2024年甘肃省武威四中教研联片中考数学一模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解：
A．两底面一个直角三角形，一个是等边三角形，两底面的三角形不全等，故本选项错误；
B．折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；
C．折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；
D．折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误．
故选C.
2. 已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图象的性质即可求解．
【详解】解：∵图象过（-2，1），
∴k=xy=-2＜0，
∴函数图象位于第二，四象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象的性质．
3. 函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：A、当a＞0时，的图象经过第一、三、四象限，反比函数位于第一、三象限，故本选项错误，不符合题意；
B、当a＞0时，的图象经过第一、三、四象限，反比函数位于第一、三象限，故本选项错误，不符合题意；
C、对于中，1＞0，则的图象一定经过第一、三象限，故本选项错误，不符合题意；
D、当a＞0时，的图象经过第一、三、四象限，反比函数位于第一、三象限，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
4. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【详解】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：，即．
故选：D．
5. 如图，直线y=x－2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点A，连接OA，若S△AOBS△BOC = 1∶2，则k的值为（ ）
A 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】过A作AD⊥y轴，AE⊥x轴，由S△AOBS△BOC = 1∶2可得AD：OB=3：2，从而可求AD=3，代入直线解析式可求AE=1，进而确定k=3．
【详解】解：如图，过A作AD⊥ｙ轴，AE⊥x轴，
∵S△AOBS△BOC = 1∶2
∴S△AOCS△BOC = 3∶2
∴AD：OB=3：2
令y=0，即x-2=0
∴x=2，即AD=3，
把AD=3代入y=x-2，得y=1，即AE=1；
∴k=AD×AE=3×1=3．
故选B．
6. 如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．正确的有（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】通过证明△AMN∽△CBN，可得，可证CN=2AN；过D作DH∥BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得BH=MD=BC，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得DN=DC；通过证明△ABM∽△BCA，可得，可求AB=BC，即可得tan∠DAC=；由平行线性质可得∠DAC=∠ACB，∠ABC=∠ANM=90°，可证△AMN∽△CAB，则可求解．
【详解】∵AD//BC，
∴△AMN∽△CBN，
∴，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝AD＝BC，
∴，
∴CN＝2AN，故①正确；
如图，过D作DH//BM交AC于G，
∵DH//BM，BM⊥AC，
∴DH⊥AC，
∵DH//BM，AD//BC，
∴四边形BMDH是平行四边形，
∴BH＝MD＝AD＝BC，
∴BH＝CH，
∵∠BNC＝90°，
∴NH＝HC，
∵DH⊥AC，
∴DH是NC的垂直平分线，
∴DN＝CD，故②正确；
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，
∴∠BAC＝∠AMB，
∵∠BAM＝∠ABC，
∴△ABM∽△BCA，
∴，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC，
∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝，
∴tan∠DAC＝，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴△AMN∽△CAB，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
7. 如图，△ABC与ΔA′B′C′位似，位似中心为点O，，△ABC的面积为9，则ΔA′B′C′面积为（ ）
A. B. 6C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】△ABC与ΔA′B′C′位似，位似中心为点O，，
，
△ABC的面积为9，
ΔA′B′C′面积为，
故选C．
【点睛】本题考查了位似的性质，掌握位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8. 如图1，在△ABC中，∠ACB =90°，∠CAB= 30°，△ABD是等边三角形． 如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，设AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE的正弦值．
【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，设AB=2a，
∴AC=a，BC=a；
∵△ABD是等边三角形，
∴AD=AB=2a；
设DE=EC=x，则AE=2a-x；
在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a-x）2+3a2=x2，
解得x=；
∴AE=，EC=，
∴sin∠ACE=．
故选：D．
【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
9. 如图是的高，，，，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由含30度角的直角三角形的性质可求出，结合勾股定理可求出．再根据正切的定义得出，即可求出，最后计算即可．
【详解】∵是的高，，
∴，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
解得：，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．
10. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（h）与行驶速度（km/h）满足函数关系 ，其图象为如图所示的一段双曲线，端点为和，若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要（ ）
A. 分钟B. 40分钟C. 60分钟D. 分钟
【答案】B
【解析】
【分析】把点A（40，1）代入t＝，求得k的值，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值，然后把v＝60代入t＝，求出t的值即可．
【详解】解：由题意得，函数的解析式为t＝函数经过点（40，1），
把（40，1）代入t＝，得k＝40，
则解析式为t＝，
再把（m，0.5）代入t＝，得m＝80；
把v＝60代入t＝，得t＝，
小时＝40分钟，
则汽车通过该路段最少需要40分钟；
故选：B．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，注意要把小时化成分钟．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝_____．
【答案】-6.
【解析】
【详解】试题解析：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC．
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴，
∴，
设A（m，n），则B（-n，m），
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴mn=2，
∴-n•m=-3×2=-6，
∴k=-6．
12. 已知反比例函数与直线相交于点A，点A的横坐标为，则此反比例函数的解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先由一次函数解析式求出点A的坐标，把已知点的坐标代入反比例函数解析式可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
【详解】解：∵点A的横坐标为，
∴点A的纵坐标：，
∴点A的坐标为（-1，2），
∵A在反比例函数的图象上，
∴把点A代入反比例函数解析式中，得k=-2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，解答本题一定要注意待定系数法的运用．
13. 已知反比例函数的图象经过点，则关于轴的对称点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例数的性质求得A的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴,
则A关于y轴的对称点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关于y轴对称的点的坐标特征，得出点A的坐标是解题的关键．
14. 已知点，都在反比例函数图象上，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】将点B坐标代入表达式，求出k值，再将点A坐标代入，可得a值．
【详解】解：将代入中，得，
∴，将代入，得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，属于基本问题．
15. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为________．

【答案】（3，3）
【解析】
【详解】∵线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），原点O为位似中心，
∴点C的坐标为（6×，6×），即（3,3）．
故答案为（3,3）．
16. 如图，将等边折叠，折痕为，使点落在边上得到点．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到，设，则，然后求出的周长，再证明，根据相似三角形周长之比等于相似比进行求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的周长之比对应相似比是解题的关键．
17. 已知、均为锐角，且满足，则______．
【答案】##105度
【解析】
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
根据非负数的性质得到，，利用特殊角的三角函数值分别求出、，计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
，，
，，
，，
，
故答案为：
18. 如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，从旗杆正前方米处的点C出发，沿斜面坡度的斜坡前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得仪器的高为米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，．旗杆的高度为________米．（参考数据：．计算结果保留根号）

【答案】
【解析】
【分析】如图，延长交延长线于点F，则，解求得米，米，，作，可得米，米，，再求出可得答案．
【详解】解：如图，延长交延长线于点F，则，

∵斜坡斜面坡度，
∴在中，
∴，
∵米，
∴米，米，
∴米，
过点E作于点G，则四边形是矩形，
∴米，米，
又∵，
∴中，米，
∴米，
∴旗杆的高度为米，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. （1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】(1)利用求根公式法解方程即可
(2)第一、四项利用特殊角的三角函数值计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，
【详解】解：(1)
∴
∴，
(2)原式
【点睛】本题考查的知识点有解一元二次方程和实数的运算，熟记求根公式和特殊角的三角函数值是解此题的关键.
20. 如图，在中，CD是的角平分线，点E在AC上，，若，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据三角形的内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质可得，即可求出的度数．
【详解】解：在中，，，
，
是平分线，
，
，
21. 如图，在中，对角线、交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，求的长.
【答案】2
【解析】
【分析】根据平行四边形性质可得到∠ADB=30°，OD=，进而求出FD，过O作OG∥AB，交AD于G点，易知△AEF∽△GOF，得到，又因为，故相似比为1，得到AF=GF，设AF=GF=x，则AD=6+x，又AG=AF+GF=，列出方程解出x即可.
【详解】∵
∴AD∥BC，OD=
∵
∴∠ADB=30°
∵
∴∠DOF=90°
在Rt△ODF中，∠FDO=30°，OD=
∴OF=3，FD=6
如图，过O作OG∥AB，交AD于G点
∴△AEF∽△GOF
∴
∵EF=OF
∴AF=GF
∵O是BD中点
∴G是AD中点
设AF=GF=x，则AD=6+x
∴AG=AF+GF=
∴x+x=
∴x=2
∴AF=2
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，解题关键在于能够做出辅助线构建相似三角形.
22. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．M、N在对角线AC上，且AM=CN，E、F分别是AD、BC的中点．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF=90°，求AG的长．

【答案】（1）见解析；（2）AG的长为1或4．
【解析】
【分析】（1）根据四边形的性质得到AB∥CD，求得∠MAB=∠NCD．根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）连接EF，交AC于点O．根据全等三角形的性质得到EO=FO，AO=CO，于是得到结论．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB = ∠NCD．
在△ABM和△CDN中，
∴△ABM≌△CDN；
（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO，∴EO=FO，AO=CO，∴O为EF、AC中点．
∵∠EGF=90°，，∴AG=OA-OG =1或AG=OA+OG=4，
∴AG的长为1或4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23. 已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
【答案】（1）
（2）A（3，0），B（-1，0）.
【解析】
【分析】（1）由抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），可设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，再将C（0，-3）代入求解即可；
（2）将y=0代入（1）中所求解析式，得到x2-2x-3=0，解方程求出x的值，进而得到抛物线与x轴的交点A，B的坐标．
【详解】（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0−1)2−4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，
即y=x2−2x−3；
（2）令y=0，得：x2，
解得，.
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
24. 如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接，点D为的中点，过D作，交的延长线于点E．
（1）求证：是半圆O的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)连接，先证明，根据平行线的性质，再证明即可．
(2)连接，先证明，根据平行线的性质，再证明即可．
【小问1详解】
如图，连接交于点F．
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是半圆O的切线．
【小问2详解】
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的三线合一，三角函数余弦的计算，熟练掌握圆的基本定理，灵活运用三角函数是解题的关键．
25. 在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为，已知此时高的竹竿在水平地面上的影子长，那么这棵大树高度是多少？
【答案】
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在院墙的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【详解】解：如图所示，过作于，
则，．
同一时刻物高和影长成正比，
，
，
，
答：这棵大树高为．
【点睛】考查了相似三角形的应用，注意；影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于物体时，根据：同一时刻物高与影长成比例进行计算．
26. 2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】约为
【解析】
【分析】在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△中，根据正弦函数求得的值．
【详解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，
∴OA=，
在Rt△中，，cm，
∴cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
27. 正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线y＝过点E，完成填空：点C的坐标是 ，点E的坐标是 ，双曲线的解析式是 ；
（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N．求证：；
（3）如图（3），将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AB交于点P．当AEP为等腰三角形时，求m的值．
【答案】（1）(4，4)，(2，2)，；（2）见解析；（3）2或2+2
【解析】
【分析】（1）根据正方形的边长可确定C点的坐标，再利用正方形的性质得出E点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
（2）设出M点和N点的坐标，根据坐标的性质得出MC＝NC，推出∠CMN＝∠CDB即可得出MN∥BD；
（3）根据E点的坐标求出AE的长，再分三种情况讨论分别求出m的值即可．
【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E，
∴C（4，4），E（2，2），
将E点坐标代入双曲线y＝，
得2＝，
解得k1＝4，
∴双曲线的解析式为y＝，
故答案为：（4，4），（2，2），；
（2）∵双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，
∴设M（m，4），N（4，n），
∴4m＝4n，
∴m＝n，
∴MC＝NC，
由正方形可知，∠BCD＝90°，
∴∠CMN＝45°，∠CBD＝45°，
∴∠CMN＝∠CBD，
∴MN∥BD；
（3）∵正方形边长为4，
由（1）知E（2，2），
∴AE＝，
①当AP＝AE＝2时，
∵P（m，2），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，
∴2m＝2（m+2），
∴m＝2+2；
②当EP＝AE时，点P与点B重合，
∵P（m，4），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，
∴4m＝2（m+2），
∴m＝2；
③
当EP＝AP时，
即
当EP＝AP时，点P、E不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在；
综上所述，满足条件的m的值为2或2+2．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，正方形的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．