湖南省涟源市2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1，答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题共58分）
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合愿目要求）
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】由已知可得.
故选：A.
2. 已知，，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，，
所以，解得.
故选：C.
3. 如图，在曲柄绕点旋转时，活塞做直线往复运动，连杆，曲柄，当曲柄从初始位置按顺时针方向旋转时，活塞从到达的位置，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出辅助线，根据题意得到，，由余弦定理得到，从而得到.
【详解】连接，因为，所以为等边三角形，故，，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，负值舍去，

则.
故选：C
4. 在平行四边形中，，，若是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，，先求得，再由求解.
【详解】如图所示：
因为平行四边形中，，，
所以，
所以，
故选：D
5. 设,向量，且，则（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求得，然后求得.
【详解】由于，所以，
所以，
所以
故选：A
6. 设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由投影向量的定义，即得解
【详解】由题意，在方向上的投影向量为：
故选:B
【点睛】本题考查了投影向量的概念，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题
7. 已知向量，将向量绕原点逆时针旋转得到向量，将向量绕原点顺时针旋转得到向量，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量旋转求出向量、，利用平面向量线性运算的坐标运算可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD选项.
【详解】已知向量，将向量绕原点逆时针旋转得到向量，则，
将向量绕原点顺时针旋转得到向量，则，
对于A选项，所以，故A错误；
对于B选项，，
，
所以，，，
所以，，故B正确；
对于C选项，，故C正确；
对于D选项，，
则，故D正确，
故选：A.
8. 已知△ABC满足，，则△ABC面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，利用面积公式和余弦定理表示出三角形的面积为，根据的范围即可讨论最大面积.
【详解】设，
所以，
又由余弦定理得，
所以，
由三角形的三边关系可得解得，
所以当时，面积有最大值为，
故选：B.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合思目要求全部选对的得6分，部分选对的得相应的部份分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 是单位向量，则
C. 任一非零向量都可以平行移动D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量的相关概念，逐一判断各个命题作答.
【详解】对于A，与互为相反向量，它们的模相等，A正确；
对于B，所有的单位向量的模相等，B正确；
对于C，任一非零向量都可以平行移动，C正确；
对于D，向量的模有大小，而向量无大小，D错误.
故选：ABC
10. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由可得，而，则有，则可求出，进而可求出
【详解】因为，所以，
所以，
因为
所以，则．
因为，
所以．
故选：AC
11. 设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A. B. 不与垂直
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由平面向量数量积结合律可判断A;由平面向量垂直的条件、数量积的交换律可判断B；由三角形的两边之差小于第三遍可判断C;由平面向量的运算法则将式子展开即可判断D.
【详解】对于A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确；
对于B，
，
所以与垂直，故B错误；
对于C，因为不共线，
所以组成三角形三边，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选:ACD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，.若向量，的夹角为，则实数___________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据向量夹角公式的坐标计算，即可得到答案；
【详解】，解得.
故答案为：.
13. 已知平面向量，，且，实数的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】表示出，其与数量积为0，可算得出.
【详解】解：因为，，所以
又，则
故.
故答案为：.
14. 在中，分别是线段的中点，，则面积的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】结合向量运算以及基本不等式求得，利用三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】由题意可得，
则.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
由于，
所以的面积.
故答案为：
四､解答题（本题共5个小题，共13+15+15+17+17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，求a和.
【答案】，或，，.
【解析】
【分析】根据正弦定理建立方程关系进行求解，然后利用三角形的内角和求解,解三角形即可求得结果.
【详解】由正弦定理可得：,即，解得：，
又，知,
或.
当时，，
当时，,.
16. 如图，在平行四边形中，，， ，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）9 （2）
（3）6 （4）
【解析】
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等，利用向量相等或相反的定义，根据数量积公式，即可计算各题中的数量积．
【小问1详解】
解：平行四边形中，，，，
∵，∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴；
【小问3详解】
解：根据平面向量数量积的定义知，
；
【小问4详解】
解：由，
∴．
17. 已知，若，，求的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】通过两个向量等式求得两点坐标，即得的坐标.
【详解】设由 可得：即得：，即．
由可得：即得：，即.
于是.
18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，然后解答补充完整的题目．
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________．
（1）求角B；
（2）若，且的面积为，求b的值．
【答案】选择见解析；（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；
（2）由面积公式求出，利用余弦定理可得，代入计算即可.
【详解】（1）选①，由正弦定理得，，
解得，
平方得，解得，又,所以.
选②，由正弦定理得，，，
解得，又,所以
选③，由，有，
由正弦定理得，，，
解得，又,所以
（2），解得
由余弦定理有，，
∴.
19. 已知函数，其中，.
（1）将化简成的形式；
（2）求使取得最大值的自变量x的集合.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简即可；
（2）结合正弦函数取得最大值的结论，换元法即可求得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由（1）知，，则当时，
即时，取得最大值2，
所以使取得最大值的自变量x的集合为.