2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题06 圆中与切线有关的判定方法（原卷版+解析版）

这是一份2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题06 圆中与切线有关的判定方法（原卷版+解析版），文件包含专题06圆中与切线有关的判定方法原卷版docx、专题06圆中与切线有关的判定方法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。

【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·云南模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
【变式演练】
1.（2023·湖北）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD//BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
题型02 利用平行证垂直【连半径，证垂直】
【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·江苏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD⌢的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
(1)求证：CE是⊙O的切线．
(2)若BC=6，AC=8，求CE，DE的长．
【变式演练】
1.（2023·广西）如图，在△ABC中，AC=AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC点E，交AB延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若DF=4，tan∠BDF=12，求AC的长．
题型03 利用三角形全等证垂直【连半径，证垂直】
【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·内蒙古）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，E是BC的中点，连接OE，DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若sinC=45，DE=5，求AD的长；
(3)求证：2DE2=CD·OE．
【变式演练】
1.（2023·浙江模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE.连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若AB=2，求BD的长；
(3)在(2)的条件下，连接AC，求cs∠ACF的值．
2.（2023·江苏模拟）如图，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A、B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD=DE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB=12，BC=4，求AD的长．
题型04 利用相似证垂直【连半径，证垂直】
【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·江苏模拟）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2=PA·PB．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若AB=3PA，求ACBC的值．
【变式演练】
1.（2023·江苏模拟）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于点B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA·AC=DC·AB．
(1)求证：直线EA是⊙O的切线；
(2)若BC=BE，S△ACD=mS△BAE，求常数m的值．
题型05 利用等腰三角形性质证垂直【连半径，证垂直】
【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·江苏模拟）如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线．
【变式演练】
（2023·江苏模拟）如图，若等腰三角形△ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
题型06 利用等角转换证垂直【作垂直，证半径】
【解题策略】
【典例分析】
【例1】（2023·宁夏模拟）
如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
(1)求证：⊙D与AC相切；
(2)若AC=5，BC=3，试求AE的长．
【变式演练】
1.（2023·湖北模拟）
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，⊙P与OA相切于D，求证：OB与⊙P相切．
2.（2023·江苏模拟）
如图，ΔABC中，∠ABC=90∘，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
(1)求证：⊙D与AC相切；
(2)若AC=5，BC=4，试求AE的长．
1.（2023·山东）
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB=AC，AE//BC，E为BD的延长线与AE的交点．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=75°，BC=2，求CD的长．
2.（2023·北京）
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD,连接AC,OD.
(1)求证：∠BOD=2∠A;
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E，延长DO,交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
3.（2023·江西）
如图，在△ABC中，AB=4，∠C=64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为ABD上一点，且∠ADE=40°．
(1)求BE的长；
(2)若∠EAD=76°，求证：CB为⊙O的切线．
4.（2023·四川）
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD=∠FAD．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若PA=4，PD=2，求⊙O的半径和DE的长．
5.（2023·甘肃）
如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC=∠B，求证：直线CD与⊙O相切．
6.（2023·湖南）
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)当⊙O的半径为5，sinB=35时，求CE的长．
方法技巧
1.切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：
题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
2.切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
3.常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
4.若：已知∠1+∠2=90°，又可证明∠2=∠3，则可以推出∠1+∠3=90°.
方法技巧
1.切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：
题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
2.切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
3.垂直于同一直线的两直线互相平行。
方法技巧
切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：
题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
3.关键：有两个三角形全等，得出角相等。
方法技巧
1.切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：
题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
2.切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
方法技巧
1.切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：
题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
2.切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
方法技巧
1.切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：
题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
2.切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
3.若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；
②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.