∵|a|=4,|b|=3，
∴(2a−3b)⋅(2a+b)=4|a|2−4a⋅b−3|b|2=4|a|2−4|a|⋅|b|csθ−3|b|2=64−48csθ−27=53，解得csθ=−13，
∴结合0≤θ≤π，可得sinθ= 1−(−13)2=2 23，sin2θ=2sinθcsθ=−4 29；
(2)设c=(x,y)，
∵a=(1,2),b=(3,−5)，∴a⋅c=x+2y=3b⋅c=3x−5y=20，解得x=5，y=−1，即c=(5,−1)，
根据m与c共线，设m=λc,λ∈R，则m=(5λ,−λ)，
∵|m|= 26，∴ 25λ2+λ2= 26⇒λ=±1，∴m=(5,−1)或m=(−5,1)．
【解析】(1)由|a|=4,|b|=3,(2a−3b)⋅(2a+b)=53，利用向量的运算律求得csθ=−13，进而利用二倍角公式算出sin2θ的值；
(2)设c=(x,y)，a⋅c=3,b⋅c=20求得c=(5,−1)，然后根据m与c共线，结合|m|= 26算出m的坐标．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵tan60°=tan(20°+40°)=tan20°+tan40°1−tan20∘tan40∘= 3，
∴tan20°+tan40°− 3tan20°tan40°=− 3；
(2)∵sinα−csα=15,α∈[0,π]，
∴(sinα−csα)2=125，
∴2sinαcsα=2425>0，
又α∈[0,π]，则α∈(0,π2)，
∴sinα+csα= (sinα+csα)2= 1+2sinαcsα=75，
∴sinα=45，csα=35，
∴sin(2α+π4)=sin2αcsπ4+cs2αsinπ4= 22(2sinαcsα+cs2α−sin2α)= 22×(2425+35×35−45×45)=17 250．
【解析】(1)利用两角和与差的正切公式，即可得出答案；
(2)利用两角和与差的三角函数公式可得2sinαcsα=2425>0，sinα+csα=75，可得sinα=45，csα=35，即可得出答案．
本题考查两角和与差的三角函数公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=2sin2(π4+x)−k⋅cs2x
=1−cs2(π4+x)−k⋅cs2x
=1−cs(π2+2x)−k⋅cs2x
=1+sin2x−k⋅cs2x，
当k=0时f(x)=1+sin2x，由f(x)=1，则sin2x=0，
所以2x=kπ，k∈Z，解得x=kπ2,k∈Z，
所以方程f(x)=1在[0,π]上的解为x=0或x=π2或x=π．
(2)当k= 3时f(x)=1+sin2x− 3cs2x=1+2sin(2x−π3)，
令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为[5π12+kπ,11π12+kπ]，k∈Z．
(3)当k= 3时f(x)=1+2sin(2x−π3)，
关于x的不等式|f(x)−a|<2在x∈[π4,π2]时恒成立，
关于x的不等式−2+a由x∈[π4,π2]，则2x−π3∈[π6,2π3]，所以sin(2x−π3)∈[12,1]，
则f(x)∈[2,3]，所以2+a≥3−2+a≤2，解得1≤a≤4，
即a的取值范围为[1,4]．
【解析】(1)利用二倍角公式及诱导公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
(2)利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
(3)依题意可得−2+a本题考查三角函数图象性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)连接AC，BD，
由AB/​/CD，AB=5，DC=2，
则AB//DC，AB=52DC，
∴==θ，θ∈(0,π)，又AB=5，AD=2DC=4，
∴AC⋅BD=(AD+DC)⋅(AD−AB)=(AD+DC)⋅(AD−52DC)
=|AD|2−32AD⋅DC−52|DC|2=|AD|2−32|AD|⋅|DC|⋅csθ−52|DC|2，
又AC⋅BD=0，∴16−32×4×2csθ−52×4=0，∴csθ=12，
又θ∈(0,π)，∴θ=π3，∴∠DAB=π3．
(2)如图，过点D作DO⊥AB于O，
则AO=ADcs∠DAB=2，DO=ADsin∠DAB=2 3，
建系如图，则根据题意可得：
A(−2,0)，D(0,2 3)，E(2,0)，B(3,0)，C(2,2 3)，F(52, 3)，
∴AF=(92, 3)，DE=(2,−2 3)，
∴csθ=AF⋅DE|AF|⋅|DE|=92×2−2 3× 3 814+3× 4+12= 9362；
(3)根据(2)得BC=(−1,2 3)，设BF=λBC，λ∈[0,1]，
∴(xF−3,yF)=λ(−1,2 3)，解得xF=3−λyF=2 3λ，∴F(3−λ,2 3λ)，
∴AF=(5−λ,2 3λ)，DF=(3−λ,2 3λ−2 3)，
∴AF⋅DF=(5−λ)×(3−λ)+2 3λ×(2 3λ−2 3)=13λ2−20λ+15=13(λ−1013)2+9513，
又λ∈[0,1]，∴当λ=1013时，(AF⋅DF)min=9513；
当λ=0时，(AF⋅DF)max=15，
∴AF⋅DF的取值范围为[9513,15]．
【解析】(1)连接AC，BD，根据AD与AB的夹角和AD与DC的夹角相同，并设为θ，θ∈(0,π)，结合题意、平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式即可求解θ，进而得到∠DAB的大小；
(2)如图，过点D作DO⊥AB于O，先求得AO，DO的值，则以O为原点，以AB，DO所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，再根据平面向量的夹角公式即可求解cs∠EMF；
(3)结合(2)，设BF=λBC，λ∈[0,1]，得到点F的坐标，从而得到AF，DF，进而得到AF⋅DF表示为关于λ的二次函数，再根据二次函数的性质即可得到AF⋅DF的取值范围．
本题考查平面向量的数量积的运算，向量数量积的性质，向量夹角公式的应用，数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=a⋅b− 32=sinxcsx+ 3cs2x− 32=12sin2x+ 32(1+cs2x)− 32=sin(2x+π3)，
f(x02)=sin(x0+π3)=−13，因为x0∈(−π2,π2)，所以x0+π3∈(−π6,5π6)，
而sin(x0+π3)=−13<0，所以x0+π3∈(−π6,0)，
所以cs(x0+π3)= 1−sin2(x0+π3)=2 23，
所以sinx0=sin[(x0+π3)−π3]=12sin(x0+π3)− 32cs(x0+π3)=−1+2 66；
(2)由题意得g(x)=sin(2(x+π12)+π3)=cs2x，
假设g(x)的图象上存在点P(x1,cs2x1)使得AP⊥BP，
因为AP=(x1+3,cs2x1−2)，BP=(x1−3,cs2x1−10)，
因为AP⊥BP，
所以AP⋅BP=(x1+3)(x1−3)+(cs2x1−2)(cs2x1−10)=x12+cs22x1−12cs2x1+11=0，
令h(x1)=x12+cs22x1−12cs2x1+11=x12+(cs2x1−6)2−25，
因为cs2x1∈[−1,1]，
所以h(x1)=x12+(cs2x1−6)2−25≥x12+(1−6)2−25=x12≥0，
当且仅当x1=0cs2x1=1时取等，
所以h(x1)=0存唯一解x1=0，此时cs2x1=1，点P(0,1)，
综上，符合条件的点P坐标为(0,1)．
【解析】(1)利用向量数量积公式计算出f(x)=sin(2x+π3)，从而得到sin(x0+π3)=−13，结合角的范围得到cs(x0+π3)，从而利用凑角法求出答案；
(2)求出g(x)，设P(x1,cs2x1)，由垂直关系利用向量列出方程，令h(x1)=x12+(cs2x1−6)2−25，结合cs2x1∈[−1,1]，得到x1=0cs2x1=1，求出点P的坐标．
本题考查向量的数量积的运算，三角恒等变换，化归转化思想，属中档题．