黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题(无答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题(无答案)，共4页。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若（是虚数单位），则（ ）
A．5B．1C．0D．
2．已知中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．或C．D．或
3．已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
5．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为（ ）
A．B．C．D．
7．已知边长为2的菱形中，，点为上一动点，点满足，则的最大值为（ ）
A．0B．C．3D．
8．在锐角，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知向量是与方向相同的单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A．与共线B．单位向量
C．向量在向量方向上的投影向量为D．若，则
10．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为B．的三个内角满足
C．的外接圆半径为D．的中线的长为
11．已知是互不相等的非零向量，其中是互相垂直的单位向量，，记，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四点在同一个圆上
B．若，则的最大值为2
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知i是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数______．
13．在中，内角所对的边分别是，且，当时，的最大值是______．
14．勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形，已知两点间的距离为2，点为弧上的一点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13分）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角．
16．（15分）已知的内角的对边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积．
17．（15分）在中，角的对边分别为，且．
（1）证明：为直角三角形；
（2）当时，求周长的最大值．
18．（17分）如图，在中，的平分线交边于点，点在边上，，．
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
19．（17分）如图，在中，已知边上的中点为边上的中点为相交于点．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）过点作直线交边于点，求该直线将成的上下两部分图形的面积之比的最小值．