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    2024年北京市中国人民大学附属中学中考数学一模试卷
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    2024年北京市中国人民大学附属中学中考数学一模试卷

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    这是一份2024年北京市中国人民大学附属中学中考数学一模试卷,共29页。试卷主要包含了填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(2分)2022年5月18日是第46个国际博物馆日,今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”,在以下几幅古代纹样图案中( )
    A.B.
    C.D.
    2.(2分)在第46个国际博物馆日来临之际.中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动.观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容,将140万用科学记数法表示为( )
    A.1.4×105B.1.4×106C.14×105D.140×104
    3.(2分)下列各组角中,互为余角的是( )
    A.30°与150°B.35°与65°C.45°与45°D.25°与75°
    4.(2分)下列说法中错误的是( )
    A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
    B.关于某条直线对称的两个图形全等
    C.两个全等三角形的对应高相等
    D.两个图形关于某直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
    5.(2分)有一枚均匀的正方体骰子,骰子各个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,若任意抛掷一次骰子,则x>3的概率是( )
    A.B.C.D.
    6.(2分)实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是( )
    A.a>bB.|a|<|b|C.a+b>0D.<0
    7.(2分)李老师是一位运动达人,他通过佩戴智能手环来记录自己一个月(30天)每天所走的步数,在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是( )
    A.1.6,1.5B.1.7,1.6C.1.7,1.7D.1.7,1.55
    8.(2分)某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.现测得不同时刻的y与x的数据如表:
    则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    二、填空题
    9.(2分)若有意义,则x的取值范围是 .
    10.(2分)把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是 .
    11.(2分)若n为整数,且n<<n+1 .
    12.(2分)分式方程的解x= .
    13.(2分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠ABD=50°,则∠ADC= .
    14.(2分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,分别交AB,AC于点M,N,N为圆心,大于,两弧交于点P;③作射线AP交BC于点D.若AB:AC=2:3,则△ACD的面积为 .
    15.(2分)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,则∠ABE= °.
    16.(2分)以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表,有一个炒菜锅,一个电饭煲,两个燃气灶可用,做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟.
    三、解答题:本大题有12个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(5分)计算:()0﹣2sin30°++()﹣1.
    18.(5分)解不等式组:,并写出它的所有整数解.
    19.(5分)下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.
    已知:⊙O和圆外一点P.
    求作:过点P的⊙O的切线.
    作法:①连接OP;
    ②以OP为直径作OM,交⊙O于点A,B;
    ③作直线PA,PB;
    所以直线PA,PB为⊙O的切线.
    根据小文设计的作图过程,完成下面的证明.
    证明:连接OA,OB.
    ∵OP为OM的直径,
    ∴∠OAP=∠ = °( )(填推理的依据).
    ∴OA⊥AP, ⊥BP.
    ∵OA,OB为⊙O的半径,
    ∴直线PA,PB为⊙O的切线( )(填推理的依据).
    20.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9=0.
    (1)求证:此方程有两个不相等的实数根;
    (2)如果此方程有一个实数根为0,求m的值.
    21.(6分)已知双曲线y=和直线y=kx+2相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2),且+=10,求k的值.
    22.(6分)在△ABF中,C为AF上一点且AB=AC.
    (1)尺规作图:作出以AB为直径的⊙O,⊙O分别交AC、BC于点D、E,在图上标出D、E(保留作图痕迹,不写作法).
    (2)若∠BAF=2∠CBF,求证:直线BF是⊙O的切线;
    (3)在(2)中,若AB=5,sin∠CBF=
    23.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x与函数y=(x>0)(1,2).
    (1)求m的值;
    (2)过点A作x轴的平行线l,直线y=2x+b与直线l交于点B,与函数y=(x>0),与x轴交于点D.
    ①当点C是线段BD的中点时,求b的值;
    ②当BC>BD时,直接写出b的取值范围.
    24.(6分)某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉,水柱从垂直于湖面的水枪喷出,水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下数据,水柱距离湖面高度为h米.
    请解决以下问题:
    (1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描点,并用平滑的曲线连接.
    (2)请结合表中所给数据或所画图象,估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 米(精确到0.1);
    (3)公园增设了新的游玩项目,购置了宽度3米,顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船,别有一番趣味,请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险.
    25.(6分)如图1,长度为6千米的国道AB两侧有M,N两个城镇,连接点为C和D,其中A、C之间的距离为2千米,N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米,M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米.为了发展乡镇经济,现需要在国道AB上修建一个物流基地T.设A、T之间的距离为x千米,物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米.以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究
    (1)通过取点、画图、测量,得到x与y的几组值,如表:
    (2)如图2,建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点;
    (3)结合画出的函数图象,解决问题:
    ①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小,则物流基地T应该修建在何处?
    ②如图3,有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧,从城镇到公路分别有乡镇公路连接,使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小,则物流基地T应该修建在何处?
    26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A,过点A作直线l垂直于y轴.
    (1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示).
    (2)将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G.点M(x1,y1),N(x2,y2)为图形G上任意两点.
    ①当m=0时,若x1<x2,判断y1与y2的大小关系,并说明理由;
    ②若对于x1=m﹣2,x2=m+2,都有y1>y2,求m的取值范围.
    27.(6分)如图,△ABC是等边三角形,D,E两点分别在边AB,满足BD=AE,BE与CD交于点F.
    (1)求∠BFD的度数;
    (2)以C为中心,将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM,连接MF,连接CN.
    ①依题意补全图形;
    ②若BF+CF=k•CN,求k的值.
    28.(6分)在平面直角坐标系xOy中,对已知的点A,B,给出如下定义:若点A恰好在以BP为直径的圆上
    (1)点A的坐标为(2,﹣1),则在点P1(1,2),,P3(﹣2,1)中,O关于点A的“联络点”是 (填字母);
    (2)直线与x轴,y轴分别交于点C,D,求点P的坐标;
    (3)⊙T的圆心在y轴上,半径为,点M为y轴上的动点(4,0),在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P,且△PMN为等腰三角形
    参考答案与试题解析
    一、选择题(共16分,每题2分)第1—8题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
    1.(2分)2022年5月18日是第46个国际博物馆日,今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”,在以下几幅古代纹样图案中( )
    A.B.
    C.D.
    【解答】解:选项A、B、C都不能找到这样的一个点,所以不是中心对称图形,
    选项D能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合,
    故选:D.
    2.(2分)在第46个国际博物馆日来临之际.中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动.观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容,将140万用科学记数法表示为( )
    A.1.4×105B.1.4×106C.14×105D.140×104
    【解答】解:140万=1400000=1.4×104.
    故选:B.
    3.(2分)下列各组角中,互为余角的是( )
    A.30°与150°B.35°与65°C.45°与45°D.25°与75°
    【解答】解:45°+45°=90°,
    故选:C.
    4.(2分)下列说法中错误的是( )
    A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
    B.关于某条直线对称的两个图形全等
    C.两个全等三角形的对应高相等
    D.两个图形关于某直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
    【解答】解:A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴;
    B.关于某条直线对称的两个图形全等;
    C.两个全等三角形的对应高相等;
    D.两个图形关于某直线对称,此选项错误;
    故选:D.
    5.(2分)有一枚均匀的正方体骰子,骰子各个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,若任意抛掷一次骰子,则x>3的概率是( )
    A.B.C.D.
    【解答】解:任意抛掷一次骰子,朝上的面的点数有6种等可能结果,5,2共3种情况,
    所以x>3的概率是.
    故选:A.
    6.(2分)实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是( )
    A.a>bB.|a|<|b|C.a+b>0D.<0
    【解答】解:由图可得:﹣2<a<﹣1,7<b<1,
    ∴a<b,故A错误;
    |a|>|b|,故B错误;
    a+b<0,故C错误;
    <5,故D正确;
    故选:D.
    7.(2分)李老师是一位运动达人,他通过佩戴智能手环来记录自己一个月(30天)每天所走的步数,在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是( )
    A.1.6,1.5B.1.7,1.6C.1.7,1.7D.1.7,1.55
    【解答】解:在这组数据中出现次数最多的是1.7,
    即众数是7.7;
    把这组数据按照从小到大的顺序排列,第15,
    所以中位数是1.2.
    故选:B.
    8.(2分)某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.现测得不同时刻的y与x的数据如表:
    则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    【解答】解:由表格中数据可得:0≤x<8,数据成比例增长,设解析式为:y=kx,
    则将(2,1.5)代入得:2.5=2k,
    解得:k=,
    故函数解析式为:y=x(0≤x<8),
    由表格中数据可得:6≤x,数据成反比例递减,设解析式为:y=,
    则将(12,4)代入得:a=48,
    故函数解析式为:y=(x≥8).
    故函数图象D正确.
    故选:D.
    二、填空题
    9.(2分)若有意义,则x的取值范围是 x≠﹣1 .
    【解答】解:由题意得:x+1≠0,
    ∴x≠﹣4;
    故答案为:x≠﹣1.
    10.(2分)把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是 a(a﹣b)2 .
    【解答】解:a3﹣2a5b+ab2=a(a2﹣2ab+b2)=a(a﹣b)2,
    故答案为:a(a﹣b)2.
    11.(2分)若n为整数,且n<<n+1 4 .
    【解答】解:∵<<,即4<,且n为整数<n+1,
    ∴n=4,
    故答案为:4.
    12.(2分)分式方程的解x= .
    【解答】解:去分母得:
    2x=3﹣8×2(x﹣1),
    去括号得:
    4x=3﹣4x+4,
    移项,合并同类项得:
    6x=7,
    ∴x=,
    经检验,x=,
    ∴x=.
    故答案为:.
    13.(2分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,∠ABD=50°,则∠ADC= 100° .
    【解答】解:∵∠ABD=50°,
    ∴∠ACD=50°,
    ∵∠CAD=30°,
    ∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠ACD=180°﹣30°﹣50°=100°.
    故答案为:100°.
    14.(2分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,分别交AB,AC于点M,N,N为圆心,大于,两弧交于点P;③作射线AP交BC于点D.若AB:AC=2:3,则△ACD的面积为 6 .
    【解答】解:由作法得AD平分∠BAC,
    ∴点D到AB、AC的距离相等,
    ∴S△ABD:S△ACD=AB:AC=2:3,
    ∴S△ACD=S△ABD=×4=6.
    故答案为:7.
    15.(2分)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,则∠ABE= 30 °.
    【解答】解:∵AB=AC,∠A=40°,
    ∴∠C=∠ABC=(180°﹣∠A)=70°.
    ∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,
    ∴BC=BE,
    ∴∠C=∠BEC=70°.
    ∵∠BEC=∠A+∠ABE,
    ∴∠ABE=∠BEC﹣∠A=30°.
    故答案为:30.
    16.(2分)以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表,有一个炒菜锅,一个电饭煲,两个燃气灶可用,做好这顿晚餐一般情况下至少需要 33 分钟.
    【解答】解:3+30=33(分钟),
    答:妈妈做晚饭最少要用33分钟,
    故答案为:33.
    三、解答题:本大题有12个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(5分)计算:()0﹣2sin30°++()﹣1.
    【解答】解:原式=1﹣2×+2+7
    =1﹣1+6+2
    =4.
    18.(5分)解不等式组:,并写出它的所有整数解.
    【解答】解:,
    解不等式①得:x≤4,
    解不等式②得:x>﹣1,
    ∴不等式组的解集为﹣1<x≤5,
    ∴不等式组的所有整数解为0,1.
    19.(5分)下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.
    已知:⊙O和圆外一点P.
    求作:过点P的⊙O的切线.
    作法:①连接OP;
    ②以OP为直径作OM,交⊙O于点A,B;
    ③作直线PA,PB;
    所以直线PA,PB为⊙O的切线.
    根据小文设计的作图过程,完成下面的证明.
    证明:连接OA,OB.
    ∵OP为OM的直径,
    ∴∠OAP=∠ OBP = 90 °( 直径所对的圆周角是直角 )(填推理的依据).
    ∴OA⊥AP, OB ⊥BP.
    ∵OA,OB为⊙O的半径,
    ∴直线PA,PB为⊙O的切线( 过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线 )(填推理的依据).
    【解答】证明:连接OA,OB.
    ∵OP为OM的直径,
    ∴∠OAP=∠OBP=90°(直径所对的圆周角是直角).
    ∴OA⊥AP,OB⊥BP.
    ∵OA,OB为⊙O的半径,
    ∴直线PA,PB为⊙O的切线(过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线).
    故答案为:OBP,90,OB.
    20.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9=0.
    (1)求证:此方程有两个不相等的实数根;
    (2)如果此方程有一个实数根为0,求m的值.
    【解答】(1)证明:∵△=(﹣4m)2﹣5(4m2﹣3)
    =36,
    ∵不论m取何值时,36恒大于0,
    ∴原方程总有两个不相等的实数根;
    (2)解:将x=0代入x7﹣4mx+4m7﹣9=0中,得3m2﹣9=3,
    解得:m=或﹣.
    ∴m的值为或﹣.
    21.(6分)已知双曲线y=和直线y=kx+2相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2),且+=10,求k的值.
    【解答】解:由,消去y得到:kx3+2x﹣2=4,
    由题意:x1+x2=﹣,x1x2=﹣,
    ∵+=10,
    ∴(x1+x5)2﹣2x4x2=10,
    ∴+=10,
    解得k=,
    经检验k=是分式方程的解.
    ∴k=.
    22.(6分)在△ABF中,C为AF上一点且AB=AC.
    (1)尺规作图:作出以AB为直径的⊙O,⊙O分别交AC、BC于点D、E,在图上标出D、E(保留作图痕迹,不写作法).
    (2)若∠BAF=2∠CBF,求证:直线BF是⊙O的切线;
    (3)在(2)中,若AB=5,sin∠CBF=
    【解答】解:(1)如图1,所示⊙O为所求作的圆;
    (2)连接AE,
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠AEB=90°,
    ∴∠1+∠6=90°,
    ∵AB=AC,
    ∴∠1=∠CAB,
    ∵∠BAF=2∠CBF,
    ∴∠CBF=CAB,
    ∴∠1=∠CBF,
    ∴∠CBF+∠2=90°,
    ∵即∠ABF=90°,
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴直线BF是⊙O的切线;
    (3)过点C作CG⊥AB于点G,
    ∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,
    ∴sin∠7=,
    ∵∠AEB=90°,AB=4,
    ∴BE=AB•sin∠1=,
    ∵AB=AC,∠AEB=90°,
    ∴BC=4BE=2,
    在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=,
    ∴sin∠3=,cs∠2=,
    在Rt△CBG中,GC=BC •=4,
    ∴AG=4,
    ∵GC∥BF,
    ∴△AGC∽△ABF,
    ∴,
    ∴BF==.
    23.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x与函数y=(x>0)(1,2).
    (1)求m的值;
    (2)过点A作x轴的平行线l,直线y=2x+b与直线l交于点B,与函数y=(x>0),与x轴交于点D.
    ①当点C是线段BD的中点时,求b的值;
    ②当BC>BD时,直接写出b的取值范围.
    【解答】解:(1)把A(1,2)代入函数y=,
    ∴7=.
    ∴m=2;
    (2)①过点C作x轴的垂线,交直线l于点E.
    当点C是线段BD的中点时,
    ∴CE=CF=7.
    ∴点C的纵坐标为1,
    把y=1代入函数y=中,
    得x=2.
    ∴点C的坐标为(2,2),
    把C(2,1)代入函数y=3x+b中得:1=4+b,
    解得b=﹣8,
    ②当C在AB的上方时,C(,把C(,
    得b=3,则BC>BD时,
    故b的取值范围为b>6.
    24.(6分)某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉,水柱从垂直于湖面的水枪喷出,水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下数据,水柱距离湖面高度为h米.
    请解决以下问题:
    (1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描点,并用平滑的曲线连接.
    (2)请结合表中所给数据或所画图象,估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 7.0 米(精确到0.1);
    (3)公园增设了新的游玩项目,购置了宽度3米,顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船,别有一番趣味,请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险.
    【解答】解:(1)如图所示:
    (2)由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米;
    根据图象设二次函数的解析式为y=a(x﹣6)2+5.5,
    将(0,2)代入y=a(x﹣2)2+5.4得a=﹣0.4,
    ∴抛物线的解析式为y=﹣5.4(x﹣3)5+5.6,
    当y=4时,0=﹣0.5(x﹣3)2+3.6,
    解得x=3+或2﹣,
    所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为(3+)米,
    故答案为:2,(8+);
    (3)当x=3﹣1.4=1.5时,y=﹣8.4×2.25+7.6=4.4>4.5,
    答:游船没有被喷泉淋到的危险.
    25.(6分)如图1,长度为6千米的国道AB两侧有M,N两个城镇,连接点为C和D,其中A、C之间的距离为2千米,N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米,M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米.为了发展乡镇经济,现需要在国道AB上修建一个物流基地T.设A、T之间的距离为x千米,物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米.以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究
    (1)通过取点、画图、测量,得到x与y的几组值,如表:
    (2)如图2,建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点;
    (3)结合画出的函数图象,解决问题:
    ①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小,则物流基地T应该修建在何处?
    ②如图3,有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧,从城镇到公路分别有乡镇公路连接,使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小,则物流基地T应该修建在何处?
    【解答】解:(1)∵A、C之间的距离为2千米,C,A、T之间的距离为x千米、N两个城镇的距离之和为y千米,
    ∴当x=1.4时,T位于AC中点处,
    此时y=2TC+NC+CD+DM=2+4.3+1+7.2=8.4(千米);
    当x=3.0时,T位于D处,
    y=NC+CD+DM=2.3+1+4.2=6.3(千米)
    故答案为:8.5,6.5.
    (2)函数的图象如下:
    (3)①由图形可知,若物流基地修建在C,则距离会大于NC+CD+DM,
    故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小、D之间(含C.
    故答案为:C、D之间(含C.
    ②由①可知,若要使物流基地T沿公路到M,物流基地T应该修建在C、D两点),
    由图3可知,D、E段上离点P,再往E点以下距离之和一定变大,到P,
    故答案为:点D处.
    26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A,过点A作直线l垂直于y轴.
    (1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示).
    (2)将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G.点M(x1,y1),N(x2,y2)为图形G上任意两点.
    ①当m=0时,若x1<x2,判断y1与y2的大小关系,并说明理由;
    ②若对于x1=m﹣2,x2=m+2,都有y1>y2,求m的取值范围.
    【解答】解:(1)∵该抛物线解析式为y=x2﹣2mx+m7+1,
    ∴抛物线的对称轴为直线;
    (2)①y1<y2.
    理由:当m=0时,二次函数解析式是y=x2+6,对称轴为y轴,
    ∴图形G大致图象如下,
    ∴图形G上的点的横纵坐标x和y,满足y随x的增大而增大.
    ∵x1<x2,
    ∴y6<y2;
    ②对于y=x2﹣7mx+m2+1,令x=m﹣42﹣2m(m﹣6)+m2+1=7,
    令x=m+2,则y=(m+2)5﹣2m(m+2)+m8+1=5,
    ∴该抛物线上两点P(m﹣2,5),5)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点.
    分类讨论:如图8,当y轴在点P左侧时(含点P),点P,
    ∴y1=y2,不符题意;
    如图7,当y轴在点Q右侧时(含点Q),Q经翻折之后的对应点为点M,N,
    ∴y1=y2,不符题意;
    如图3,当y轴在点P,Q),点N在l下方,P重合,
    ∴y1>y2,符合题意,
    此时有m﹣4<0<m+2,即﹣7<m<2,
    综上所述,m的取值范围为﹣2<m<5.
    27.(6分)如图,△ABC是等边三角形,D,E两点分别在边AB,满足BD=AE,BE与CD交于点F.
    (1)求∠BFD的度数;
    (2)以C为中心,将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM,连接MF,连接CN.
    ①依题意补全图形;
    ②若BF+CF=k•CN,求k的值.
    【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形,
    ∴AC=BC,∠A=∠ABC=60°,
    ∵BD=AE,
    ∴△ABE≌△BCD(SAS),
    ∴∠ABE=∠BCD,
    ∵DFB=∠FBC+∠BCD=∠FBC+∠ABE=∠ABC=60°;
    (2)①依题意补全图形如图1所示;
    ②如图2中,由(1)知△ABE≌△BCD,
    ∴∠BCF=∠ABE,
    ∴∠FBC+∠BCF=60°,
    ∴∠BFC=120°,
    如图8中,延长CN到Q,连接FQ,
    ∵NM=NF,∠CNM=∠FNQ,
    ∴△CNM≌△QNF(SAS),
    ∴FQ=CM=BC,
    延长CF到P,使得PF=BF,
    ∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°,
    ∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC,
    ∵PB=PF,
    ∴△PFQ≌△PBC(SAS),
    ∴PQ=PC,∠CPB=∠QPF=60°,
    ∴△PCQ是等边三角形,
    ∴BF+CF=PC=QC=2CN.
    ∴k的值为2.
    28.(6分)在平面直角坐标系xOy中,对已知的点A,B,给出如下定义:若点A恰好在以BP为直径的圆上
    (1)点A的坐标为(2,﹣1),则在点P1(1,2),,P3(﹣2,1)中,O关于点A的“联络点”是 P1,P2 (填字母);
    (2)直线与x轴,y轴分别交于点C,D,求点P的坐标;
    (3)⊙T的圆心在y轴上,半径为,点M为y轴上的动点(4,0),在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P,且△PMN为等腰三角形
    【解答】解:(1)根据新定义可得O在AP为直径的圆上,
    ∴∠AOP=90°,
    ∵点A的坐标为(2,﹣1)6(1,2),P7(﹣,﹣7),P3(﹣2,7)中,
    ∴AO=,OP1=,AP1=,则=,
    ∴∠AOP1=90°,
    ∴OP2=,AP2=,则=,
    ∴∠AOP2=90°,
    如图1,∠AOP4≠90°,
    ∴O关于点A的“联络点”是P1,P2;
    故答案为:P8,P2;
    (2)如图2,依题意,
    ∵直线y=﹣x+1与x轴,D,
    当x=5时,y=1,x=2,
    ∴C(5,0),0),
    ∴OD=7,OC=2,
    ∴tan∠COD==,CD==,
    ∵tan∠CPD=,
    ∴CP7=2,
    ∴DP6=5,
    则P1(5,﹣4),
    设直线CP的解析式为y=kx﹣4,
    则7=2k﹣4,
    解得:k=5,
    ∴直线CP的解析式为y=2x﹣4;
    设P(p,4p﹣4),
    ∵tan∠CPD=,
    ∴=,
    ∴CP=7CD=2,
    ∴(p﹣8)2+(2p﹣8)2=,
    解得:p=4或p=2,
    ∴P(4,4)或P(7;
    (3)如图3,点P是M关于N的“联络点”,
    过点P作PQ⊥y轴于点Q,则△PMN是等腰直角三角形,
    ∴PM=MN,∠PMN=90°,
    ∵∠PMQ+∠OMN=90°,∠ONM+∠OMN=90°,
    ∴∠PMQ=∠ONM,
    ∴△PQM≌△MON(AAS),
    ∴ON=QM,OM=QP,
    设M(0,m),
    ∵N(4,0),
    ∴OQ=4+m,PQ=m,
    ∴P(m,3+m),
    即点P在直线y=x+4上,
    设直线y=x+4与y轴交于点S,则S(3,
    依题意可知,P在⊙T上,
    如图4,当PS与⊙T相切时=2,
    ∴T(0,2)或T(0,
    结合图形可得2≤t≤2;
    如图5,根据对称性可得﹣2≤t≤﹣8也符合题意,
    综上所述,2≤t≤6或﹣6≤t≤﹣6.时间x(分钟)
    0
    2
    4
    6
    8
    10
    12
    16
    20
    含药量y(毫克)
    0
    1.5
    3
    4.5
    6
    4.8
    4
    3
    2.4
    用时
    种类
    准备时间(分钟)
    加工时间(分钟)
    米饭
    3
    30
    炒菜1
    5
    6
    炒菜2
    5
    8

    5
    6
    d(米)
    0
    1
    2
    3
    4

    h(米)
    2.0
    4.0
    5.2
    5.6
    5.2

    x/千米
    0
    1.0
    2.0
    3.0
    4.0
    5.0
    6.0
    y/千米
    10.5

    6.5

    8.5
    10.5
    12.5
    时间x(分钟)
    0
    2
    4
    6
    8
    10
    12
    16
    20
    含药量y(毫克)
    0
    1.5
    3
    4.5
    6
    4.8
    4
    3
    2.4
    用时
    种类
    准备时间(分钟)
    加工时间(分钟)
    米饭
    3
    30
    炒菜1
    5
    6
    炒菜2
    5
    8

    5
    6
    d(米)
    0
    1
    2
    3
    4

    h(米)
    2.0
    4.0
    5.2
    5.6
    5.2

    x/千米
    0
    1.0
    2.0
    3.0
    4.0
    5.0
    6.0
    y/千米
    10.5
    8.5
    6.5
    6.5
    8.5
    10.5
    12.5
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