2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题08 二次函数的图像与性质（一）（原卷版+解析版）

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【解题策略】
【典例分析】
例1．（2024·河南模拟）抛物线y=ax2+bx+2经过A(−1,0)，C(3,0)，交y轴于点B.求抛物线的解析式．
【变式演练】
1.（2024·广东模拟）已知二次函数图象的顶点坐标为(−1,1)，且经过点(1,−3)，求这个二次函数的表达式．
2.（2024·福建模拟）已知y是x的二次函数，y与x的对应值如下表：
则其表达式为
A. y=12(x−2)2+1B. y=(x−2)2+1
C. y=−12(x−2)2+1D. y=−(x−2)2+1
3.（2023·广东模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1,3)，当x>1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是( )
A. y=−2(x+1)2+3B. y=2(x+1)2+3
C. y=−2(x−1)2+3D. y=2(x−1)2+3
题型02 二次函数的图象与性质
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2024·广东模拟）对于二次函数y=2(x+1)2−3，下列说法不正确的是( )
A. 图象开口向上
B. 函数的最小值是−3
C. 当x<0时，y随x的增大而减小
D. 图象与y轴的交点为0,−1
【变式演练】
1.（2024·云南模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac>0，②2a+b>0，③4ac0时，y随x的增大而减小，其中正确的是 ( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ③④⑤
2.（2024·安徽模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−2，下列结论正确的是( )
A. a<0
B. c>0
C. 当x<−2时，y随x的增大而减小
D. 当x>−2时，y随x的增大而减小
3.（2024·河南模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc>0；②b0；④2c>b；
⑤a+b>m(am+b)(m≠1)，
其中正确的结论有(填序号)__________________________
题型03 二次函数图象与各项系数的关系
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2024·江西模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=−1，且过点(−3,0).下列说法：①abc<0；②2a−b=0；③4a+2b+c<0；④若(−5,y1)，(52,y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中说法正确的是______．
【变式演练】
1.（2023·四川模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点)，下列结论正确的是______
①当x>3时，y<0；②3a+b<0；③−1≤a≤−23；④4ac−b2>8a；
2.（2024·湖北模拟）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：(1)abc<0；(2)4a+c>2b；(3)3b−2c>0；(4)若点A(−2,y1)、点B(−12,y2)、点C(72,y3)在该函数图象上，则y1A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
3.（2024·江苏模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与X轴交于点(―3,0)，其对称轴为直线x=−12，结合图象分析下列结论：①abc>0; ②3a+c>0；③当x<0时，y随x的增大而增大，④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=−13,x2=12；⑤若m,n (m−3且n<2，其中正确的结论有
( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
题型04 利用二次函数的性质求最值
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2024·浙江模拟）已知二次函数y=ax2−2(b−1)x+1(a≠0)，当−2≤x≤−1时，y随x的增大而增大，则( )
A. 当a>0时，ab的最大值为14B. 当a>0时，ab的最大值为18
C. 当a<0时，ab的最大值为14D. 当a<0时，ab的最大值为18
【变式演练】
1.（2024·陕西模拟）已知二次函数y=ax2−2ax+a+2(a≠0)，若−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为( )
A. 1B. −1C. ±1D. 无法确定
2.（2024·浙江模拟）已知二次函数y=−(x−1)2+10，当m≤x≤n，且mn<0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则m+n的值为( )
A. 3B. 52C. 2D. 32
3.（2023·山西模拟）已知关于x的二次函数y=x2+(k−1)x+3，其图象经过点(1,8)．
(1)求k的值；
(2)求出该函数图象的顶点坐标和最小值．
题型05 二次函数与坐标轴交点问题
【解题策略】
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
【典例分析】
例1．（2024·安徽模拟）二次函数y=3x2−6图象与y轴的交点坐标是( )
A. (0,−6)B. (−6,0)C. (± 2,0 )D. (0,± 2)
【变式演练】
1．（2023·河北）已知二次函数y=−x2+m2x和y=x2−m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2B．m2C．4D．2m2
2．（2023·四川）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线y=−12x2+bx−b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A．10B．12C．13D．15
3．（2022·云南）已知抛物线y=−x2−3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y=−x2−3x+c与x轴交点的横坐标；M是抛物线y=−x2−3x+c的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
(1)求c的值；
(2)直接写出T的值；
(3)求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值．
1.（2023·山东）二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①abc<0；②方程ax²+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0,y1)，(32,y2)是抛物线上的两点，那么y10；⑤对于任意实数m，都有m(am+b)≥a+b，其中正确结论的个数是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
2.（2023·上海）抛物线y=−3(x+1)2+2的顶点坐标是( )
A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)
3.（2023·四川）已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a<0)过(−1,0)和(m,0)两点，且30；②3a+c>0；③若抛物线过点(1,4)，则−1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.（2023·辽宁）已知二次函数y=x2−2x−1，当0≤x≤3时，函数的最大值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 2
5.（2023·四川）经过A(2−3b,m)，B(4b+c−1,m)两点的抛物线y=−12x2+bx−b2+2c(x为自变量)与x轴有交点，则线段AB长为( )
A. 10B. 12C. 13D. 15
6.（2023·上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD//x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
7.（2023·北京）在平面直角坐标系xOy中，点1,m和点3,n在抛物线y=ax2+bxa>0上．
(1)若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；
(2)已知点−1,y1,2,y2,4,y3在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．
8.（2023·湖南）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A(t,0)，点P(1,2)在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上．
(1)求k的值；
(2)连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T=2S−2t2，求T的最大值．
9.（2023·北京）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)，(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为直线x=t．
(1)当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m一、求二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
二、二次函数的常见表达式：
名称
解析式
前提条件
一般式
y=ax²+bx+c (a≠0)
当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.
顶点式
y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）
当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式.
交点式
y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0)
其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式.
相互联系
1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
x
−1
0
1
2
3
4
5
y
10
5
2
1
2
5
10
1．二次函数的图象与性质
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，
y最小值=
当x=–时，
y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系
符号
图象特征
备注
a
a>0
开口向上
a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
a<0
开口向下
b
b=0
坐标轴是y轴
ab>0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
左同右异
ab<0((a，b异号))
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
自变量x的值
函数值
图象上对应点的位置
结论
-2
4a-2b+c
x轴的上方
4a-2b+c >0
x轴上
4a-2b+c =0
x轴的下方
4a-2b+c <0
-1
a-b+c
x轴的上方
a-b+c >0
x轴上
a-b+c =0
x轴的下方
a-b+c <0
1
a+b+c
x轴的上方
a+b+c >0
x轴上
a+b+c =0
x轴的下方
a+b+c <0
2
4a+2b+c
x轴的上方
4a+2b+c >0
x轴上
4a+2b+c =0
x轴的下方
4a+2b+c <0
自变量取值范围
图象
最大值
最小值
全体实数
a>0
当x=−b2a时，二次函数取得最小值4ac−b24a
a<0
当x=−b2a时，二次函数取得最大值4ac−b24a
x1≤x≤x2
a>0
当x=x2时，二次函数取得最大值y2
当x=−b2a时，二次函数取得最小值4ac−b24a
当x=x1时，二次函数取得最大值y1
当x=−b2a时，二次函数取得最小值4ac−b24a
当x=x2时，二次函数取得最大值y2
当x=x1时，二次函数取得最小值y1
a<0
自行推导.
与x轴交点个数
一元二次方程ax2+bx+c= 0的根
判别式Δ=b2-4ac
2个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac>0
1个交点
有一个不相等的实数根
b2-4ac=0
0个交点
没有实数根
b2-4ac<0