四川省绵阳市东辰学校2024届高三下学期第二学月考试数学（理科）试题

这是一份四川省绵阳市东辰学校2024届高三下学期第二学月考试数学（理科）试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知为实数，复数为纯虚数．则（ ）
A．B．1C．D．2
3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），下左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，下右图为身高与臂展所对应的散点图并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（ ）
A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
4．在中，，则的面积为（ ）
A．2B．C．4D．
5．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）．某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．牛奶的温度降至还需D．牛奶的温度降至还需
6．已知集合，若中恰有两个元素，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知等边的边长为在上且为线段上的动点，求的取值范围（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆的直径长为8，与相离的直线垂直于直线，垂足为，且，圆上的两点到的距离分别为，且．若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
9．已知双曲线的右焦点为，过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于两点，若，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
10．已知正数满足（e为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点），与轴交于点，若，则向量与的夹角为（ ）．
A．B．C．D．
12．在空间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面，已知菱形的边长为，在菱形的内部及边界上运动，空间中的点满足，则点轨迹所围成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．设满足线性约束条件，则的最大值为__________。
14．二项式展开式中常数项为__________。
15．若某圆锥的侧面积为底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为__________。
16．某种信号的波形可以用函数的图像来表达．则下列各结论正确的有__________。
①最小正周期为；②对称轴为，③在上有9个零点；④值域．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：）对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于的概率分别为．求：
（1）工期延误天数的均值与方差；
（2）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
18．已知数列的前项和为，且．
（1）求，并证明：数列为等比数列；
（2）求的值．
19．已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若存在极小值点，且，其中，求证：．
20．如图，是边长为2的等边三角形，且．
（1）若点到平面的距离为1，求；
（2）若且，求直线与平面所成角的正弦值．
21．已知点是圆的动点，过作轴，为垂足，且，，记动点的轨迹分别为．
（1）证明：有相同的离心率；
（2）若直线与曲线交于，与曲线交于，与圆交于，当时，试比较与的大小．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）判断直线与曲线的交点个数，若有两个交点，求两交点间的距离．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知，若的解集为．
（1）求实数的值；
（2）已知均为正数，且满足，求的最小值．降水量
工期延误天数
0
2
6
10