2022-2023学年高一数学下学期期中考试全真模拟试卷01（人教A版2019必修第二册）

这是一份2022-2023学年高一数学下学期期中考试全真模拟试卷01（人教A版2019必修第二册），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（ ）
A. 点B. 点C. 点，但不过点D. 点和点
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
4．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，且，则（ ）
A. B. C. D.
6．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年～前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏由上、下两个完全相同圆锥容器组成，圆锥的体积为，底面半径为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个完全盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此时圆锥形沙堆的高为（ ）
A. B. C. D.
7．在△中，内角的对边分别为，满足，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
8．已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知下列四个命题为真命题的是（ ）
A. 已知非零向量，若，则
B. 若四边形中有，则四边形为平行四边形
C. 已知，，可以作为平面向量的一组基底
D. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为
10．如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（ ）
A. B. 与相交C. D. 与异面
11．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A. B. 当，时，
C. 当，时， D. 当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
12．在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为3 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若复数，则复数的模是________.
14.已知在中，，，若，则___________.
15.在中，角A，，所对边分别为，，，面积为S，若，则____________.
16．如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）若实数、满足，求实数、的值.
18．如图，长方体的底面是正方形，E，F分别是，上的点，且，．
（1）证明：点F在平面内；
（2）若，求三棱锥的体积．
19．已知正六边形的边长为1，
（1）当点满足__________时，．
（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
（2）若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围；
（3）若点H是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围.
20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且______．
（1）求角；
（2）若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．如图，圆是边长为的正方形的内切圆，为圆周上一点，过作，的垂线，垂足分别为，．设，
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值．
22．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
（1）求角C
（2）若，，为角C的平分线，求的长；
（3）若，求锐角面积的取值范围.
期中考试全真模拟试卷01
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为复数在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
2．如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（ ）
A. 点B. 点C. 点，但不过点D. 点和点
【答案】D
【解析】由题意知，，，∴，又，
∴，即在平面与平面的交线上，又，，
∴点C在平面与平面的交线上，即平面的交线必过点和点
故选：D.
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】A＝60°，a，
由正弦定理可得，2，
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
则2．
故选：D．
4．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设与的夹角为，
则在上的投影向量为: .
故选：B.
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在△ABC中，，即，由余弦定理得：，而，解得，由，显然，则，所以，所以．
故选：C．
6．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年～前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏由上、下两个完全相同圆锥容器组成，圆锥的体积为，底面半径为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个完全盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此时圆锥形沙堆的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据已知条件有, ,即

圆锥形沙堆的高
故选：C
7．在△中，内角的对边分别为，满足，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】，得，
由余弦定理，
即，所以的最小值为2．
故选A．
8．已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】平面ABC，，
，，
面SAB，
面SAB，
，
，中AC中点O，
，
为球O的直径，又可求得，球O的半径，体积，
故选B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知下列四个命题为真命题的是（ ）
A. 已知非零向量，若，则
B. 若四边形中有，则四边形为平行四边形
C. 已知，，可以作为平面向量的一组基底
D. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】对A：对于非零向量，若，则成立，
即选项A正确；
对于B：因为，所以边和平行且相等，
即四边形为平行四边形，
即选项B正确；
对于C：因，所以，
所以不可以作为平面向量的一组基底，
即选项C错误；
对于D：易知与同向的单位向量为，
设、的夹角为，则，
所以向量在向量上的投影向量为，
即选项D正确.
故选：ABD.
10．如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（ ）
A. B. 与相交C. D. 与异面
【答案】BCD
【解析】画出原正方体如图所示，
不平行，所以A错；与相交，所以B正确；由正方体的性质知，所以C正确；与即不平行也不相交，所以与是异面直线，所以D正确.
故选：BCD.
11．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A. B. 当，时，
C. 当，时，D. 当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
【答案】AC
【解析】对于复数有，
，而，所以选项A正确；
根据复数的三角形式，时，
此时，，选项B错误；
时，
根据棣莫弗定理，，所以选项C正确；
时，，n为偶数时，
设, ，
所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时为实数，选项D错误.
故选：AC.
12．在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值为3
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】由题设，外接圆直径为，故，A正确；
锐角中，则，故，B错误；
，则，当且仅当时等号成立，C正确；
由C分析知：，而，
又且，
则
，而，
所以，则，
所以，D正确
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若复数，则复数的模是________.
【答案】2
【解析】，所以的模长为.
故答案为：2
14.已知在中，，，若，则___________.
【答案】.
【解析】因为，所以，即，而，所以，即，所以．
故答案为：．
15.在中，角A，，所对边分别为，，，面积为S，若，则____________.
【答案】或
【解析】由，
根据正弦定理得：.
由于 ，故，
由于 ，故，
由于，
而，
故答案为：或
16．如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则有.
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）若实数、满足，求实数、的值.
【答案】（1） （2），
【解析】（1）纯虚数，则，可得，
所以，，因此，.
（2）由（1）可知，则，
，
由已知可得，解得，.
18．如图，长方体的底面是正方形，E，F分别是，上的点，且，．
（1）证明：点F在平面内；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明：如图，连接，，
在长方体中，，且，
所以四边形是平行四边形，则．
因为，，所以，
所以，所以，
所以，所以四点共面，
即点在平面内．
（2）在长方体中，点到平面的距离
即为点到平面的距离，即为；
所以．
19．已知正六边形的边长为1，
（1）当点满足__________时，．
（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
（2）若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围；
（3）若点H是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析 （2） （3）
【解析】（1）
建系如图，则
因为，设，所以，，又因为，所以，，可得，又因为，，所以，直线
：，所以， M为直线AD上的任意一点即可(答案不唯一).
故答案为： (答案不唯一)
（2）
建系如图，则
设，
由可得：
所以解得
所以
故答案为：
（3）设，因为点H是正六边形内或其边界上的一点，则，则==
故答案为：
20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且______．
（1）求角；
（2）若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）若选①：在中，因，
所以，即，
由正弦定理可得，，
又因为，，所以，，
所以，则，
若选②：在中，因，
所以，
由正弦定理可得，，
所以，
又因为，所以，所以，则，
若选③：在中，因为，所以，
所以，由正弦定理可得，，
又因为，所以，所以，又，
即，又，所以，所以，
所以，又因为，所以，则，
（2）因为角的平分线为，又，所以
，
即，即，
又，
所以，所以，即，
故外接圆的面积，
21．如图，圆是边长为的正方形的内切圆，为圆周上一点，过作，的垂线，垂足分别为，．设，
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）如图，以为原点，以平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴建立平面直角坐标系．
设点，由题可知，，，，
，，
所以，
令，则，，
所以当时，有最小值为，
当时，有最大值，
所以的取值范围是．
（2），
令，原式，
当且仅当时，即时等号成立．
所以的最小值为．
22．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
（1）求角C
（2）若，，为角C的平分线，求的长；
（3）若，求锐角面积的取值范围.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由及正弦定理得
所以
∴，∴
∵，∴
（2）设由得
.
解得，即角平分线的长度为
（3）设外接圆半径为R，由
，即，即，∴
所以的面积
∵，∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴