2024年上海市高考预测数学卷（一）

这是一份2024年上海市高考预测数学卷（一），共17页。试卷主要包含了已知，则cs2α＝　　，，则|1+iz|＝　　，一组数据按照从小到大排列后是等内容，欢迎下载使用。
测试范围：新高考数学全部内容
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2023•上海）不等式|x﹣2|＜1的解集为 （1，3） ．
【分析】原不等式可化为﹣1＜x﹣2＜1，从而求出x的范围．
【解答】解：由|x﹣2|＜1可得，﹣1＜x﹣2＜1，
解得1＜x＜3，
即不等式的解集为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题．
2．（4分）（2022•南京模拟）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝60°，M为△ABC的外心，若，λ，μ∈R，则＝ 7 ．
【分析】令边AB，AC中点分别为D，E，将分别用和表示，再与求数量积即可列式计算作答．
【解答】解：如图，设边AB，AC中点分别为D，E，连接DM，EM，
因为点M为△ABC的外心，于是DM⊥AB，EM⊥AC，
所以，，，
所以，，
依题意，，，
解得，
所以＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题．
3．（4分）（2022•嘉定区二模）若数列{an}是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列{an}各项的和为a，则实数a的值为 1 ．
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：由题意得＝＝a，
解得a＝1或a＝，
当a＝时，a﹣＝0显然不符合题意，
故a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了等比数列求和公式的应用，属于基础题．
4．（4分）（2023•石家庄模拟）已知，则cs2α＝ ．
【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数关系求得，即可求值．
【解答】解：由．
由，则，故，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
5．（4分）（2021秋•船山区校级月考）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1，[3]＝3．若f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），则函数g（x）的值域为 [1，2） ．
【分析】由已知结合指数函数的性质及已知定义可求．
【解答】解：因为f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]）＝2x﹣[x]，
因为x﹣[x]∈[0，1），
所以g（x）∈[1，2）．
故答案为：[1，2）．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查函数值域的求解，属于基础题．
6．（4分）（2023•上海）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝ ．
【分析】根据复数的基本运算，即可求解．
【解答】解：∵z＝1﹣i，
∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题．
7．（5分）（2021秋•兖州区期中）若某圆的方程为（a+2）x2+a2y2﹣4a3﹣8a＝0，则a的值为 2 ．
【分析】依题意，可得a+2＝a2，且4a3+8a＞0，解之即可．
【解答】解：∵某圆的方程为（a+2）x2+a2y2﹣4a3﹣8a＝0，
∴a+2＝a2，且4a3+8a＞0，
解得a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查圆的方程的确定，考查运算能力，属于基础题．
8．（5分）（2021春•南岗区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则c＝ 1 ．
【分析】由已知结合三角形面积公式及余弦定理进行化简可求出C，然后结合余弦定理可求．
【解答】解：因为，
所以＝，
所以sinC＝csC，即tanC＝1，
由C为三角形内角得C＝，
因为，
则c＝＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
9．（5分）（2022秋•东城区校级月考）一组数据按照从小到大排列后是：
这组数的中位数是 5 ，这组数的75%分位数是 12 ．
【分析】根据题意，由中位数和百分位数的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，共有19个数据，则其中位数为第10个数，即5，
又由19×0.75＝15.25，则这组数的75%分位数第15个数，即12，
故答案为：5，12．
【点评】本题考查百分位数、中位数的计算，注意两者的计算公式，属于基础题．
10．（5分）（2020•黄州区校级模拟）若（3+ax）（1+x）4展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数和为 64 （用数字作答）．
【分析】依题意，可得3+a＝12+a＝13，求得a＝1，再赋值x＝1，即可求得展开式中各项系数和．
【解答】解：∵（3+ax）（1+x）4展开式中x的系数为：3+a＝12+a＝13，
∴a＝1，
令x＝1，得：
（3+x）（1+x）4展开式中各项系数和为：（3+1×1）（1+1）4＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查二项式定理，依题意，求得a＝1是关键，考查赋值法的灵活应用，属于中档题．
11．（5分）（2023春•雨花台区校级期中）已知△ABC的边AC＝2，且，则△ABC的面积的最大值为 ．
【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值．
【解答】解：由题意，设△ABC中角A，B，C所对应的边长度分别为a，b，c，则有b＝2，
由，可得，
整理得3csAsinB+2sinAcsB＝sinAsinB，
∴csAsinB+2sin（A+B）＝sinAsinB，
∵A+B+C＝π，∴csAsinB+2sinC＝sinBsinA，
∴2sinC＝sinB（sinA﹣csA），
由正弦定理可得2c＝b（sinA﹣csA）＝2（sinA﹣csA），
∴c＝sinA﹣csA＞0，则有．
故△ABC的面积
＝sinA（sinA﹣csA）＝sin2A﹣sinAcsA
＝．
∵，∴，
当时，△ABC的面积S取得最大值．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于A的三角函数求最值奠定基础，属中档题．
12．（5分）（2021春•山西期末）如图，在正三棱锥A﹣BCD中，底面边长为，侧面均为等腰直角三角形，现该三棱锥的表面上有一动点O，且OB＝2，则动点O在三棱锥表面所形成的轨迹曲线的长度为 ．
【分析】先找出动点O在三棱锥各个面的轨迹分别为，，，分别求出各段弧对应的圆心角，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，轨迹为曲线EFGH，
因为在正三棱锥A﹣BCD中，底面边长为，侧面均为等腰直角三角形，
故，
在△ABH中，因为BH＝2，，∠BAH＝90°，
所以，AH＝1，，
故，
又AH＝AE＝1，，
所以HE＝，
则，，
所以点O的轨迹长度为．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间中动点轨迹长度的求解，涉及了三角形中边角关系的应用，弧长公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
二．选择题（共4小题，满分18分）
13．（4分）（2022春•让胡路区校级期末）以下六个关系式：0∈{0}；{0}⊇∅；0.3∉Q；0∈N；{a，b}⊆{b，a}；{x|x2﹣2＝0，x∈Z}是空集，错误的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】利用元素与集合的关系及集合间的关系依次判断即可．
【解答】解：由元素与集合的关系知，
0∈{0}，0.3∈Q，0∈N；
由集合间的关系知，
{0}⊇∅，{a，b}⊆{b，a}，{x|x2﹣2＝0，x∈Z}是空集，
故只有0.3∉Q错误；
故选：D．
【点评】本题考查了元素与集合的关系及集合间的关系的应用，属于基础题．
14．（4分）（2022春•通州区期末）对三组数据进行统计，获得以下散点图．关于其相关系数依次是r1，r2，r3，则它们的大小关系是（ ）
A．r1＞r3＞r2B．r1＞r2＞r3C．r2＞r1＞r3D．r3＞r1＞r2
【分析】由图分析得到正负相关即可．
【解答】解：由题意得，
第一组数据线性相关，且正相关，
第二组数据线性相关，且负相关，
第三组数据无相关关系，
故r1＞r3＞r2，
故选：A．
【点评】本题考查了变量相关关系的判断，属于基础题．
15．（5分）（2021•江西模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）在区间[0，]上的最大值为，则实数ω的取值个数最多为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】分两种情况研究ω的取值，当时，可得，求出ω的值；时，得到，构造两个函数，，利用两个函数图象的交点进行分析判断，即可得到答案．
【解答】解函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）在区间[0，]上的最大值为，
当，即时，f（x）的最大值为，解得ω＝3，
当，即时，f（x）的最大值为，
令，，作出图象如图所示，
由图象可知，y＝g（ω），y＝h（ω）的图象有两个交点A（ω1，y1），B（ω2，y2），
所以方程有两个实根ω1，ω2，又，所以，
所以此时存在一个实数ω＝ω1满足题意．
综上所述，存在两个正实数ω满足题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数最值的应用，主要考查了分类讨论思想的应用以及数形结合方法的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
16．（5分）（2020秋•科尔沁区校级月考）若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解”是真命题，则下列命题中是真命题的为（ ）
A．方程f（x，y）＝0表示的曲线是C
B．方程f（x，y）＝0是曲线C的方程
C．方程f（x，y）＝0的曲线不一定是C
D．以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上
【分析】利用方程与曲线的关系进行判断即可．
【解答】解：由于不能判断以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点是否都在曲线C上，
即曲线C可能只是方程f（x，y）＝0所表示的曲线上的某一小段，
故方程f（x，y）＝0的解的曲线不一定是C，
则也不能推出曲线C是方程f（x，y）＝0的轨迹，
故选项A，B，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了曲线与方程的关系的判断，掌握曲线与方程的相关关系是解题的关键，属于基础题．
三．解答题（共5小题，满分78分）
17．（14分）（2022•苏州模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PB＝PD＝2，PA＝，E为PA的中点．
（1）证明：PC∥平面BED；
（2）求三棱锥P﹣BCE的体积；
（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【分析】（1）由题意，根据线面平行的判定定理，可得答案．
（2）由题意，根据三棱锥的体积转化，根据线面垂直判定定理，可得答案．
（3）由题意，根据二面角的平面角，采用几何法，可得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接AC，交于BD于O点，连接EO，易知O为AC中点．
∵E为PA的中点，∴EO∥PC．∵EO⊂平面BED，PC⊄平面BED，
∴PC∥平面BED．
（2）解：因为E是PA的中点，所以V三棱锥P﹣BCE＝V三棱锥C﹣PEB＝V三棱锥C﹣PAB＝V三棱锥B﹣APC．
∵∠BAD＝60°，知△ABD为等边三角形，
又因为PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD，
∴，
又，即PO⊥AC，
故．
∵底面ABCD是菱形，∴BO⊥AC，
又O为等边三角形PBD的边BD的中点，故BO⊥PO，
而PO∩AC＝O，PO，AC⊂平面APC，
∴BO⊥平面APC．
∴．
（3）解：如图，过点A作AM⊥PB，垂足为M，连接CM．
∵PO⊥AC，O为AC中点，∴PA＝PC．
又AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP．
∴AM＝CM，CM⊥PB，故∠AMC为二面角A﹣PB﹣C的平面角．
∵，
由，得．
∵，
在△AMC中，，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，棱锥体积的求法，二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（14分）（2022秋•金山区期末）已知f（x）＝．
（1）判断并证明函数y＝f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数y＝f（x）在区间（2，+∞）上的单调性；
（3）根据函数y＝f（x）的性质，画出函数y＝f（x）的大致图像．
【分析】（1）先分析函数的定义域，再分析f（﹣x）、f（x）的关系，即可得结论；
（2）根据题意，利用作差法分析可得结论；
（3）根据题意，由（1）（2）的结论，分析可得函数的图象．
【解答】解：（1）f（x）＝为偶函数，
证明：f（x）＝，其定义域为{x|x≠±2}，
f（﹣x）＝＝f（x），故f（x）为偶函数；
（2）f（x）＝在（2，+∞）上的单调递增，
证明：设2＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，
由于2＜x1＜x2，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，
则函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
（3）函数f（x）的图象如图：
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，涉及函数的图象，属于基础题．
19．（14分）（2023春•鲤城区校级期末）为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响．
（1）求乙闯关成功的概率；
（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
【分析】（1）可分析出“乙闯关”属于独立重复实验，直接求概率；
（2）直接求出甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，再求出甲闯关成功的概率，比较甲、乙闯关成功的概率，即可下结论．
【解答】解：（1）根据题意，记事件A为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，
则；
（2）甲编写程序正确的个数X的可能取值为3，2，1，0，
，
，
，
，
故甲编写程序正确的个数X的分布列为：
则甲编写程序正确的个数X的数学期望，
甲闯关成功的概率，
故甲比乙闯关成功的概率要大．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望以及期望在决策中的应用，属于中档题．
20．（18分）（2022•柯桥区模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l．直线l1与抛物线C相切于点P且与x轴交于点E，点M是点E关于点F的对称点，直线MP与抛物线C交于另一点Q，与准线l交于点N．
（Ⅰ）证明：直线l1⊥直线MP；
（Ⅱ）设△MEQ，△PNF的面积分别为S1、S2，若，求点M的横坐标的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由抛物线对称性，设P（x0，y0）且x0＞0，利用导数几何意义求切线l1，结合中点公式及斜率两点式求证即可．
（Ⅱ）由（1）及已知可得，确定直线MP的方程联立抛物线求yQ、yN关于y0的表达式，结合求x0的范围，即可确定M的横坐标的范围．
【解答】（Ⅰ）证明：不妨设P（x0，y0）且x0＞0，而在x＞0上，则，
所以切线斜率为，，则切线为，
整理得l1：y0y＝2（x0+x），令y＝0得：E（﹣x0，0），由题意F（1，0），则M（2+x0，0）．
所以，则直线l1⊥直线MP，得证．
（Ⅱ）解：由（1）知：∠MPF＝∠FMP，|ME|＝2|PF|，
所以，则，
直线
将代入y2＝4x得：，
∴y0yQ＝﹣（4x0+8），即，
在（*）中取x＝﹣1得：，
所以，又x0＞0，
化简得：，解得，
∴0＜x0＜4，故M的横坐标的取值范围（2，6）．
【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
21．（18分）（2023•浦东新区校级模拟）设函数．
（1）求函数f3（x）在点（1，f3（1））处的切线方程；
（2）证明：对每个n∈N*，存在唯一的，满足fn（xn）＝0；
（3）证明：对于任意p∈N*，由（2）中xn构成的数列{xn}满足．
【分析】（1）求出导函数，然后求解导数值即切线斜率，代入点斜式方程即可求解；
（2）根据f′（x）＞0，得函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又fn（1）＞0，，根据零点存在性定理可证；
（3）由fn+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得xn+1＜xn，再fn+p（xn+p）减fn（xn）变形化简，利用放缩法得证．
【解答】解：（1），所以，
所以，
又，
所以函数f3（x）在点（1，f3（1））处的切线方程为，即；
（2）证明：对每个n∈N*，当x＞0时，
由函数，
可得，
故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
由于f1（1）＝0，当n≥2时，，即fn（1）＞0．
又＝，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足fn（xn）＝0；
（3）证明：对于任意p∈N*，由（1）中xn构成数列{xn}，当x＞0时，
∵，
∴fn+1（xn）＞fn（xn）＝fn+1（xn+1）＝0．
由fn+1（x）在（0，+∞）上单调递增，
可得xn+1＜xn，即xn﹣xn+1＞0，
故数列{xn}为减数列，
即对任意的n、p∈N*，xn﹣xn+p＞0．
由于 ①，
②，
用①减去②并移项，利用0＜xn+p≤1，可得
．
综上可得，对于任意p∈N*，由（1）中xn构成数列{xn}满足．
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．
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