（期中备考）第二单元-比例（知识梳理+专项训练）-2023-2024学年六年级下册数学期中备考专项讲义（北师大版）

这是一份（期中备考）第二单元-比例（知识梳理+专项训练）-2023-2024学年六年级下册数学期中备考专项讲义（北师大版），共24页。试卷主要包含了意义，比例的基本性质，判断两个比能否组成比例，解比例，比例的应用，比例尺的应用，比例尺的分类，图形的放大与缩小的意义等内容，欢迎下载使用。


1、意义：表示两个比相等的式子，叫作比例。比例表示两个比相等的关系，是一个等式。
2、比例的基本性质。
（1）认识比例的项。
在比例里，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
（2）比例的基本性质。
在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
3、判断两个比能否组成比例。
4、解比例。
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫作解比例。
解比例的方法：
（1）根据比例的基本性质把比例转化成乘法等式，即一般方程；
（2）解方程求出未知项的值；
（3）把求出的结果代入比例中验算一下，看比例是否成立。
5、比例的应用。
根据比例的意义和基本性质，设未知数、解比例、解决实际问题。
6、意义。
一副图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，因此不能带有计量单位。
7、比例尺的应用。
（1）应用比例尺画图时，要先根据比例尺求出图上距离，再根据图上距离画图；
（2）图上距离：实际距离=比例尺。
（3）实际距离=图上距离÷比例尺。
（4）图上距离=实际距离×比例尺。
8、比例尺的分类。
比例尺根据表现形式的不同，可分为线段比例尺和数值比例尺；根据世纪距离是缩小还是方法，还可分为缩小比例尺和放大比例尺。
9、图形的放大与缩小的意义。
把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。
10、图形放大或缩小的方格。
在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步；
一看：看原图形每边各占几格；
二算：计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；
三画：按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
一、解答题
1．经过几代人的竭尽奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，走出了一条自力更生、自主创新的道路。长征五号系列（简称CZ—5）运载火箭实现了数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。CZ—5基本型号运载火箭的箭体全长约57米。笑笑收藏了CZ—5基本型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶50。模型的高度是多少厘米？（用比例解）
2．据悉，每减少2.7千克碳排放量相当于种了0.54棵树。聪聪计算出爸爸5月份绿色出行约减少16.2千克碳排放量，相当于种了多少棵树？
（1）淘气用画图的策略解决问题，请你帮他继续画下去找到答案。
（2）笑笑还想通过下面几种方式解决这个问题。请你选择一种方式并写出用这种方式解决问题的过程。（ ）
①列表 ②猜想与尝试 ③列算式 ④列方程
3．甲、乙两人在同一条公路上沿直线滚铁环，甲的铁环一共可以滚50圈，乙的铁环一共可以滚40圈。如果一个铁环的周长比另一个铁环的周长少44厘米，那么这条公路全长多少米？
4．淘气在解决比例尺问题时，由于粗心大意将一个放大比例尺的前后项看反了，将一个零件按图上的15厘米，算出了实际长度是45米，你能算出这个零件的实际长度是多少吗？
5．四个小朋友有一些零花钱，小聪有6元，小明有15元，小智有3元，小慧的零花钱数刚好能和他们三个的零花钱数组成一个比例，你觉得小慧有多少零花钱？请说明你的理由。
6．现有20千克的盐水，盐与盐水的质量比是3∶20。再加入多少千克水，盐与盐水的质量比是1∶10？
7．在一幅比例尺是的地图上，量得A、B两地相距7.2厘米，一辆客车和一辆货车分别从A、B两地同时相对开出，客车每时行驶80千米，货车每时行驶70千米。经过几时两车相遇？
8．公园里有一个周长是50.24米的圆形花坛，花坛的正西30米处有一个边长为4米的正方形水池。你能用1∶500的比例尺把花坛和水池的平面图画在下面的长方形里吗？若不能，你认为选择什么样的比例尺比较合适？试一试。
9．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得A、B两地的距离是25厘米。两列火车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行87千米，乙车每小时行113千米，几小时后两车相遇？
10．把一个长方形按1∶3的比缩小，缩小后的长方形与原来的图形的面积相差64平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？
11．在比例尺是1∶5000000的地图上量得甲、乙两地的图上距离是6厘米，一辆汽车从甲地到乙地行驶了4小时，这辆汽车的平均每时行多少千米？
12．李爷爷利用一面墙围成一个花圃，这个花圃按的比例尺画在图上，尺寸如图。该花圃是由李爷爷用120米长的篱笆围成的。这个花圃的实际面积是多少平方米？
13．一张奖状长40厘米，宽30厘米，笑笑把它的平面图画在纸上，平面图的长是10厘米，宽是2厘米，笑笑画得像吗？
14．在一张比例尺是1∶1500000的地图上，量得甲地到乙地的距离是3厘米。则两地间的实际距离是多少千米？一列火车从甲地到乙地用了3小时，那么火车的平均速度是多少？
15．学校要对全校教室进行消毒，药液和水按配制，现在有800毫升的药液，可以配制多少毫升的药水？（比例知识解）
16．用20千克花生仁可榨油8千克，照这样计算，160吨花生仁可榨油多少吨？（用比例知识解答）
17．一块直角三角形木板用的比例尺画在图上，两条直角边共长3.6厘米，它们的比是5∶4，这块木板的实际面积是多少平方米？
18．在生产中，有时由于机器零件比较小，需要把实际尺寸扩大到一定的倍数之后，再画在图纸上。如图是用6∶1的比例尺画的一个机器零件的截面图。量一量，算一算，这个零件外直径的实际长度是多少毫米？
19．商场里甲、乙两款电子手表的价格比是5∶3，它们都打相同的折扣，折后甲款手表降价175元，乙款手表降价多少元？
20．在比例尺是1∶40000的地图上，量的幸福小区到中心公园的距离是12厘米，这段公路由甲、乙两队合修8天完成。甲乙两队工作效率的比是2∶3，求甲乙每天各修多少米？
21．看图填一填，标一标。
（1）以灯塔为观测点，A岛在（ ）偏（ ）48°方向上，距离是（ ）米。
（2）B岛在灯塔西偏南30°方向4500米处，在图中标出B岛的位置。
22．按要求填空。（测量图上距高时取整厘米）
（1）学校到街心花园的实际距为900米，这幅图的比例尺是（ ）。
（2）足球场在街心花园的（ ）偏（ ）°方向（ ）米处。
（3）游泳馆在街心花园南偏西30°方向600米处，请在图中用“Y”标出它的位置。
23．下图中的每小格表示边长为1厘米的正方形。
（1）按3∶1画出三角形放大后的图形。
（2）放大后三角形的面积是（ ）平方厘米。
24．“中国天眼”是目前全球最大的球面射电望远镜（简称FAST），它的球面口为圆，口径500米，与美国阿雷西博（Arecib）305米口径望远镜相比，其综合性能提高约10倍。FAST将在未来20年保持世界一流设备的地位，成为世界天文学研究的“利器”。
（1）我国FAST球面口的面积是多少平方米？
（2）我国FAST与美国Arecib球面口周长的最简比是（ ）。
（3）我国科学家在设计FAST时，设计图纸上的球面口直径是50cm，这幅设计图的比例尺是（ ）。
25．按要求操作。
（1）以虚线为对称轴，画出图①的轴对称图形②，点A的对称点用数对表示为（ ）。
（2）把图①向右平移5格，再向下平移2格得到图形③。
（3）将图形①按2∶1放大得到图形④。
参考答案
1．114厘米
【分析】
可以设模型的高度是x厘米，利用模型的高度与实际高度的比是1∶50，列出比例，解比例即可，注意单位的统一，把米换算成厘米，据此解答。
【详解】解：设模型的高度是x厘米。
57米＝5700厘米
x∶5700＝1∶50
x×50＝5700×1
50x÷50＝5700÷50
x＝114
答：模型的高度是114厘米。
2．（1）见详解
（2）④；3.24棵树；过程见详解
【分析】
（1）每减少2.7千克碳排放量相当于种了0.54棵树；减少1千克碳排放量对应0.54÷2.7＝0.2（棵）树，减少16.2千克碳排放量对应0.2×16.2＝3.24（棵）树，据此画图即可。
（2）过程不唯一，可以选择列方程，减少的碳排放量与相当于种的树的棵数的比值是一定的，设5月份减少的碳排放量相当于种了x棵树，根据减少16.2千克碳排放量∶x＝减少2.7千克碳排放量∶0.54棵树，列出比例解答即可。
【详解】（1）0.54÷2.7＝0.2（棵）
0.2×16.2＝3.24（棵）
（2）选择④列方程解决问题
解：设5月份减少的碳排放量相当于种了x棵树。
16.2∶x＝2.7∶0.54
2.7x＝16.2×0.54
2.7x＝8.748
2.7x÷2.7＝8.748÷2.7
x＝3.24
答：相当于种了3.24棵树。
3．88米
【分析】
甲、乙两人在同一条公路上沿直线滚铁环，则甲、乙的铁环运动的总路程是相等的。甲的铁环一共可以滚50圈，乙的铁环一共可以滚40圈，滚动铁环一圈就是铁环的周长，则50×甲的一个铁环的周长＝40×乙的一个铁环的周长。根据比例的基本性质：内项积等于外项积，甲的一个铁环的周长∶乙的一个铁环的周长＝40∶50，化简成最简整数比是4∶5。则甲的一个铁环的周长比乙的一铁环的周长多了1份，1份就是44厘米。而甲占了这样的4份，用乘法得出甲的一个铁环的周长，最后再×50得出这条公路的长度。注意最后要进行单位换算，1米＝100厘米，低级单位转化为高级单位用除法。
【详解】40∶50＝4∶5
＝44÷1×4
＝176（厘米）
176×50＝8800（厘米）
8800厘米＝88米
答：这条公路全长88米。
4．0.05cm
【分析】先根据比例尺的定义用图上距离∶淘气算出的实际距离计算出比例尺，然后再将该比例尺的前后项反过来即可得出正确的比例尺，最后再根据正确的比例尺计算出零件的实际长度即可得解。
【详解】
45米＝4500厘米
15厘米∶4500厘米＝1∶300
实际比例尺：300∶1
实际长度：15÷300＝0.05（厘米）
答：这个零件的实际长度是0.05厘米。
5．小慧有30元或7.5元或1.2元，理由见详解。
【分析】
因为四人的零花钱能组成一个比例，根据比例的基本性质：内项积等于外项积。分成不同的情况解比例，求出x的值。
【详解】解：设小慧的零花钱为x元。
第一种：6和15作为比例的内项。
3x＝6×15
3x＝90
x＝90÷3
x＝30
第二种：15和3作为比例的内项。
6x＝3×15
6x＝45
x＝45÷6
x＝7.5
第三种：6和3作为比例的内项。
15x＝3×6
15x＝18
x＝18÷15
x＝1.2
答：小慧有30元或7.5元或1.2元
6．10千克
【分析】根据题意，盐有3千克。将需要加的水的质量设为x千克，那么变化后的盐水是（20＋x）千克。根据变化后盐与盐水的质量比是1∶10，列出比例解比例即可。
【详解】解：设加上x千克水后，盐与盐水的比是1∶10。
3∶（20＋x）＝1∶10
20＋x＝3×10
20＋x＝30
20＋x－20＝30－20
x＝10
答：再加入10千克水，盐与盐水的质量比是1∶10。
7．9.6时
【分析】根据比例尺的意义，1厘米表示200千米，据此用200×7.2即可求出7.2厘米的实际距离，再根据相遇时间＝路程和÷速度和，用A、B两地的实际距离除以两车的速度和，即可求出相遇时间。
【详解】1厘米表示200千米；
200×7.2＝1440（千米）
1440÷（80＋70）
＝1440÷150
＝9.6（小时）
答：经过9.6时两车相遇。
【点睛】本题主要考查了图上距离和实际距离的换算以及相遇问题的应用。
8．不能；选择1∶1100的比例尺
【分析】根据题意，求出花坛的直径，加上正方形水池的边长，加上间隔30米的和，求出它们和的实际长度，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出它们的图上距离，再测量出长方形的长，再进行比较大小，如果长方形的长大于或等于花坛的直径，加上正方形水池的边长，加上间隔30米的和的图上距离，能画在长方形里，如果小于，就不能画在长方形里；可以选择1∶1100，求出据此解答（答案不唯一）。
【详解】50.24÷3.14＝16（米）
16＋30＋4
＝46＋4
＝50（米）
50米＝5000厘米
5000×＝10（厘米）
量得长方形的长是5厘米，宽是3厘米；
5厘米＜10厘米，不把花坛和水池的平面图画在长方形里。
如选择1∶1100的比例尺；
50米＝5000厘米；16米＝1600厘米；
5000×≈4.55（厘米）
1600×≈1.45（厘米）
4.55厘米＜5厘米；1.45厘米＜3厘米，把花坛和水池的平面图画在长方形里。
答：不能用1∶500的比例尺把花坛和水池的平面图画在长方形里，可以选择1∶1100的比例尺。
【点睛】熟练掌握圆的周长公式，图上距离和实际距离的换算是解答本题的关键。
9．6.25小时
【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出两地之间的实际距离，再根据“相遇时间＝总路程÷速度和”求出几小时后两车相遇。据此解答。
【详解】
＝25×5000000
＝125000000（厘米）
125000000厘米＝1250千米
1250÷（87＋113）
＝1250÷200
＝6.25（小时）
答：6.25小时后两车相遇。
【点睛】掌握图上距离和实际距离换算的方法，并灵活运用相遇问题的计算公式是解答题目的关键。
10．72平方厘米
【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，把长方形按1∶3的比缩小，那么面积会按照1∶32进行缩小，即原来的长方形的面积是缩小后长方形面积的9倍，用64÷（9－1）即可求出缩小后的面积，再乘9即可求解。
【详解】64÷（3×3－1）
＝64÷（9－1）
＝64÷8
＝8（平方厘米）
8×（3×3）
＝8×9
＝72（平方厘米）
答：原来长方形的面积是72平方厘米。
【点睛】本题主要考查图形的放大和缩小以及长方形的面积公式，熟练掌握它的面积公式并灵活运用。
11．75千米
【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用6÷即可求出甲、乙两地的实际距离，然后把结果化为千米作单位，再根据速度＝路程÷时间，用甲、乙两地的实际距离除以4小时，即可求出汽车的速度。
【详解】6÷
＝6×5000000
＝30000000（厘米）
30000000厘米＝300千米
300÷4＝75（千米/时）
答：这辆汽车的平均每时行75千米。
【点睛】本题主要考查了图上距离和实际距离的换算。
12．900平方米
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出梯形的高及不靠墙处的腰长；再根据篱笆长120米，用篱笆的长减去不靠墙处的腰长，求出梯形上下底的和，最后将数据代入梯形的面积公式S＝（a＋b）×h÷2求出实际面积。
【详解】实际的高：2÷＝2000（厘米）
2000厘米＝20米
不靠墙处的腰长：3÷＝3000（厘米）
3000厘米＝30米
实际面积：（120－30）×20÷2
＝90×20÷2
＝1800÷2
＝900（平方米）
答：这个花圃的实际面积是900平方米。
【点睛】本题考查图上距离与实际距离的换算及梯形的面积公式的灵活运用。
13．不像
【分析】根据比例尺的公式：比例尺＝图上距离∶实际距离，把图形按照比例放大或缩小，才能保证奖状整体形状不变，只是大小变化，据此即可解答。
【详解】40∶10
＝（40÷10）∶（10÷10）
＝4∶1
30∶2
＝（30÷2）∶（2÷2）
＝15∶1
由于长的图上距离和实际距离的比值与宽的图上距离和实际距离不相等。
答：笑笑画得不像。
【点睛】熟练掌握比例尺的意义是解题的关键。
14．15千米/时
【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用3÷即可求出甲、乙两地的实际距离，然后把结果化为千米作单位，再根据速度＝路程÷时间，用甲、乙两地的实际距离除以3小时，即可求出火车的平均速度。
【详解】3÷
＝3×1500000
＝4500000（厘米）
4500000厘米＝45千米
45÷3＝15（千米/时）
答：火车的平均速度是15千米/时。
【点睛】本题主要考查了图上距离和实际距离的换算。
15．24800毫升
【分析】可以设需要水x毫升，由于药液和水按1∶30配制，那么800毫升的药液可以列出方程：800∶x＝1∶30，再解比例即可，最后把水和药液的量相加即可。
【详解】解：设需要x毫升水。
800∶x＝1∶30
x＝800×30
x＝24000
24000＋800＝24800（毫升）
答：可以配制24800毫升的药水。
【点睛】本题主要考查比例的应用，同时掌握解比例的方法。
16．64吨
【分析】根据花生的榨油率一定，油的质量与花生的质量成正比例，由此设出未知数，列出比例解答即可。
【详解】解：设160吨花生可以榨油吨，
20x＝160×8
20x＝1280
20x÷20＝1280÷20
x＝64
答：160吨花生仁可榨油64吨。
【点睛】关键是根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可。
17．1.6平方米
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离比例尺实际距离”即可求出两条直角边的实际长度之和。再按比例分配的方法求出两条直角边的实际长度各是多少，最后根据三角形面积底高，代入数据即可求解。
【详解】（厘米）
360厘米米
（米）
（米）
1.6×2÷2
＝3.2÷2
＝1.6（平方米）
答：这块木板的实际面积是1.6平方米。
【点睛】本题的关键是利用图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，求出两条直角边的实际长度。
18．6毫米
【分析】先量出这个零件的外直径是多少厘米，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出这个零件外直径的实际长度，再换算成毫米，即可解答。
【详解】量出这个零件外直径的图上长度为3.6厘米。
3.6÷6＝0.6（厘米）
0.6厘米＝6毫米
答：这个零件外直径的实际长度是6毫米。
【点睛】熟练掌握图上距离和实际距离之间的换算。
19．105元
【分析】根据题意，它们都打相同的折扣，所以折后甲款电子手表的降价的钱数与乙款手表降价的钱数比还是等于两款电子手表的价格比，即甲款手表降价的钱数∶乙款降价的钱数＝5∶3，设乙款手表降价x元，列比例：175∶x＝5∶3，解比例，即可解答。
【详解】解：设乙款手表降价x元。
175∶x＝5∶3
5x＝175×3
5x＝525
x＝525÷5
x＝105
答：乙款手表降价105元。
【点睛】解答本题的关键是明确打相同的折扣，降价的钱数比等于原来的价格比。
20．甲每天修240米；乙每天修360米
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出这条路的长度；再根据“工作量÷工作时间＝工作效率”就可以求出二者的工作效率之和，又因“甲乙两队的工作效率比是2∶3”，利用按比例分配的方法，即可求出甲乙每天各修多少米。
【详解】12÷＝480000（厘米）
480000厘米＝4800米
4800÷8＝600（米）
600×
＝600×
＝240（米）
600－240＝360（米）
答：甲每天修240米，乙每天修360米。
【点睛】解答本题应熟练掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系以及工程问题中的基本数量间的关系：工作量÷工作时间＝工作效率。
21．（1）东；北；3000
（2）见详解
【分析】（1）在地图上按照“上北下南，左西右东”确定方向，注意观测点是灯塔；根据图上距离和比例尺的关系确定实际距离。
（2）根据实际距离与比例尺的关系确定图上距离，再根据方位关系即可确定B岛的位置。
【详解】（1）2×1500＝3000（米）
以灯塔为观测点，A岛的位置是东偏北48°，距离灯塔3000米。
（2）4500÷1500＝3（厘米）
如图：
【点睛】本题主要考查图上距离、实际距离与比例尺之间的关系，并会根据方向的描述确定物体的位置。
22．（1）1∶30000
（2）东，北60；1200
（3）见详解
【分析】（1）用尺子测量，即可知道学校到街心花园的距离是3厘米，实际距离是900米，根据比例尺的公式：比例尺＝图上距离∶实际距离，把数代入公式即可求解，要注意统一单位。
（2）根据地图上的方向（上北下南，左西右东），即可找出足球场在街心花园的方向，之后量出街心花园到足球场的图上距离，再根据公式：实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离。
（3）图上距离＝实际距离×比例尺，求出图上距离，再根据地图上的方向（上北下南，左西右东），即可找出游泳馆的位置。
【详解】（1）900米＝90000厘米
3厘米∶90000厘米
＝（3÷3）∶（90000÷3）
＝1∶30000
所以这幅图的比例尺是：1∶30000
（2）足球场在街心花园图上距离4厘米处
4×30000＝120000（厘米）
120000厘米＝1200米
即足球场在街心花园的北偏东60°方向1200米。
（3）600米＝60000厘米
60000×＝2（厘米）
如下图所示：
【点睛】本题主要学会找准方向，并熟练掌握图上距离和实际距离的关系是解题的关键。
23．（1）见详解；
（2）36
【分析】（1）把三角形按3∶1放大，即三角形的每一条边扩大到原来的3倍，原三角形的底和高分别乘3，得出扩大后三角形的底和高，据此画出扩大后的图形。
（2）放大后的三角形，底边长是4×3＝12厘米，高是2×3＝6厘米，根据三角形的面积公式，即可求出放大后三角形的面积。
【详解】（1）作图如下：
（2）（4×3）×（2×3）÷2
＝12×6÷2
＝36（平方厘米）
【点睛】此题考查的目的是理解掌握图形的放大与缩小，根据三角形的面积公式，解决有关的实际问题。
24．（1）196250平方米
（2）100∶61
（3）1∶1000
【分析】（1）根据圆的面积公式：面积＝π×半径2；代入数据，求出面积；
（2）根据圆的周长公式：周长＝π×直径；代入数据，分别求出我国FAST和美国Arecib球面口周长，再根据比的意义，进行解答；
（3）根据比例尺的意义：比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据，求出这幅设计的比例尺。
【详解】（1）3.14×（500÷2）2
＝3.14×62500
＝196250（平方米）
答：我国FAST球面口的面积是196250平方米。
（2）（3.14×500）∶（3.14×305）
＝1570∶957.7
＝（1570×10）∶（957.7×10）
＝15700∶9577
＝（15700÷157）∶（9577÷157）
＝100∶61
（3）500米＝50000厘米
50∶50000
＝（50÷50）∶（50000÷50）
＝1∶1000
【点睛】根据圆的面积公式，周长公式，比的意义以及比例尺的意义进行解答。
25．（1）（3，2）图见详解
（2）（3）图见详解
【分析】（1）根据轴对称图形的画法，以虚线为对称轴，在对称轴的另一边画出图形①的三个顶点，连接后就是轴对称图形②；再根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列；第二个数字表示行，即可写出点A的对称点用数对表示；
（2）根据平移的特征，把图①的三个顶点向右平移5个，再向下平移2格，再连结各个点，即可得到图形③；
（3）根据放大图形的方法，将图形①的底和高边按2∶1，扩大到原来的2倍，画出放大后的图形④。
【详解】（1）点A的对称点用数对表示为（3，2）见下图
（2）见下图
（3）底：4×2＝8；高2×2＝4；见下图
【点睛】根据补全轴对称图形、作平移后的图形以及图形的放大的知识进行解答。