2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题04 一次方程（组）、分式方程及其应用（原卷版+解析版）

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【解题策略】
【典例分析】
例1.（2023·湖南）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为( )
A. 3B. −3C. 7D. −7
【答案】A
【解析】解：∵x=1是关于x的一元一次方程2x+m=5的解，
∴2×1+m=5，
∴m=3，
故选：A．
根据方程的解的定义把x=1代入方程即可求出m的值．
本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
例2.（2023·浙江）小红在解方程7x3=4x−16+1时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】解：(1)如图：

(2)去分母：2×7x=(4x−1)+6，
去括号：14x=4x−1+6，
移项：14x−4x=−1+6，
合并同类项：10x=5，
系数化1：x=12．
【解析】(1)根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
(2)首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
【变式演练】
1.（2024·广西模拟）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为 ( )
A. 3B. −3C. 7D. −7
【答案】A
【解析】解：∵x=1是关于x的一元一次方程2x+m=5的解，
∴2×1+m=5，
∴m=3，
故选：A．
根据方程的解的定义把x=1代入方程即可求出m的值．
本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
2.（2024·河北模拟）米老鼠在解方程2x−13=x+a2−1的过程中，去分母时方程右边的−1忘记乘6，因而求得的解为x=2．
(1)请你帮助米老鼠求出a的值；
(2)正确地解这个方程．
【答案】解：(1)把x=2代入方程2(2x−1)=3(x+a)−1得：2×(2×2−1)=3(2+a)−1，
解得：a=13；
(2)方程为2x−13=x+132−1，
2(2x−1)=3(x+13)−6，
4x−2=3x+1−6，
4x−3x=1−6+2，
x=−3．
【解析】(1)把x=2代入方程2(2x−1)=3(x+a)−1得出2×(2×2−1)=3(2+a)−1，再求出方程的解即可；
(2)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
3.（2024·陕西模拟）解方程：8x+45=1+11x+17．
【答案】解：8x+45=1+11x+17，
7(8x+4)=35+5(11x+1)，
56x+28=35+55x+5，
56x−55x=35+5−28，
x=12．
【解析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
题型02 二元一次方程（组）的解法
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·浙江）（二元一次方程的解）下列各组数满足方程2x+3y=8的是( )
A. x=1,y=2B. x=2,y=1C. x=−1,y=2D. x=2,y=4
【答案】A
【解析】略
例2.（2023·广东）（二元一次方程组的概念）下列方程组中，是二元一次方程组的是．( )
A. 1x+2y=4x−5y=3B. a+b=42a−c=1
C. x+2y=0x2−y2=2D. 4m−n=3m+n=2
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二元一次方程组的概念有关知识，根据二元一次方程组的概念对选项逐一判断即可．
【解答】
解：A.第一个方程不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念，故不是二元一次方程组，故该选项错误；
B.该方程组中含有3个未知数，不符合二元一次方程组的概念，故不是二元一次方程组，故该选项错误；
C.方程组中第二个方程最高次数为2次，不符合二元一次方程组的概念，故不是二元一次方程组，故该选项错误．
D.符合二元一次方程组的概念，故是二元一次方程组，故该选项正确．
例3.（2023·四川）（二元一次方程组的解）已知关于x，y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】解：∵关于x、y的二元一次方程组为3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，
①−②，得：
∴2x−2y=2m+6，
∴x−y=m+3，
∵x−y=4，
∴m+3=4，
∴m=1．
故选：B．
把方程组的两个方程相减得到2x−2y=2m+6，结合x−y=4，得到m的值．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相加得到m的方程，此题难度不大．
例4.（2023·天津）（代入消元法）方程组y=2x3x+y=15的解是( )
A. x=2y=3B. x=4y=3C. x=4y=8D. x=3y=6
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入消元法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
此题利用代入消元法求解即可．
【解答】
解：y=2x①3x+y=15②,
①代入②得，3x+2x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得，y=2×3=6，
所以方程组的解是x=3y=6．
故选D．
例5.（2023·四川）（加减消元法）已知关于x、y的二元一次方程组3x−y=4m+1,x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】略
【变式演练】
1.（2023·广东）若二元一次方程3x−y=7，2x+3y=1，y=kx−9有公共解，则k的取值为( )
A. 3B. −3C. −4D. 4
【答案】D
【解析】【分析】
本题先通过解二元一次方程组，求得后再代入关于k的方程而求解的．
由题意建立关于x，y的方程组，求得x，y的值，再代入y=kx−9中，求得k的值．
【解答】
解：解3x−y=72x+3y=1得：x=2y=−1，
代入y=kx−9得：−1=2k−9，
解得：k=4．
故选：D．
2.（2023·四川）关于x，y的方程组3x+y=2m−1,x−y=n的解满足x+y=1，则4m÷2n的值是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】解：∵方程组3x+y=2m−1①x−y=n②，
∴①−②得，2x+2y=2m−n−1，
∴x+y=2m−n−12，
∵x+y=1，
∴2m−n−12=1，
∴2m−n=3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8．
故选：D．
根据方程组①−②得，2x+2y=2m−n−1，即x+y=2m−n−12，再根据x+y=1，得2m−n=3，所以4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8．
本题考查了二元一次方程组的解，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，能熟练掌握运算法则是解此题的关键．
3.（2023·广东）用加减法消元解方程组x+3y=8①x−y=1②的过程中，正确的是( )
A. ①+②，得4y=9B. ①+②，得2y=9
C. ①−②，得4y=7D. ①−②，得2y=7
【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了解二元一次方程组，解方程组时利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
根据解二元一次方程组的步骤解方程组即可．
【解答】
解：用加减法消元解方程组x+3y=8①x−y=1②的过程中，正确的是①−②，得4y=7，
故选：C．
题型03 一次方程（组）的实际应用
【解题策略】
2、常见类型及关系式：
【典例分析】
例1．（2023·河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图所示.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次.脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分;
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)由题意得4×3+2×1+4×(−2)=6(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分;
(2)由题意得3k+3×1+(10−k−3)×(−2)=6+13，
解得：k=6，
则k的值为6．
【解析】(1)根据题意列式计算即可求解;
(2)根据题意列一元一次方程即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
例2.（2023·辽宁）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元．
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】解：(1)设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意得，
10x+15y=28006x+5y=1200，
解得：x=100y=120，
答：购买每盒A种礼品盒要100元，每盒B种礼品盒要120元；
(2)设需要购买m个A种礼品盒，则购买(40−m)个B种礼品盒，由题意得，
100m+120(40−m)≤4500，
解得：m≥15，
答：最少需要购买15个A种礼品盒．
【解析】(1)设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该公司需要购买m个A种礼品盒，则购买(40−m)个B种礼品盒，由题意即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组和不等式．
例3（2023·江苏）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元.调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
(1)求A、B两种商品的销售单价；
(2)经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价.设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：(1)设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，
由题意可得：20a+10b=84010a+15b=660，
解得a=30b=24，
答：A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；
(2)设利润为w元，
由题意可得：w=(30−m−20)(40+10m)+(24−20)(40+10m)=−10(m−5)2+810，
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30−m≥24，
解得m≤6，
∴当m=5时，w取得最大值，此时w=810，
答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
【解析】(1)根据售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据题意和(1)中的结果，可以写出利润与m的函数关系式，然后根据A种商品售价不低于B种商品售价，可以得到m的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组、写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
例4.（2023·四川）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】解：(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，
解得：x=35y=30．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，
根据题意得：35m+30(100−m)≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【解析】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式演练】
1.（2023·辽宁）为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步.开始时男生跑了50m，女生跑了80m，然后男生女生都开始匀速跑步.已知男生的跑步速度为4.5m/s，当到达终点时男、女均停止跑步，女生从开始匀速跑步到停止跑步共用时120s.已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，y轴代表跑过的路程，则：
(1)男女跑步的总路程为______；
(2)当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．
【答案】1000m
【解析】解：(1)男生匀速跑步的路程为4.5×100=450(m)，450+50=500(m)，
则男女跑步的总路程为500×2=1000(m)，
故答案为：1000m；
(2)设从开始匀速跑步到男、女相遇时的时间为x s，
女生跑步的速度为(500−80)÷120=3.5(m/s)，
根据题意得：80+3.5x=50+4.5x，
解得x=30，
∴此时男、女同学距离终点的距离为4.5×(100−30)=315(m)，
答：此时男、女同学距离终点的距离为315m．
(1)根据男女同学跑步的路程相等，即可求解；
(2)求出女生跑步的速度，列方程求解即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后设出未知数列出方程．
2.（2023·广东模拟）五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4 000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同．
(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？
(2)经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这4000件物品，需筹集资金多少元？
【答案】解：(1)设甲种救灾物品每件的价格为x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为(x−10)元/件，
可得：450x=400x−10，
解得：x=90，
经检验，x=90是原方程的解，
答：甲种救灾物品每件的价格为90元/件，乙种救灾物品每件的价格为80元/件．
(2)设甲种物品件数y件，可得：
y+3y=4000，
解得：y=1000，
所以筹集资金=90×1000+80×3000=330000 元，
答：筹集资金330000 元．
【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次方程解决实际问题，正确列出方程是解题关键．
(1)设甲种救灾物品每件的价格为x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为(x−10)元/件，根据已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同，可列方程求解．
(2)设甲种物品件数为y件，根据灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，可列出方程求解．
3.（2023·重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【答案】解：(1)设购买炸酱面x份，牛肉面y份，
根据题意得：x+y=17015x+20y=3000，
解得：x=80y=90．
答：购买炸酱面80份，牛肉面90份；
(2)设购买牛肉面m份，则购买炸酱面(1+50%)m份，
根据题意得：1200m−1260(1+50%)m=6，
解得：m=60，
经检验，m=60是所列方程的解，且符合题意．
答：购买牛肉面60份．
【解析】(1)设购买炸酱面x份，牛肉面y份，利用总价=单价×数量，结合该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买牛肉面m份，则购买炸酱面(1+50%)m份，利用单价=总价÷数量，结合每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，可得出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
4.（2023·广东）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于40000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】解：(1)设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为(x+25)元，
根据题意得：2(x+25)+x=200，
解得：x=50，
可得x+25=50+25=75，
则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；
(2)设商场可以购置A玩具y个，
根据题意得：50y+75×2y≤40000，
解得：y≤200，
则该商场最多可以购置200个A玩具．
【解析】(1)设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为(x+25)元，根据购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元元列出方程，求出方程的解即可得到结果；
(2)设商场最多可以购置A玩具y个，根据B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于40000元列出不等式，求出不等式的解即可得到结果．
此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系和不等关系是解本题的关键．
5.（2023·江苏）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品.甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元(单价均为整数)．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件(软面笔记本单价不变)：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出.班长小华打算购买m本硬面笔记本(m为正整数)，他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
【答案】解：(1)设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为(x−3)元，
根据题意得：240x=195x−3，
解得：x=16，
经检验，x=16是所列方程的解，且符合题意．
答：甲商店硬面笔记本的单价为16元；
(2)设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为(y−3)元，
根据题意得：my=(m+5)(y−3)，
整理得：5y−3m=15，
∴y=35m+3．
∵m<30m+5≥30，且m，y均为正整数，
∴m=25y=18．
答：乙商店硬面笔记本的原价为18元．
【解析】(1)设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为(x−3)元，利用数量=总价÷单价，结合用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为(y−3)元，利用总价=单价×数量，结合再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，可列出关于y，m的二元一次方程，结合m<30m+5≥30且m，y均为正整数，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
题型04 分式方程及其解法
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·山东）（分式方程的解）已知x=1是方程m2−x−1x−2=3的解，那么实数m的值为( )
A. −2B. 2C. −4D. 4
【答案】B
【解析】解：将x=1代入方程，得：m2−1−11−2=3，
解得：m=2．
故选：B．
将x=1代入原方程即可求出m的值．
本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程．
例2.（2023·广东）（分式方程的一般解法）方程1x−3=2x的解为( )
A. x=−6B. x=−2C. x=2D. x=6
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
根据分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】
解：去分母，得x=2x−6，
∴x=6．
经检验，x=6是原方程的解．
故选D．
例3.（2023·山西）（分式方程的一般解法）解方程：1x−1+1=32x−2．
【答案】解：原方程可化为 1x−1+1=32(x−1) ．
方程两边同乘2(x−1)，得2+2(x−1)=3．
解得 x=32 ．
检验：当 x=32 时，2(x−1)≠0．
∴原方程的解是 x=32 ．
【解析】方程两边同时乘以2(x−1) ，则可以把方程转化为整式方程，即可求得x的值，把所求的值代入2(x−1)进行检验即可．
本题主要考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，注意解分式方程一定要验根．
例4.（2023·上海）（分式方程的特殊解法—换元法）用换元法解方程x−1x2−x2x−1=3时，如果设x−1x2=y，那么原方程可化为关于y的方程是( )
A. y2+3y−1=0B. y2−3y−1=0
C. y2−3y+1=0D. y2+3y+1=0
【答案】B
【解析】解：设x−1x2=y，
方程x−1x2−x2x−1=3化为y−1y=3，
整理得：y2−3y−1=0．
故选：B．
由设出的y，将方程左边两项代换，得到关于y的方程，整理后即可得到结果．
此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
例5.（2023·山东模拟）（分式方程的增根）关于x的分式方程mx−2−32−x=1有增根，则m的值( )
A. m=2B. m=1C. m=3D. m=−3
【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【解答】
解：去分母得：m+3=x−2，
由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程得：m+3=0，
解得：m=−3，
故选：D．
例6.（2023·广东）（由实际问题抽象出分式方程）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/ℎ，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同.设动车提速后的平均速度为x km/ℎ，则下列方程正确的是( )
A. 360x=480x+60B. 360x−60=480x
C. 360x=480x−60D. 360x+60=480x
【答案】B
【解析】解：∵随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/ℎ，且动车提速后的平均速度为x km/ℎ，
∴动车提速前的平均速度为(x−60)km/ℎ．
根据题意得：360x−60=480x．
故选：B．
根据动车提速前后速度间的关系，可得出动车提速前的平均速度为(x−60)km/ℎ，利用时间=路程÷速度，结合动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式演练】
1.（2023·黑龙江）已知关于x的分式方程mx−2+1=x2−x的解是非负数.则m的取值范围是( )
A. m≤2B. m≥2
C. m≤2且m≠−2D. m<2且m≠−2
【答案】C
【解析】解：分式方程去分母得：m+x−2=−x，
解得：x=2−m2，
由分式方程的解是非负数，得到2−m2≥0，且2−m2−2≠0，
解得：m≤2且m≠−2，
故选：C．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.（2023·全国模拟）用换元法解方程2xx−1−3=x−1x时，设xx−1=y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A. 2y2−3y−1=0B. 3y2−2y+3=0
C. y2+2y−3=0D. y2−2y+1=0
【答案】A
【解析】解：2xx−1−3=x−1x，
设xx−1=y，则原方程化为：2y−3=1y，
2y2−3y=1，
2y2−3y−1=0，
故选：A．
设xx−1=y，则原方程化为2y−3=1y，再整理即可．
本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．
3.（2023·四川模拟）关于x的分式方程mx−2−32−x=1有增根，则m的值( )
A. m=2B. m=1C. m=3D. m=−3
【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【解答】
解：去分母得：m+3=x−2，
由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程得：m+3=0，
解得：m=−3，
故选：D．
4.（2023·江苏）解方程：2x−5x−2=3x−3x−2−3．
【答案】解：去分母得：2x−5=3x−3−3(x−2)，
去括号得：2x−5=3x−3−3x+6，
移项得：2x−3x+3x=5−3+6，
合并同类项得：2x=8，
把x的系数化为1得：x=4，
检验：把x=4代入最简公分母x−2=4−2=2≠0，
故原分式方程的解为：x=4．
【解析】两边同时乘以最简公分母(x−2)去分母，然后去括号、移项、合并同类项、把x的系数化为1，即可算出x的值，然后再检验．
此题主要考查了分式方程的解法，关键是不要忘记检验，没有分母的项不要漏乘，这是同学们最容易出错的地方．
5.（2023·湖北）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个.如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为( )
A. 1500x+20−800x=5B. 1500x−20−800x=5
C. 800x−1500x+20=5D. 800x−1500x−20=5
【答案】A
【解析】解：设每个足球的价格为x元，可列方程为：
1500x+20−800x=5．
故选：A．
根据足球价格表示出篮球的价格，再利用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
题型05 分式方程的实际应用
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·吉林）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评.某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每大制作多少个摆件？
【答案】解：设原计划平均每天制作x个摆件，
根据题意，得3000x−30001.5x=5，
解得：x=200，
经检验，x=200是原分式方程的根，且符合题意，
答：原计划平均每天制作200个摆件．
【解析】设原计划平均每天制作x个摆件，根据“结果提前5天完成任务”列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并能根据题意建立方程是解题的关键．
例2.（2023·辽宁）(2023·锦州中考)2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元．
【答案】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为(2x−48)元，
由题意，可得：96002x−48=7200x，
解得：x=72，
经检验，x=72是所原方程的解，
所以A品牌篮球的单价为：2×72−48=96(元)．
答：A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．
【解析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设B品牌篮球单价为x元，由题意可得A品牌篮球单价为(2x−48)元，根据“采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元”，列出相应的方程，解答即可．
例3.（2023·山东模拟）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；
(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【答案】(1)解：设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网(1+20%)x米，
由题意，得 3600x−3600(1+20%)x=10 ，解得x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
此时，60×(1+20%)＝72（米）．
故实际施工时，每天改造管网的长度是72米．​​​​​​​
(2)解：设以后每天改造管网还要增加m米，
由题意，得(40-20)(72+m)≥3 600-72×20，
解得m≥36．
故以后每天改造管网至少还要增加36米．
【解析】1. 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，在解答时找到相等关系并建立方程是解题的关键．
设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网(1+20%)x米，根据比原计划提前10天完成任务建立方程求出其解就可以了；
2. 本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，在解答时找到不相等关系并列出不等式是解题的关键．
设以后每天改造管网还要增加m米，根据总工期不超过40天建立不等式求出其解即可．
【变式演练】
1.（2023·吉林模拟）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】 解： 设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，
则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，
根据题意，得200x=200x+0.6×4，
解得x=0.2，
经检验，x=0.2是原方程的解，且符合题意．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元
【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍列分式方程，解方程即可求解。
2.（2023·广东模拟）某工程队接到了修建3000米道路的施工任务，修到一半的时候，由于采用新的施工技术，修建效率提高为原来的1.5倍，结果提前5天完成了施工任务，问原来每天修多少米道路？
【答案】解：设原来每天修建x米道路，则采用新的施工技术后每天修建1.5x米道路，
依题意得：3000×12x−3000×121.5x=5，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天修100米道路．
【解析】设原来每天修建x米道路，则采用新的施工技术后每天修建1.5x米道路，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合结果提前5天完成了施工任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3.（2023·山东）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
【答案】解：设这个学校九年级学生有x人，
根据题意得：3600x×50=3600x+60×60，
解得：x=300，
经检验，x=300是所列方程的解，且符合题意．
答：这个学校九年级学生有300人．
【解析】设这个学校九年级学生有x人，利用单价=总价÷数量，结合按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4.（2023·辽宁）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．
【答案】解：设乙每小时加工x个这种零件，则甲每小时加工(x+2)个这种零件，
根据题意得：25x+2=20x，
解得：x=8，
经检验，x=8是所列方程的解，且符合题意．
答：乙每小时加工8个这种零件．
【解析】设乙每小时加工x个这种零件，则甲每小时加工(x+2)个这种零件，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
1.（2023·海南）若代数式x+2的值为7，则x等于( )
A. 9B. −9C. 5D. −5
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．根据题意，列出关于x的一元一次方程x+2=7，通过解该方程可以求得x的值．
【解答】
解：由题意，得x+2=7，
移项，得x=5．
故选C．
2.（2023·江苏）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的为( )
A. x=1,y=2B. x=2,y=0C. x=0.5,y=3D. x=−2,y=4
【答案】D
【解析】略
3.（2023·北京）(2020·北京·中考真题)方程组x−y=13x+y=7的解为 ．
【答案】x=2y=1
【解析】【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：两个方程相加可得 4x=8 ，
∴ x=2 ，
将 x=2 代入 x−y=1 ，
可得 y=1 ，
故答案为： x=2y=1 ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
4.（2023·天津）方程组y=2x3x+y=15的解是( )
A. x=2y=3B. x=3y=6C. x=4y=3D. x=4y=8
【答案】B
【解析】解：y=2x①3x+y=15②，
把①代入②得：3x+2x=15，
解得：x=3，
把x=3代入①得：y=6，
则方程组的解为x=3y=6．
故选：B．
方程组利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5.（2023·江苏）解二元一次方程组：x−y=13x+2y=8．
【答案】解：x−y=1①3x+2y=8②，
①×2得：2x−2y=2③，
②+③得：5x=10，
解得：x=2，
把x=2代入①中得：2−y=1，
解得：y=1，
∴原方程组的解为：x=2y=1．
【解析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
6.（2023·四川）解方程组3x+y=8 ①2x−y=7 ②．
【答案】解：3x+y=8①2x−y=7②，
①+②得：5x=15，
解得：x=3，
将x=3代入①得：3×3+y=8，
解得：y=−1，
故原方程组的解为：x=3y=−1．
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本方法为代入消元法和加减消元法，必须熟练掌握．
7.（2023·四川）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区.经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销.在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
(1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
(2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
【答案】解：(1)设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，
根据题意得：3x+2y=782x+3y=72，
解得：x=18y=12．
答：雷波脐橙每千克18元，资中血橙每千克12元；
(2)设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙(100−m)千克，
根据题意得：18m+12(100−m)≤1440，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：他最多能购买雷波脐橙40千克．
【解析】(1)设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，根据“购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙(100−m)千克，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1440元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
8.（2023·四川）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清沽能源装备大会在德阳举行.大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集，其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划2025年基本建成，若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务.承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独施工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】解：(1)设乙队单独施工需要x个月才能完成任务，根据题意得，
1x×2+(118+1x)×10=1，解得x=27，
经检验x=27是原方程的根，
答：乙队单独施工需要27个月才能完成任务；
(2)根据题意得，a18+b27=1，
整理得，a=54−2b3=18−23b，
∵a，b为正整数，且a≤6，b≤24，
∴b为3的倍数，
∴b=24时，a=2；b=21时，a=4；b=18时，a=6，
∴方案一：甲队施工2个月，乙队施工24个月；
方案二：甲队施工4个月，乙队施工21个月；
方案三：甲队施工6个月，乙队施工18个月；
设甲乙两队实际施工的费用为w万元，得，
w=8a+5b=8×(18−23b)+5b=−13b+144，
∵k=−13<0，
∴w随b的增大而减小，
即当b最大=24时，所支付费用w最低，
∴方案一：甲队施工2个月，乙队施工24个月，所支付费用最低．
【解析】(1)设完成本项工程的工作总量为“1”，乙队单独施工需要x个月才能完成任务，由已知条件：乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．列出分式方程，求解即可．
(2)由已知条件：甲、乙两个工程队同时施工，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，可列出关于a、b的二元一次方程，从而得到a=18−23b，又根据a，b为正整数，得出甲乙两队实际施工的时间安排的三种方式；设甲乙两队实际施工的费用为w万元，得w=8a+5b，又因为a=18−23b，进而得到关于w和b的一次函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
本题主要考查了列方程解决工程问题，根据a、b的取值范围及a、b均为整数的关系，得出b为3的倍数是本题的难点．
9.（2023·广东）某地葡萄丰收，准备将已经采摘下来的11400公斤葡萄运送杭州，现有甲、乙、丙三种车型共选择，每辆车运载能力和运费如表表示(假设每辆车均满载)
(1)若全部葡萄都用甲、乙两种车型来运，需运费8700元，则需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节省运费，现打算用甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为15辆，你能分别求出这三种车型的辆数吗？怎样安排运费最省？
【答案】解：(1)设需要甲车x辆，乙车y辆，根据题意可得
600x+800y=11400500x+600y=8700
解得x=3y=12；
(2)设需要甲车x辆，乙车y辆，根据题意得
600x+800y+900(15−x−y)=11400，
整理得3x+y=21，
∵x，y都是正整数，x+y<15
x=4，5，6 ，
方案一：甲车4辆，乙车9辆，丙车2辆，运费8800元
方案二：甲车5辆，乙车6辆，丙车4辆，运费8900元
方案三：甲车6辆，乙车3辆，丙车6辆，运费9000元
∵ 8800<8900<9000
∴方案一运费最省，运费是8800元.

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，考查了二元一次不定方程的正整数解．
(1)根据题意，列出方程组，解之即可；
(2)结合题意，列出相应二元一次方程，对照题意，即可得解．
10.（2023·山东）某商场购进了A，B两种商品，若销售10件A商品和20件B商品，则可获利280元；若销售20件A商品和30件B商品，则可获利480元．
(1)求A，B两种商品每件的利润；
(2)已知A商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A商品，市场调查反映：如调整A商品价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A商品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：(1)设A商品每件的利润为x元，B商品每件的利润为元，
根据题意，得10x+20y=28020x+30y=480，
解得：x=12y=8，
答：A商品每件的利润为12元，B商品每件的利润为8元．
(2)设降价a元利润为w元根据题意，得：
w=(12−a)(200+20a)，
=2400+240a−200a−20a，
=−20a2+40a+2400，
=−20(a−1)2+2420．
∵−20<0．
∴当a=1时，w有最大值，最大值为2420，此时定价24+12−1=35(元)．
答：定价为35元时，利润最大，最大为2420元．
【解析】(1)根据题意列出二元一次方程组解答即可；
(2)根据“商品利润=单件利润×销售数量“，列出二次函数解析式，将其化成顶点式，再结合“售价=进价+利润“解答即可．
本题主要考查了二元一次方程组和二次函数的应用，读懂题意并能列出等量关系式是解答本题的关键．
11.（2023·山西）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．
【答案】(1)设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨．
根据题意，得x+2y=2.82x=3y，解得x=1.2y=0.8．
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个B部件的质量为0.8吨．
(2)设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．
根据题意，得(1.2+0.8×3)m+8≤30.解得m≤559．
因为m为整数，m取最大值，所以m=6．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【解析】(1)设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨.，然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可;
(2)设该卡军一次可运输m套这种设备通过此大桥.根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列
不等式再结合m为整数求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键．
12.（2023·湖北）为积极响应州政府“悦享成长⋅书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装.经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的23，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】解：(1)设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：x+y=2206x=5y，
解得：x=100y=120，
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
(2)设参加活动的女生有a人，则男生有(150−a)人，
根据题意可得150−a≤23a120a+100(150−a)≤17000，
解得：90≤a≤100，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则w=120a+100(150−a)=15000+20a，
∵20>0，
∴当a=90时，w有最小值，最小值为15000+20×90=16800(元)，
此时，150−a=60(套)，
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【解析】(1)设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
(2)设参加活动的女生有a人，则男生有(150−a)人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．
13.（2023·广东）在某文具用品商店购买3个篮球和1个足球共花费190元；购买2个篮球和3个足球共花费220元．
(1)求购买1个篮球和1个足球各需多少元？
(2)若计划用不超过900元购买篮球和足球共20个，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】解：(1)设购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，
根据题意得：3x+y=1902x+3y=220，
解得：x=50y=40．
答：购买1个篮球需要50元，1个足球需要40元；
(2)设可以购买m个篮球，则购买(20−m)个足球，
根据题意得：50m+40(20−m)≤900，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10．
答：最多可以购买10个篮球．
【解析】(1)设购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，根据“购买3个篮球和1个足球共花费190元；购买2个篮球和3个足球共花费220元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设可以购买m个篮球，则购买(20−m)个足球，利用总价=单价×数量，结合总价不超过900元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
14.（2023·山东）若关于x的分式方程xx−1+1=m1−x的解为非负数，则m的取值范围是( )
A. m≤1且m≠−1B. m≥−1且m≠1
C. m<1且m≠−1D. m>−1且m≠1
【答案】A
【解析】解：xx−1+1=m1−x，
两边同乘(x−1)，去分母得：x+x−1=−m，
移项，合并同类项得：2x=1−m，
系数化为1得：x=1−m2，
∵原分式方程的解为非负数，
∴1−m2≥0，且1−m2≠1
解得：m≤1且m≠−1，
故选：A．
解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x=1−m2是解题的关键．
15.（2023·上海）下列方程中，有实数根的是( )
A. x2+2x+1=0B. x2+x+1=0
C. x+1=0D. 1x−1=xx−1
【答案】A
【解析】解：方程x2+2x+1=0的根的判别式Δ=3>0，故选项A中方程有实数根；
方程x2+x+1=0的根的判别式Δ=−3<0，故选项B中方程无实数根；
∵ x≥0，
∴选项C中方程无实数根；
方程1x−1=xx−1无解，故选项D中方程无实数根；
故选：A．
利用根的判别式判断A、B，利用二次根式的性质判断C，利用解分式方程判断D．
本题主要考查了无理方程、分式方程、一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、无理方程及分式方程的解法是解决本题的关键．
16.（2023·海南）分式方程1x−5=1的解是( )
A. x=6B. x=−6C. x=5D. x=−5
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键．
根据分式方程的求解方法解题，注意检验根的情况
【解答】
解：两边同时乘以(x−5)，可得：1=x−5，
解得x=6，
经检验x=6是原方程的根．
17.（2023·陕西）解方程：2xx+5−1=x+5x．
【答案】解：原方程两边同乘x(x+5)去分母得：2x2−x(x+5)=(x+5)2，
去括号得：2x2−x2−5x=x2+10x+25，
移项，合并同类项得：−15x=25，
解得：x=−53，
经检验，x=−53是分式方程的解，
故原方程的解为：x=−53．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18.（2023·四川）关于x的分式方程x+mx−2+12−x=3有增根，则m= ______．
【答案】−1
【解析】解：方程两边同乘(x−2)得：x+m−1=3(x−2)，
由题意得：x=2是该整式方程的解，
∴2+m−1=0，
解得：m=−1，
故答案为：−1．
先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
本题考查了分式方程的增根，理解增根的意义是解题的关键．
19.（2023·山东）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______．
【答案】2400x+4=2×1000x
【解析】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，
∴乙种劳动工具单价为(x+4)元．
根据题意得：2400x+4=2×1000x．
故答案为：2400x+4=2×1000x．
根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为(x+4)元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.（2023·四川）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是( )
A. 26402x=2640x+2B. 26402x=2640x−2
C. 26402x=2640x+2×60D. 26402x=2640x−2×60
【答案】D
【解析】解：乙每分钟能输入x个数据，
根据题意得：26402x=2640x−2×60．
故选：D．
有工作总量2640，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲比乙少用2小时输完”.等量关系为：甲用的时间=乙用的时间−2×60．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21.（2023·黑龙江）为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球？
【答案】解：设第一批足球单价为x元，则第二批足球的单价为(x−2)元，
由题意得：800x×2=1560x−2，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
则x−2=78，
80080+156078=30，
答：该学校两批共购买了30个足球．
【解析】设第一批足球单价为x元，则第二批足球的单价为(x−2)元，根据学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍列方程即可得结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.（2023·四川）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得240x−4=240x+2，
解得x1=10，x2=−12(舍去)，
经检验，x1=10，x2=−12都是原分式方程的根，但x2=−12不合题意舍去，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得(10+2)m+10(400−m)≤4600，
解得m≤300，
w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵2>0，
∴w随着m增大而增大，
当m=300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400=3000(元)，
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列分式方程，求解即可；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定如何进货才能获得最大利润，并求出最大利润即可．
23.（2023·内蒙古）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】解：(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨，
由题意得：450x=500x+10，
解得：x=90，
当x=90时，x(x+10)≠0，
∴x=90是分式方程的根，
∴x+10=90+10=100，
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨；
(2)设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，
由题意得：90m+100(30−m)≥28801.5m+2(30−m)≤55，
解得：10≤m≤12，
w=1.2m+2(30−m)=−0.8m+60；
∵−0.8<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=12时，w最小，此时w=−0.8×12+60=50.4，
∴购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是50.4万元．
【解析】(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨，根据“A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解；
(2)先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
一元一次方程
概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).
解法：解法依据是等式的基本性质.
性质①：若a=b，则a±m=b±m；
性质②：若a=b，则am=bm；若a=b，则(d≠0).
解一元一次方程的步骤
去分母:在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
去括号:去括号法则（可先分配再去括号）
移项:把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
合并同类项:分别将未知项的系数相加、常数项相加
系数化为“1”:在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数）
6、检根x=a:
方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
①若左边＝右边，则x=a是方程的解；
②若左边≠右边，则x=a不是方程的解。
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。
在解方程过程中，各部分都存在容易出错的一些“小陷阱”，现将各步骤的注意事项总结如下：
【易错警示】
去分母
①不含分母的项也要乘以最小公倍数；
②分子是多项式的一定要先用括号括起来
去括号
括号外是负因数时，一是要注意变号，二是要注意各项都不要漏乘公因数
移项
移项要变号
合并同类项
单独的一个未知数的系数为“±1”
系数化为1
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
解：2×7x=(4x−1)+1，
…
二元一次方程的概念：
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程
【易错警示】
二元一次方程的解必须是两个未知数同时确定的组合，用大括号括起来即可；
1个二元一次方程的解不唯一，可能有无数个；
二元一次方程中用一个未知数来表示另一个未知数，依据的是等式的基本性质；
二元一次方程组的概念：
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组
二元一次方程组解法：
名称
步骤
具体操作
代
入
消
元
法
①
将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；
②
用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
③
把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；
④
写出方程组的解；
加
减
消
元
法
①
将其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）
②
通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程
③
解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
④
将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；
⑤
写出方程组的解；
1、列方程解应用题的一般步骤：
步骤
“点睛”
“审”（即审题）
“审”题目中的已知量、未知量、基本关系；
“设”（即设未知数）
一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量
“列”【即列方程（组）】
找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程
“解”【即解方程（组）】
根据一次方程（组）的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现
“验”（即检验）
非题目要求，此步可以不写
检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意
“答”（即写出答案）
最后的综上所述
常见
运用
题型
解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总;
追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程
利润问题：利润=卖价-进价；利润率=×100%.
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
分配问题等
投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分(分)
3
1
−2
一、分式方程
1．分母里含有未知数的有理方程叫分式方程．
2．使分式方程分母为零的未知数的值即为增根；分式方程的增根有两个特征：
(1)增根使最简公分母为零；
(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．
二、分式方程的基本解法
解分式方程的一般步骤：
(1)去分母，把分式方程转化为整式方程；
(2)解这个整式方程，求得方程的根；
(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．
☆：分式方程会无解的几种情况
①解出的x的值是增根，须舍去，无解
②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解
③同时满足①和②，无解
☆：求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：
①让最简公分母为 0 确定增根；
②去分母，将分式方程转化为整式方程；
③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；
④解含参数字母的方程的解。
一、分式方程的应用：解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根。
二、列分式方程解应用题的一般步骤：
①审， ②设， ③列， ④解， ⑤验， ⑥答
其中，检验这一步必须有!
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；
(2)检验所求的解是否符合实际．
三、常见类型及关系式：
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(公斤/辆)
600
800
900
汽车运费(元/辆)
500
600
700