2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简MA−(BA−CM)+BC=( )
A. 2MCB. 2CBC. 2BCD. 0
2.圆心角是2π5，半径是2 5的扇形的面积为( )
A. 2πB. 4πC. 5πD. 10π
3.已知集合A={x||x−1|≤2}，B={x∈N|xb>cB. b>c>aC. c>b>aD. a>c>b
8.设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，当x1≥x2，且y1>y2时，则记作a≫b；当x10，则角β的终边可能在( )
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限
10.如图是《易・系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形ABCD，EFGH，其中O为这两正方形的中心，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若正方形ABCD的边长为2，则下列结论正确的是( )
A. AO= 22HGB. AO⋅(GC+GB)=0
C. BH=−12EF+32EHD. AO⋅BH=−1
11.如图，为测量海岛的高度AB以及其最高处瞭望塔的塔高BC，测量船沿航线DA航行，且DA与AC在同一铅直平面内，测量船在D处测得∠BDA=α，∠CDA=β，然后沿航线DA向海岛的方向航行m千米到达E处，测得∠BEA=γ，∠CEA=δ(δ>γ>β>α，测量船的高度忽略不计)，则( )
A. AB=msinγsinαsin(γ−α)B. AE=msinγcsγsin(γ−α)
C. BC=msinαsin(δ−γ)csδsin(γ−α)D. AC=msinδsinβsin(δ−β)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知tanθ+ 3≤0，且θ∈(−π2,π2)，则θ的取值范围为______．
13.已知向量a=(−1,2)，a⋅b=−1且|a−b|= 10，则|b|= ______．
14.已知在△ABC中，AB=2，∠A=60°，点D为BC上一点，且2BD=DC，BE为AC边上的高，垂足为E，则AD⋅BE= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足a+b=(3,1)，a−2b=(0,7)．
(1)求a⋅(a−b)；
(2)若向量a+mb与向量ma+b的方向相反，求实数m的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，AB=2，BC=3，∠B=60°，且BC=3AD，AC与BD交于点O，设AB=a，BC=b．
(1)用向量a，b表示OC，OB；
(2)求cs∠COD的值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=(x2−2x+4)(x2+mx+n)是偶函数．
(1)分别求实数m，n的值；
(2)求f(x)的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−e−x，g(x)=e2x+e−2x．
(1)证明：g2(x2)−f2(x)−4=0；
(2)求x∈[ln2,ln3]时，函数F(x)=2f(x)g(x)的最小值．
19.(本小题17分)
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccsB=a(2−b)，且C=π3．
(1)求a的值；
(2)若D为BC的延长线上一点，且∠CAD=π6，求三角形ACD周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：MA−(BA−CM)+BC=MA+CM+AB+BC=CA+AC=0．
故选：D．
根据向量的线性运算求解．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知：扇形的面积为12×2π5×(2 5)2=4π．
故选：B．
根据扇形的面积公式运算求解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：集合A={x||x−1|≤2}={x|−1≤x≤3}，
B={x∈N|x20=1，
函数y=lg0.4x在(0,+∞)上单调递减，所以b=lg0.42c>b．
故选：D．
利用函数单调性确定与中间量0，1的大小，进而得到答案．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：对于命题①：若a=(2,4)，b=(3,5)，则2y2+y0，所以(a+c)≫(b+c)，即③正确；
对于命题④：举反例，不妨取a=(−2,−2)，b=c=(−1,−1)，满足a≪b，
但a⋅c=2+2=4，b⋅c=1+1=2，
所以a⋅c>b⋅c，即④错误．
故选：C．
根据新定义，结合向量的坐标运算法则分析①③，举反例可判断②④．
本题考查平面向量的运算，理解新定义，熟练掌握平面向量的坐标运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：由题意可得：cs(π2−β)⋅csβ=sinβ⋅csβ>0，即sinβ，csβ同号，
所以角β的终边可能在第一象限或第三象限，
故AC错误，BD正确．
故选：BD．
由诱导公式可得sinβ⋅csβ>0，结合象限角的符号分析判断．
本题主要考查了诱导公式的应用，考查了三角函数值的符号判断，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由题意，对于正方形ABCD，EFGH，O为这两正方形的中心，
E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，正方形ABCD的边长为2，
对于A：AO=12AC=12×2HG=HG，故A错误；
对于B：由AO⊥DO，可得AO⋅(GC+GB)=AO⋅2GF=2AO⋅DO=0，故B正确；
对于C：BH=BE+EH=12FH+EH=12(FE+EH)+EH=−12EF+32EH，故C正确；
对于D：由AO⊥EH，可得AO⋅BH=AO⋅(−12EF+32EH)=−12AO⋅EF+32AO⋅EH=−12× 2× 2=−1，故D正确．
故选：BCD．
利用平面向量线性运算及数量积运算，对选项逐一计算进行判断即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：在△BDE中，∠BDE=α，∠DBE=∠BEA−∠BDE=γ−α，∠BED=π−γ，
由正弦定理得，DEsin∠DBE=BDsin∠BED=BEsin∠BDE，即msin(γ−α)=BDsinγ=BEsinα，所以BD=msinγsin(γ−α),BE=msinαsin(γ−α)，所以AB=BDsinα=msinγsinαsin(γ−α)，A正确；
AE=BEcsγ=msinαcsγsin(γ−α)，B错误；
在△BCE中，∠BCE=π2−δ,∠BEC=δ−γ，由正弦定理得，BCsin(δ−γ)=BEsin(π2−δ)，
所以BC=sin(δ−γ)×BEcsδ=msinαsin(δ−γ)csδsin(γ−α)，C正确；
在△CDE中，∠CDE=β，∠DCE=∠CEA−∠CDE=δ−β，∠CED=π−δ，代入CDsin∠CED=DEsin∠DCE，所以CD=msinδsin(δ−β)，
所以AC=CDsinβ=msinδsinβsin(δ−β)，D正确．
故选：ACD．
对于AB：在△BDE中利用正弦定理计算；对于C：在△BCE中利用正弦定理计算；对于D：在△CDE中利用正弦定理计算．
本题考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
12.【答案】(−π2,−π3]
【解析】解：由tanθ+ 3≤0可得tanθ≤− 3，
又因为f(θ)=tanθ在(−π2,π2)上单调递增，且f(−π3)=tan(−π3)=− 3，
所以θ的取值范围为(−π2,−π3]．
故答案为：(−π2,−π3]．
根据题意结合正切函数单调性分析求解．
本题主要考查了正切函数单调性的应用，属于基础题．
13.【答案】 3
【解析】解：因为向量a=(−1,2)，
则|a|= 12+22= 5，
且a⋅b=−1，|a−b|= 10，
可得|a−b|2=|a|2+|b|2−2a⋅b=5+|b|2+2=10，
可得|b|2=3，
即|b|= 3．
故答案为： 3．
先求出|a|，再求出|a−b|2，即可求出|b|2，则可计算出答案．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：如图，以E为坐标原点，EA，EB所以直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，
因为AB=2，∠A=60°，BE⊥AC，则EA=1,EB= 3，
可得E(0,0),A(1,0),B(0, 3)，
设C(x0,0)，且2BD=DC，可知D(x03,2 33)，
则BE=(0,− 3),AD=(x03−1,2 33)，
所以AD⋅BE=BE=0×(x03−1)+(− 3)×2 33=−2．
故答案为：−2．
以E为坐标原点，EA，EB所以直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出BE,AD的坐标，即可求出结果．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为a+b=(3,1)，a−2b=(0,7)，
所以2(a+b)+a−2b=(6,2)+(0,7)=(6,9)，即a=(2,3)，
(a+b)−(a−2b)=3b=(3,−6)，即b=(1,−2)，
所以a−b=(1,5)，
所以a⋅(a−b)=2×1+3×5=17；
(2)因为向量a+mb与向量ma+b的方向相反，
所以存在实数λ(λ