2022-2023学年上海市继光高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市继光高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若α是第四象限角，则点P(sinα,csα)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.函数y=sinxcsx是( )
A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数
3.已知角α终边上一点P(1,3)，将OP绕坐标原点O逆时针旋转π4至OQ，点Q是角β终边上的一点，则tan(α+β)的值为( )
A. −2B. 17C. 57D. 3
4.下列四个命题正确的是( )
A. 第一象限的角都是锐角
B. 在△ABC中，如果asinB=bcsB，则△ABC一定是等腰直角三角形
C. 对于函数y=sinx，当x=2kπ+π3，k∈Z时，等式sin(x+π3)=sinx恒成立，故π3就是函数y=sinx的一个周期
D. 若存在角α，使得sinα+csα=m−2成立，则实数m的取值范围是[2− 2,2+ 2]
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.将角度化为弧度：135°= ______．
6.已知扇形圆心角的弧度数为2，半径为1，则扇形的面积为______．
7.已知点P(−1,−2)在角θ的终边上，则sinθ= ______．
8.若sin(α+π3)+sin(α−π3)=13，则sinα= ______．
9.已知sinα=35，则cs2α= ．
10.已知函数y=3+csx2，则当y取最小值时x的集合是______．
11.在△ABC中，若a2+b2−c2= 3ab，则∠C= ______．
12.已知tanα=−2，则sin(π−α)−sin(α−π2)cs(32π+α)+cs(π+α)的值为______．
13.赵爽是我国古代数学家、天文学家，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin2α的值为______．
14.已知函数f(x)=3sin(2x−π3)，下列命题中正确命题的序号是______(填上你认为正确的命题的全部序号)①函数的定义域是R；
②函数f(x)在区间(−π12,5π12)内是严格增函数：
③函数y=3cs2x的图象与函数f(x)=3sin(2x−π3)的图象形状相同；
④函数在区间(0,π)内有且仅有1个零点．
15.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00，
解得x=3，(舍负)，
故sinα=35，csα=45，
所以sin2α=2sinαcsα=2×35×45=2425．
故答案为：2425．
由已知结合勾股定理可先求出直角三角形的直角边及斜边长，然后求出sinα，csα，结合二倍角公式即可求．
本题主要考查了锐角三角函数及二倍角公式的应用，属于基础题．
14.【答案】①②③
【解析】解：函数f(x)=3sin(2x−π3)的定义域为R，故①正确；
当x∈(−π12,5π12)时，2x−π3∈(−π2,π2)，
因为正弦函数y=sinx在(−π2,π2)上严格单调递增，
所以函数f(x)在区间(−π12,5π12)内是严格增函数，故②正确；
函数y=3cs2x=3sin(2x+π2)=3sin[2(x+5π12)−π3]，
所以函数f(x)=3sin(2x−π3)的图象向左平移5π12个单位长度得到函数y=3cs2x的图象，
故函数y=3cs2x的图象与函数f(x)=3sin(2x−π3)的图象形状相同，故③正确；
当x∈(0,π)时，2x−π3∈(−π3,5π3)，
当2x−π3=0或2x−π3=π时，f(x)=0，所以函数在区间(0,π)内有2个零点，故④错误．
故答案为：①②③．
求出函数的定义域可判断①，由正弦函数的单调性即可判断②，由函数图象的平移变换即可判断③，由正弦函数的性质可得函数在区间(0,π)内的零点个数，即可判断④，从而可得结论．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】π
【解析】解：设f(x)的周期为T，则T2=7π3−π3=2π，
∴T=2πω=4π，解得ω=12，又A=4，π3ω+φ=π3×12+φ=π2，
∴φ=π3，
∴f(x)=4sin(12x+π3).
∵x0∈(π3,7π3)，
∴12x0+π3∈(π2,3π2)，
∵f(x0)=4sin(12x0+π3)=2，
∴sin(12x0+π3)=12，
∴12x0+π3=5π6，
∴x0=π．
故答案为：π．
依题意，可求得f(x)=4sin(12x+π3)，再利用正弦函数的性质可求得答案．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】4π3
【解析】解：∵y=2sin(x+π3)的定义域是[a,b]，值域是[−2,1]，
令t=x+π3，
即函数y=sint的定义域为[a+π3,b+π3]，值域是[−12,1]，
结合正弦函数y=sinx的图象与性质，
不妨取a+π3=−π6，b+π3=7π6，
此时b−a取得最大值为7π6−(−π6)=4π3．
故答案为：4π3．
根据题意，利用正弦函数的图象与性质，即可得出结论．
本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
17.【答案】解：(1)因为sinα=35，α∈(0,π2)，sinβ=−1213，β∈(−π2,0)，
所以csα=45，csβ=513，
所以cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=45×513−35×1213=−1665；
(2)因为0