2024年江苏省无锡市滨湖区九年级数学中考模拟预测考试题（原卷版+解析版）

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1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质求出即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．
2. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠2B. x≥2C. x≤2D. x＞2
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件求出自变量的取值范围．
【详解】解：根据题意得：2﹣x≠0，
解得：x≠2．
故函数y＝中自变量x的取值范围是x≠2．
故选：A．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，解题的关键是利用分式有意义的条件去求解．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 3a+3b=6abB. a3﹣a=a2C. （a2）3=a6D. a6÷a3=a2
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项进行计算即可得.
【详解】解：A、3a与3b不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、a3与a不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、（a2）3=a6，符合题意；
D、a6÷a3=a3，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是关键.
4. 李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了表格:如果要去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是( )
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】由一组按大小顺序排列起来的数据中处于中间位置的数叫做中位数;接下来根据中位数的定义, 结合去掉一个最高分和一个最低分, 不难得出答案.
【详解】解: 中位数是将一组数从小到大的顺序排列, 取中间位置或中间两个数的平均数得到,所以如果要去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是中位数.
故选D.
【点睛】本题主要考查平均数、众数、方差、中位数的定义，其中一组按大小顺序排列起来的数据中处于中间位置的数叫做中位数.
5. 下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
【详解】解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．
6. 正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定，由此可以推知一次函数的图象的大致情况．
【详解】∵正比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，且经过第一、三象限．
观察选项，只有A选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点，连接AP交y轴于点B．若．则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作轴于点，则，可得，由得出,，根据勾股定理求得，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，
∴
∴
∴，
∵点
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8. 如图，是的直径，与相切于点A，与相交于点C，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据切线的性质得到，再利用直角三角形的两个锐角互余和圆周角定理得到求解即可．
【详解】解：∵与相切于点A，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定义以及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解答的关键．
9. 在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于、两点，若面积为15，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，根据点、都在反比例函数的图象上，推出，根据，求得，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于、两点，
∴、两点在第二象限，
过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，
则，，，，
∴，
∵点、都在反比例函数的图象上，
∴，，即，
∵，
∴，
即，
∴，∴，
解得，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．解决问题的关键是推出．
10. 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为斜边作，使，，连接．则面积的最大值（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过作，交的延长线于，易证得及，得到，，从而求得，，由面积公式求得，即可求解．
【详解】解：过作，交的延长线于，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即面积的最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形证明和性质的应用，解直角三角形；解题的关键是熟练掌握相似三角形的证明和性质．
二、填空题：
11. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量效有253000兆瓦，用科学记数法表示为___________兆瓦．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．分别确定和的值即可．
【详解】
故答案为
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定和的值是解题的关键．
12. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：，
故答案为：；
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．
13. 若圆锥底面圆的半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积的计算公式（为底面圆的半径，为圆锥的母线长）即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算，熟记圆锥的侧面积计算的公式是解题的关键．
14. 命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【分析】根据绝对值的性质判断真假即可．
详解】解：∵3 ＞－5，但|3|＜|－5|，
∴命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题．
故答案为：假．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
15. 化简的结果为_____．
【答案】x
【解析】
【分析】先把两分数化为同分母的分数，再把分母不变，分子相加减即可．
【详解】，
故答案为x．
16. 如图，在中，则此的重心P与外心Q之间的距离为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形外心的定义可知外心为斜边的中点，根据三角形重心的定义可知、、三点共线，根据勾股定理求出，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，然后利用重心的性质得到．
【详解】解：根据题意可知，、、三点共线．
在中，，，，
，
的外心为，
为斜边的中点，
，
的重心为，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外接圆与外心，三角形的重心，直角三角形的性质，根据三角形外心与重心的定义得出、、三点共线是解题的关键．
17. 如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点A，直线，交反比例函数的图象于点B，交y轴于点C，若，则直线的解析式为______．
【答案】##
【解析】
【分析】将正比例函数与反比例函数的解析式联立，求得点A的横坐标，根据定义求得点B的横坐标，然后求得点B的坐标，将点B的坐标代入即可求得b，从而求得直线的解析式
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数图象有一个交点A，
∴，
解得：，
∴点A的横坐标为：，
∵，
∴点B的横坐标为：，
∵点B在反比例函数上，
∴
∵，即将直线沿y轴向下平移b个单位长度，得到直线：
∴将代入得：，
∴直线的解析式为：
故答案为：
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解决问题的关键
三、解答题：
18. 计算与化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据负指数幂、特殊三角函数值及实数的运算可进行求解；
（2）根据多项式乘以多项式及完全平方公式可进行求解．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
【点睛】本题主要考查负指数幂、特殊三角函数值、实数的运算、多项式乘以多项式及完全平方公式，熟练掌握各个运算是解题的关键．
19. 解方程与不等式组：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据公式法进行求解方程即可；
（2）根据一元一次不等式组的解法可进行求解．
【小问1详解】
解：
∵，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：
由①得：；
由②得：；
∴该不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程及一元一次不等式组的解法，熟练掌握各个解法是解题的关键．
20. 如图，在中，对角线相交于点，垂足分别为．求证：

（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质及垂直的定义，由，即可证得结论；
（2）根据平行四边形的性质及全等三角形的性质，即可证得结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵在中，，
∴，即．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定是解决问题的关键．
21. 2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校5名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性3人，女性2人．
（1）若从这5人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是_________；
（2）若从这5人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵有男性3人，女性2人，每名学生被选中的概率相同，
∴从这5人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：
【小问2详解】
解：3名男性分别用A、B、C表示，两名女性分别用D、E表示，列表如下：
共有20种等可能的结果，其中符合题意的结果共有12种，
∴恰好选中一男一女的概率为．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
22. 2022春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温（每个通道一位老师），周一有小卫和小孙两学生进校园，可随机选择其中的一个通过．
（1）其中小孙进校园时，由王老师测体温的概率是____________；
（2）请用树状图或列表等方法求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率（写出分析过程）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式求解即可．
（2）画树状图列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：（1）∵共有三位老师测体温，分别是王老师、李老师，
∴由王老师测体温的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：设王老师、张老师、李老师分别为A、B、C，
画树状图如下：

∵共有9种等可能的结果，其中都是王老师测体温的结果有1种，
∴都是王老师测体温的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
23. 在平面直角坐标中，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．．

（1）如图①，当点D落在边上时，求点D的坐标；
（2）如图②，当点D落在线段上时，连接，与交于点，求点H坐标；
（3）记K为矩形对角线的交点，S为的面积，直接写出S的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）先由点，的坐标得，，再根据矩形的性质得，，，再由旋转的性质得，然后在中由勾股定理得，据此可得点的坐标；
（2）首先依据“”证明和全等得，再证和全等得，设，则，，然后在中由勾股定理列出关于的方程，解方程求出，进而可得点的坐标；
（3）过点作于点，由旋转可知，，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，点E在以点A为圆心，为半径的圆上，所以，当点D与点重合于与的交点时，此时最小，则最小， 则最小值；当点D与点重合于与延长线的交点时，此时最大，则最大，最大；即可得．
【小问1详解】
解： 点，，
，，
四边形是矩形，
，，，
矩形是由矩形旋转得到的，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
；
【小问2详解】
解：由旋转可知，，，
，
在和中，
，
；
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
中，，，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
即：，
，
点的坐标为．
【小问3详解】
解：过点作于点，如图，

由旋转可知，，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，点E在以点A为圆心，为半径的圆上，
∴，
由矩形的性质知，
∵
∴，
∴当点D与点重合于与的交点时，此时最小，则最小，如图，

∴，，
∵矩形，
∴
∴
∴最小值；
当点D与点重合于与延长线的交点时，此时最大，则最大，如图，

∴
∴最大
∴
即．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换及性质，全等三角形的判定方法，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求解．
24. 如图所示，将二次函数的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．函数的图象的顶点为点A．函数的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．
（1）求函数的解析式；
（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点M是线段上的动点，点N是三边上的动点，是否存在以为斜边的，使的面积为面积的？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解析式为；
（2）构造的三角形是等腰三角形的概率是；
（3）存在，的值为1或4或．
【解析】
【分析】(1)利用配方法得到，然后根据抛物线的变换规律求解；
(2)利用顶点式得到，解方程得易得，列举出所有的三角形，再计算出 ，， ，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；
(3)易得的解析是为， M点的坐标为，讨论：①当N点在上，如图1，利用面积公式得到，解得，当时，求出，再利用正切定义计算的值；当时，计算出，再利用正切定义计算的值；②当N点在上，如图2，先利用面积法计算出，再根据三角形面积公式计算出，然后利用正切定义计算的值；③当N点在上，如图3，作于H，设，则，由②得，利用勾股定理可计算出，证明，利用相似比可得到，利用三角形面积公式得到，根据此方程没有实数解可判断点N在上不符合条件，从而得到的值为1或4或．
【小问1详解】
解： 的图象沿x轴翻折，得
把向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得，
∴所求的函数的解析式为，
【小问2详解】
解：，
，
当时，，解得，则，
当时，，则，
从点A、C、D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：，
， ， ， ，
为等腰三角形，
∴构造的三角形是等腰三角形的概率．
【小问3详解】
解：存在．
设直线的解析式为，
把，代入，
得，
解得，
得的解析式为， ，
M点的坐标为，
①当N点在上，如图1，
的面积为面积的，
，解得，，
当时，M点的坐标为，则，，
；
当时，M点坐标为，则，，
；
②当N点在上，如图2，
，
，解得，
，
，
；
③当N点在上，如图3，作于H，设，则，
由②得，则，
，
，
∴，即，
，
，
即，
整理得， ，方程没有实数解，
∴点N在上不符合条件，
综上所述，的值为1或4或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的判定、概率公式、待定系数法、两点间的距离公式、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度；理解二次函数图象的图象变换规律、坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式、记住两点间的距离公式，利用相似比表示线段之间的关系、运用分类讨论思想等是解题的关键．
平均数
中位数
众数
方差
8.5分
8.3分
8.1分
0.15
A
B
C
D
E
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）