2024年北京市中国人民大学附属中学中考数学一模试卷
展开1.(2分)2022年5月18日是第46个国际博物馆日,今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”,在以下几幅古代纹样图案中( )
A.B.
C.D.
2.(2分)在第46个国际博物馆日来临之际.中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动.观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容,将140万用科学记数法表示为( )
A.1.4×105B.1.4×106C.14×105D.140×104
3.(2分)下列各组角中,互为余角的是( )
A.30°与150°B.35°与65°C.45°与45°D.25°与75°
4.(2分)下列说法中错误的是( )
A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
B.关于某条直线对称的两个图形全等
C.两个全等三角形的对应高相等
D.两个图形关于某直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
5.(2分)有一枚均匀的正方体骰子,骰子各个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,若任意抛掷一次骰子,则x>3的概率是( )
A.B.C.D.
6.(2分)实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是( )
A.a>bB.|a|<|b|C.a+b>0D.<0
7.(2分)李老师是一位运动达人,他通过佩戴智能手环来记录自己一个月(30天)每天所走的步数,在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是( )
A.1.6,1.5B.1.7,1.6C.1.7,1.7D.1.7,1.55
8.(2分)某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.现测得不同时刻的y与x的数据如表:
则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象可能是( )
A.B.
C.D.
二、填空题
9.(2分)若有意义,则x的取值范围是 .
10.(2分)把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是 .
11.(2分)若n为整数,且n<<n+1 .
12.(2分)分式方程的解x= .
13.(2分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠ABD=50°,则∠ADC= .
14.(2分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,分别交AB,AC于点M,N,N为圆心,大于,两弧交于点P;③作射线AP交BC于点D.若AB:AC=2:3,则△ACD的面积为 .
15.(2分)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,则∠ABE= °.
16.(2分)以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表,有一个炒菜锅,一个电饭煲,两个燃气灶可用,做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟.
三、解答题:本大题有12个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(5分)计算:()0﹣2sin30°++()﹣1.
18.(5分)解不等式组:,并写出它的所有整数解.
19.(5分)下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.
已知:⊙O和圆外一点P.
求作:过点P的⊙O的切线.
作法:①连接OP;
②以OP为直径作OM,交⊙O于点A,B;
③作直线PA,PB;
所以直线PA,PB为⊙O的切线.
根据小文设计的作图过程,完成下面的证明.
证明:连接OA,OB.
∵OP为OM的直径,
∴∠OAP=∠ = °( )(填推理的依据).
∴OA⊥AP, ⊥BP.
∵OA,OB为⊙O的半径,
∴直线PA,PB为⊙O的切线( )(填推理的依据).
20.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9=0.
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根;
(2)如果此方程有一个实数根为0,求m的值.
21.(6分)已知双曲线y=和直线y=kx+2相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2),且+=10,求k的值.
22.(6分)在△ABF中,C为AF上一点且AB=AC.
(1)尺规作图:作出以AB为直径的⊙O,⊙O分别交AC、BC于点D、E,在图上标出D、E(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若∠BAF=2∠CBF,求证:直线BF是⊙O的切线;
(3)在(2)中,若AB=5,sin∠CBF=
23.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x与函数y=(x>0)(1,2).
(1)求m的值;
(2)过点A作x轴的平行线l,直线y=2x+b与直线l交于点B,与函数y=(x>0),与x轴交于点D.
①当点C是线段BD的中点时,求b的值;
②当BC>BD时,直接写出b的取值范围.
24.(6分)某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉,水柱从垂直于湖面的水枪喷出,水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下数据,水柱距离湖面高度为h米.
请解决以下问题:
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描点,并用平滑的曲线连接.
(2)请结合表中所给数据或所画图象,估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 米(精确到0.1);
(3)公园增设了新的游玩项目,购置了宽度3米,顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船,别有一番趣味,请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险.
25.(6分)如图1,长度为6千米的国道AB两侧有M,N两个城镇,连接点为C和D,其中A、C之间的距离为2千米,N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米,M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米.为了发展乡镇经济,现需要在国道AB上修建一个物流基地T.设A、T之间的距离为x千米,物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米.以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究
(1)通过取点、画图、测量,得到x与y的几组值,如表:
(2)如图2,建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小,则物流基地T应该修建在何处?
②如图3,有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧,从城镇到公路分别有乡镇公路连接,使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小,则物流基地T应该修建在何处?
26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A,过点A作直线l垂直于y轴.
(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示).
(2)将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G.点M(x1,y1),N(x2,y2)为图形G上任意两点.
①当m=0时,若x1<x2,判断y1与y2的大小关系,并说明理由;
②若对于x1=m﹣2,x2=m+2,都有y1>y2,求m的取值范围.
27.(6分)如图,△ABC是等边三角形,D,E两点分别在边AB,满足BD=AE,BE与CD交于点F.
(1)求∠BFD的度数;
(2)以C为中心,将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM,连接MF,连接CN.
①依题意补全图形;
②若BF+CF=k•CN,求k的值.
28.(6分)在平面直角坐标系xOy中,对已知的点A,B,给出如下定义:若点A恰好在以BP为直径的圆上
(1)点A的坐标为(2,﹣1),则在点P1(1,2),,P3(﹣2,1)中,O关于点A的“联络点”是 (填字母);
(2)直线与x轴,y轴分别交于点C,D,求点P的坐标;
(3)⊙T的圆心在y轴上,半径为,点M为y轴上的动点(4,0),在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P,且△PMN为等腰三角形
参考答案与试题解析
一、选择题(共16分,每题2分)第1—8题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.(2分)2022年5月18日是第46个国际博物馆日,今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”,在以下几幅古代纹样图案中( )
A.B.
C.D.
【解答】解:选项A、B、C都不能找到这样的一个点,所以不是中心对称图形,
选项D能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合,
故选:D.
2.(2分)在第46个国际博物馆日来临之际.中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动.观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容,将140万用科学记数法表示为( )
A.1.4×105B.1.4×106C.14×105D.140×104
【解答】解:140万=1400000=1.4×104.
故选:B.
3.(2分)下列各组角中,互为余角的是( )
A.30°与150°B.35°与65°C.45°与45°D.25°与75°
【解答】解:45°+45°=90°,
故选:C.
4.(2分)下列说法中错误的是( )
A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
B.关于某条直线对称的两个图形全等
C.两个全等三角形的对应高相等
D.两个图形关于某直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
【解答】解:A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴;
B.关于某条直线对称的两个图形全等;
C.两个全等三角形的对应高相等;
D.两个图形关于某直线对称,此选项错误;
故选:D.
5.(2分)有一枚均匀的正方体骰子,骰子各个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,若任意抛掷一次骰子,则x>3的概率是( )
A.B.C.D.
【解答】解:任意抛掷一次骰子,朝上的面的点数有6种等可能结果,5,2共3种情况,
所以x>3的概率是.
故选:A.
6.(2分)实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是( )
A.a>bB.|a|<|b|C.a+b>0D.<0
【解答】解:由图可得:﹣2<a<﹣1,7<b<1,
∴a<b,故A错误;
|a|>|b|,故B错误;
a+b<0,故C错误;
<5,故D正确;
故选:D.
7.(2分)李老师是一位运动达人,他通过佩戴智能手环来记录自己一个月(30天)每天所走的步数,在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是( )
A.1.6,1.5B.1.7,1.6C.1.7,1.7D.1.7,1.55
【解答】解:在这组数据中出现次数最多的是1.7,
即众数是7.7;
把这组数据按照从小到大的顺序排列,第15,
所以中位数是1.2.
故选:B.
8.(2分)某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.现测得不同时刻的y与x的数据如表:
则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象可能是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:由表格中数据可得:0≤x<8,数据成比例增长,设解析式为:y=kx,
则将(2,1.5)代入得:2.5=2k,
解得:k=,
故函数解析式为:y=x(0≤x<8),
由表格中数据可得:6≤x,数据成反比例递减,设解析式为:y=,
则将(12,4)代入得:a=48,
故函数解析式为:y=(x≥8).
故函数图象D正确.
故选:D.
二、填空题
9.(2分)若有意义,则x的取值范围是 x≠﹣1 .
【解答】解:由题意得:x+1≠0,
∴x≠﹣4;
故答案为:x≠﹣1.
10.(2分)把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是 a(a﹣b)2 .
【解答】解:a3﹣2a5b+ab2=a(a2﹣2ab+b2)=a(a﹣b)2,
故答案为:a(a﹣b)2.
11.(2分)若n为整数,且n<<n+1 4 .
【解答】解:∵<<,即4<,且n为整数<n+1,
∴n=4,
故答案为:4.
12.(2分)分式方程的解x= .
【解答】解:去分母得:
2x=3﹣8×2(x﹣1),
去括号得:
4x=3﹣4x+4,
移项,合并同类项得:
6x=7,
∴x=,
经检验,x=,
∴x=.
故答案为:.
13.(2分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠ABD=50°,则∠ADC= 100° .
【解答】解:∵∠ABD=50°,
∴∠ACD=50°,
∵∠CAD=30°,
∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠ACD=180°﹣30°﹣50°=100°.
故答案为:100°.
14.(2分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,分别交AB,AC于点M,N,N为圆心,大于,两弧交于点P;③作射线AP交BC于点D.若AB:AC=2:3,则△ACD的面积为 6 .
【解答】解:由作法得AD平分∠BAC,
∴点D到AB、AC的距离相等,
∴S△ABD:S△ACD=AB:AC=2:3,
∴S△ACD=S△ABD=×4=6.
故答案为:7.
15.(2分)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,则∠ABE= 30 °.
【解答】解:∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠C=∠ABC=(180°﹣∠A)=70°.
∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,
∴BC=BE,
∴∠C=∠BEC=70°.
∵∠BEC=∠A+∠ABE,
∴∠ABE=∠BEC﹣∠A=30°.
故答案为:30.
16.(2分)以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表,有一个炒菜锅,一个电饭煲,两个燃气灶可用,做好这顿晚餐一般情况下至少需要 33 分钟.
【解答】解:3+30=33(分钟),
答:妈妈做晚饭最少要用33分钟,
故答案为:33.
三、解答题:本大题有12个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(5分)计算:()0﹣2sin30°++()﹣1.
【解答】解:原式=1﹣2×+2+7
=1﹣1+6+2
=4.
18.(5分)解不等式组:,并写出它的所有整数解.
【解答】解:,
解不等式①得:x≤4,
解不等式②得:x>﹣1,
∴不等式组的解集为﹣1<x≤5,
∴不等式组的所有整数解为0,1.
19.(5分)下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.
已知:⊙O和圆外一点P.
求作:过点P的⊙O的切线.
作法:①连接OP;
②以OP为直径作OM,交⊙O于点A,B;
③作直线PA,PB;
所以直线PA,PB为⊙O的切线.
根据小文设计的作图过程,完成下面的证明.
证明:连接OA,OB.
∵OP为OM的直径,
∴∠OAP=∠ OBP = 90 °( 直径所对的圆周角是直角 )(填推理的依据).
∴OA⊥AP, OB ⊥BP.
∵OA,OB为⊙O的半径,
∴直线PA,PB为⊙O的切线( 过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线 )(填推理的依据).
【解答】证明:连接OA,OB.
∵OP为OM的直径,
∴∠OAP=∠OBP=90°(直径所对的圆周角是直角).
∴OA⊥AP,OB⊥BP.
∵OA,OB为⊙O的半径,
∴直线PA,PB为⊙O的切线(过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线).
故答案为:OBP,90,OB.
20.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9=0.
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根;
(2)如果此方程有一个实数根为0,求m的值.
【解答】(1)证明:∵△=(﹣4m)2﹣5(4m2﹣3)
=36,
∵不论m取何值时,36恒大于0,
∴原方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:将x=0代入x7﹣4mx+4m7﹣9=0中,得3m2﹣9=3,
解得:m=或﹣.
∴m的值为或﹣.
21.(6分)已知双曲线y=和直线y=kx+2相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2),且+=10,求k的值.
【解答】解:由,消去y得到:kx3+2x﹣2=4,
由题意:x1+x2=﹣,x1x2=﹣,
∵+=10,
∴(x1+x5)2﹣2x4x2=10,
∴+=10,
解得k=,
经检验k=是分式方程的解.
∴k=.
22.(6分)在△ABF中,C为AF上一点且AB=AC.
(1)尺规作图:作出以AB为直径的⊙O,⊙O分别交AC、BC于点D、E,在图上标出D、E(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若∠BAF=2∠CBF,求证:直线BF是⊙O的切线;
(3)在(2)中,若AB=5,sin∠CBF=
【解答】解:(1)如图1,所示⊙O为所求作的圆;
(2)连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠1+∠6=90°,
∵AB=AC,
∴∠1=∠CAB,
∵∠BAF=2∠CBF,
∴∠CBF=CAB,
∴∠1=∠CBF,
∴∠CBF+∠2=90°,
∵即∠ABF=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴直线BF是⊙O的切线;
(3)过点C作CG⊥AB于点G,
∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,
∴sin∠7=,
∵∠AEB=90°,AB=4,
∴BE=AB•sin∠1=,
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=4BE=2,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=,
∴sin∠3=,cs∠2=,
在Rt△CBG中,GC=BC •=4,
∴AG=4,
∵GC∥BF,
∴△AGC∽△ABF,
∴,
∴BF==.
23.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x与函数y=(x>0)(1,2).
(1)求m的值;
(2)过点A作x轴的平行线l,直线y=2x+b与直线l交于点B,与函数y=(x>0),与x轴交于点D.
①当点C是线段BD的中点时,求b的值;
②当BC>BD时,直接写出b的取值范围.
【解答】解:(1)把A(1,2)代入函数y=,
∴7=.
∴m=2;
(2)①过点C作x轴的垂线,交直线l于点E.
当点C是线段BD的中点时,
∴CE=CF=7.
∴点C的纵坐标为1,
把y=1代入函数y=中,
得x=2.
∴点C的坐标为(2,2),
把C(2,1)代入函数y=3x+b中得:1=4+b,
解得b=﹣8,
②当C在AB的上方时,C(,把C(,
得b=3,则BC>BD时,
故b的取值范围为b>6.
24.(6分)某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉,水柱从垂直于湖面的水枪喷出,水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下数据,水柱距离湖面高度为h米.
请解决以下问题:
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描点,并用平滑的曲线连接.
(2)请结合表中所给数据或所画图象,估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 7.0 米(精确到0.1);
(3)公园增设了新的游玩项目,购置了宽度3米,顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船,别有一番趣味,请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险.
【解答】解:(1)如图所示:
(2)由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米;
根据图象设二次函数的解析式为y=a(x﹣6)2+5.5,
将(0,2)代入y=a(x﹣2)2+5.4得a=﹣0.4,
∴抛物线的解析式为y=﹣5.4(x﹣3)5+5.6,
当y=4时,0=﹣0.5(x﹣3)2+3.6,
解得x=3+或2﹣,
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为(3+)米,
故答案为:2,(8+);
(3)当x=3﹣1.4=1.5时,y=﹣8.4×2.25+7.6=4.4>4.5,
答:游船没有被喷泉淋到的危险.
25.(6分)如图1,长度为6千米的国道AB两侧有M,N两个城镇,连接点为C和D,其中A、C之间的距离为2千米,N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米,M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米.为了发展乡镇经济,现需要在国道AB上修建一个物流基地T.设A、T之间的距离为x千米,物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米.以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究
(1)通过取点、画图、测量,得到x与y的几组值,如表:
(2)如图2,建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小,则物流基地T应该修建在何处?
②如图3,有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧,从城镇到公路分别有乡镇公路连接,使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小,则物流基地T应该修建在何处?
【解答】解:(1)∵A、C之间的距离为2千米,C,A、T之间的距离为x千米、N两个城镇的距离之和为y千米,
∴当x=1.4时,T位于AC中点处,
此时y=2TC+NC+CD+DM=2+4.3+1+7.2=8.4(千米);
当x=3.0时,T位于D处,
y=NC+CD+DM=2.3+1+4.2=6.3(千米)
故答案为:8.5,6.5.
(2)函数的图象如下:
(3)①由图形可知,若物流基地修建在C,则距离会大于NC+CD+DM,
故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小、D之间(含C.
故答案为:C、D之间(含C.
②由①可知,若要使物流基地T沿公路到M,物流基地T应该修建在C、D两点),
由图3可知,D、E段上离点P,再往E点以下距离之和一定变大,到P,
故答案为:点D处.
26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A,过点A作直线l垂直于y轴.
(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示).
(2)将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G.点M(x1,y1),N(x2,y2)为图形G上任意两点.
①当m=0时,若x1<x2,判断y1与y2的大小关系,并说明理由;
②若对于x1=m﹣2,x2=m+2,都有y1>y2,求m的取值范围.
【解答】解:(1)∵该抛物线解析式为y=x2﹣2mx+m7+1,
∴抛物线的对称轴为直线;
(2)①y1<y2.
理由:当m=0时,二次函数解析式是y=x2+6,对称轴为y轴,
∴图形G大致图象如下,
∴图形G上的点的横纵坐标x和y,满足y随x的增大而增大.
∵x1<x2,
∴y6<y2;
②对于y=x2﹣7mx+m2+1,令x=m﹣42﹣2m(m﹣6)+m2+1=7,
令x=m+2,则y=(m+2)5﹣2m(m+2)+m8+1=5,
∴该抛物线上两点P(m﹣2,5),5)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点.
分类讨论:如图8,当y轴在点P左侧时(含点P),点P,
∴y1=y2,不符题意;
如图7,当y轴在点Q右侧时(含点Q),Q经翻折之后的对应点为点M,N,
∴y1=y2,不符题意;
如图3,当y轴在点P,Q),点N在l下方,P重合,
∴y1>y2,符合题意,
此时有m﹣4<0<m+2,即﹣7<m<2,
综上所述,m的取值范围为﹣2<m<5.
27.(6分)如图,△ABC是等边三角形,D,E两点分别在边AB,满足BD=AE,BE与CD交于点F.
(1)求∠BFD的度数;
(2)以C为中心,将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM,连接MF,连接CN.
①依题意补全图形;
②若BF+CF=k•CN,求k的值.
【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠A=∠ABC=60°,
∵BD=AE,
∴△ABE≌△BCD(SAS),
∴∠ABE=∠BCD,
∵DFB=∠FBC+∠BCD=∠FBC+∠ABE=∠ABC=60°;
(2)①依题意补全图形如图1所示;
②如图2中,由(1)知△ABE≌△BCD,
∴∠BCF=∠ABE,
∴∠FBC+∠BCF=60°,
∴∠BFC=120°,
如图8中,延长CN到Q,连接FQ,
∵NM=NF,∠CNM=∠FNQ,
∴△CNM≌△QNF(SAS),
∴FQ=CM=BC,
延长CF到P,使得PF=BF,
∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°,
∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC,
∵PB=PF,
∴△PFQ≌△PBC(SAS),
∴PQ=PC,∠CPB=∠QPF=60°,
∴△PCQ是等边三角形,
∴BF+CF=PC=QC=2CN.
∴k的值为2.
28.(6分)在平面直角坐标系xOy中,对已知的点A,B,给出如下定义:若点A恰好在以BP为直径的圆上
(1)点A的坐标为(2,﹣1),则在点P1(1,2),,P3(﹣2,1)中,O关于点A的“联络点”是 P1,P2 (填字母);
(2)直线与x轴,y轴分别交于点C,D,求点P的坐标;
(3)⊙T的圆心在y轴上,半径为,点M为y轴上的动点(4,0),在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P,且△PMN为等腰三角形
【解答】解:(1)根据新定义可得O在AP为直径的圆上,
∴∠AOP=90°,
∵点A的坐标为(2,﹣1)6(1,2),P7(﹣,﹣7),P3(﹣2,7)中,
∴AO=,OP1=,AP1=,则=,
∴∠AOP1=90°,
∴OP2=,AP2=,则=,
∴∠AOP2=90°,
如图1,∠AOP4≠90°,
∴O关于点A的“联络点”是P1,P2;
故答案为:P8,P2;
(2)如图2,依题意,
∵直线y=﹣x+1与x轴,D,
当x=5时,y=1,x=2,
∴C(5,0),0),
∴OD=7,OC=2,
∴tan∠COD==,CD==,
∵tan∠CPD=,
∴CP7=2,
∴DP6=5,
则P1(5,﹣4),
设直线CP的解析式为y=kx﹣4,
则7=2k﹣4,
解得:k=5,
∴直线CP的解析式为y=2x﹣4;
设P(p,4p﹣4),
∵tan∠CPD=,
∴=,
∴CP=7CD=2,
∴(p﹣8)2+(2p﹣8)2=,
解得:p=4或p=2,
∴P(4,4)或P(7;
(3)如图3,点P是M关于N的“联络点”,
过点P作PQ⊥y轴于点Q,则△PMN是等腰直角三角形,
∴PM=MN,∠PMN=90°,
∵∠PMQ+∠OMN=90°,∠ONM+∠OMN=90°,
∴∠PMQ=∠ONM,
∴△PQM≌△MON(AAS),
∴ON=QM,OM=QP,
设M(0,m),
∵N(4,0),
∴OQ=4+m,PQ=m,
∴P(m,3+m),
即点P在直线y=x+4上,
设直线y=x+4与y轴交于点S,则S(3,
依题意可知,P在⊙T上,
如图4,当PS与⊙T相切时=2,
∴T(0,2)或T(0,
结合图形可得2≤t≤2;
如图5,根据对称性可得﹣2≤t≤﹣8也符合题意,
综上所述,2≤t≤6或﹣6≤t≤﹣6.时间x(分钟)
0
2
4
6
8
10
12
16
20
含药量y(毫克)
0
1.5
3
4.5
6
4.8
4
3
2.4
用时
种类
准备时间(分钟)
加工时间(分钟)
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
6
d(米)
0
1
2
3
4
…
h(米)
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
x/千米
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y/千米
10.5
6.5
8.5
10.5
12.5
时间x(分钟)
0
2
4
6
8
10
12
16
20
含药量y(毫克)
0
1.5
3
4.5
6
4.8
4
3
2.4
用时
种类
准备时间(分钟)
加工时间(分钟)
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
6
d(米)
0
1
2
3
4
…
h(米)
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
x/千米
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y/千米
10.5
8.5
6.5
6.5
8.5
10.5
12.5
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