2023—2024年高一下学期数学期中考试2（人教A版2019必修第二册）

这是一份2023—2024年高一下学期数学期中考试2（人教A版2019必修第二册），共22页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，考试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：平面向量、复数、立体几何为主
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．复数z＝(1+i)(2﹣i)的虚部是 ( )
A．1B．iC．3D．3i
2．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A'O'=32，那么原△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
3．函数f(x)=x2−1|x|的图象大致是( )
A．B．
C．D．
4．已知非零向量a，b满足|b|=2|a|，且(a−b)⊥(3a+2b)，则a与b的夹角为( )
A．45°B．135°C．60°D．120°
5．已知函数f(x)=lg13⁡3x2−ax+8在[﹣1，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣6]B．[﹣11，﹣6]C．(﹣11，﹣6]D．(﹣11，+∞)
6．已知等腰直角三角形ABC中，A=π2，M，N分别是边AB，BC的中点，若BC=sAN+tCM，其中s，t为实数，则s+t＝( )
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
7．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成．这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度(h)的23 (细管长度忽略不计)．假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为( )
A．B．C．D．
8．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝1，AB=BC=3，cs⁡∠ABC=13，P是A1B上的一动点，则AP+PC1的最小值为( )
A．B．C．D．3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．对于任意非零向量，，，下列命题正确的是( )
A．若，，则B．若•＝•，则
C．若，，则D．若|﹣|＝|+|，则•＝0
10．设a，b是空间中不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥α
B．若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
D．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1．M、N分别为BB1、AB的中点下列说法正确的是( )
A．点M到平面AND1的距离为
B．正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的体积为
C．面AND1截正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球所得圆的面积为
D．以顶点A为球心，233为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于53π6
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 ．
13．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(﹣2，1)、(﹣1，3)、(3，4)，则顶点D的坐标是 ．
14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面积为S，体积为V，从该正方体中切割出一个四面体C1﹣A1BD，其表面积S1，体积为V1，则＝ ，＝ ．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量与的夹角，且．
(1)求；(2)在上的投影向量；(3)求向量与夹角的余弦值．
16．（15分） 如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱ABC﹣A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上)，AB＝AC，棱柱侧面BB1C1C是一个长为4的正方形．
(1)求挖掉的直三棱柱的体积；(2)求剩余几何体的表面积．
17．（15分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin(A﹣)．
(1)求A；
(2)D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．

18．（17分）如图，在三棱柱．ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，E，F分别是BC，A1C1的中点，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1＝2AB．
(1)求异面直线EF与A1A所成角的余弦值；(2)求点C到平面AEF的距离．
19．（17分）由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB＝120°，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA、PB的距离分别为RS＝4m，RT＝6m，(m为长度单位)．陈某准备过点R修建一条长椅MN(点M，N分别落在PA，PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计)，以供购买冷饮的人休息．
(1)求点S到点T的距离；
(2)为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值．

参考答案
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z＝(1+i)(2﹣i)的虚部是( )
A．1B．iC．3D．3i
【答案】A
【分析】根据复数的运算化简z，求出z的虚部即可．
【解答】解：z＝(1+i)(2﹣i)＝2﹣i+2i+1＝3+i，
故z的虚部是1．
故选：A．
2．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【分析】根据斜二测画法还原直线△ABC在直角坐标系的图形，进而分析出△ABC的形状，可得结论．
【解答】解：根据“斜二测画法”可得BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝；
∴原△ABC是一个等边三角形，如图所示．
故选：A．
3．函数f(x)＝的图象大致是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，用排除法分析：先分析函数的奇偶性，排除B，再利用导数分析函数的单调性，排除CD，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f(x)＝，其定义域为{x|x≠0}，
有f(﹣x)＝＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，排除B，
当x＞0时，f(x)＝＝x﹣，其导数f′(x)＝1+，
则有f′(x)＞0，则f(x)在(0，+∞)上为增函数，排除CD，
故选：A．
4．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A．45°B．135°C．60°D．120°
【答案】B
【分析】根据题意，设与的夹角为θ，由数量积的计算公式可得，变形可得csθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，
因为，，
所以，变形可得．
则．
又由θ∈[0°，180°]，所以θ＝135°．
故选：B．
5．已知函数在[﹣1，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣6]B．[﹣11，﹣6]C．(﹣11，﹣6]D．(﹣11，+∞)
【答案】C
【分析】由题意结合复合函数的单调性可得内层函数t＝3x2﹣ax+8在[﹣1，+∞)上是增函数且恒大于0，由此列关于a的不等式组求解．
【解答】解：∵在[﹣1，+∞)上是减函数，
且外层函数为减函数，
则内层函数t＝3x2﹣ax+8在[﹣1，+∞)上是增函数且恒大于0，
∴，解得﹣11＜a≤﹣6．
∴实数a的取值范围是(﹣11，﹣6]．
故选：C．
6．已知等腰直角三角形ABC中，，M，N分别是边AB，BC的中点，若，其中s，t为实数，则s+t＝( )
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
【答案】D
【分析】可画出图形，根据向量加法和数乘的几何意义可得出，联立①②消去即可用表示出，然后根据平面向量基本定理即可求出s+t的值．
【解答】解：如图，
根据题意得：，联立①②消去得，，且，
∴根据平面向量基本定理得：，s+t＝﹣2．
故选：D．
7．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成．这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度(h)的(细管长度忽略不计)．假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为h′，求出细沙的体积，由体积相等求解h′，则答案可求．
【解答】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h，
设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，
∴细沙的体积为V＝π••＝．
细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为h′，
则V＝πr2•h′＝，
得h′＝．
∴．
故选：A．
8．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝1，AB＝BC＝，，P是A1B上的一动点，则AP+PC1的最小值为( )
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】将立体图展开成平面图，设点C1的新位置为C'，连接AC'，即可得到AC'即为AP+PC1的最小值，解三角形即可．
【解答】解：连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，
设点C1的新位置为C'，连接AC'，则AC'即为AP+PC1的最小值，
由题意可知AA1＝1，AB＝BC＝，cs∠ABC＝，得A1B＝BC'＝A1C'＝2，
∠AA1B＝∠BA1C'＝60°，
所以在△AA1C'中，AC'＝＝．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于任意非零向量，，，下列命题正确的是( )
A．若，，则B．若•＝•，则
C．若，，则D．若|﹣|＝|+|，则•＝0
【答案】ACD
【分析】利用平面向量的运算性质逐一进行判断即可
【解答】解：对于A选项：因为为非零向量，则∥成立，故A正确；
对于B选项：若•＝•，则 或⊥()，故B错误；
对于C选项：若，，则，故C正确；
对于D选项：若|﹣|＝|+|，即有||²+||²﹣2＝||²+||²+2，故有＝0，故D正确；
故选：ACD．
10．设a，b是空间中不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥α
B．若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
D．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b
【答案】AD
【分析】根据线面平行和面面平行的判定方法和性质验证每一个选项即可．
【解答】解：在选项A中，a∥b，b⊂α，a⊄α，由线面平行判定定理得，a∥α，故A项正确；
在选项B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B项错误；
在选项C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C项错误；
在选项D中，由面面平行的性质定理得D项正确．
故选：AD．
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1．M、N分别为BB1、AB的中点下列说法正确的是( )
A．点M到平面AND1的距离为
B．正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的体积为
C．面AND1截正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球所得圆的面积为
D．以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于
【答案】BCD
【分析】A选项．由等体积法求得点M到平面AND1的距离即可；B选项．由外接球的直径为体对角线即可判断；C选项．由面AND1经过外接球球心，求得其外接圆圆心，即可求解；D选项．将球面与正方体的表面相交所得的曲线分为两类，按照弧长公式计算即可．
【解答】解：，
设M到平面AND1的距离为d，
由，即，解得，故A错误；
正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的半径为，
外接球的体积为，故B正确；
易得面AND1经过正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的球心，
故其截外接球所得圆的半径为外接球的半径，其圆的面积为，故C正确；
如图，
球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：
一类在顺点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；
另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上在面AA1B1B上，
交线为弧EF且在过球心A的大圆上，
因为，则，
同理，所以，
故弧EF的长为，而这样的弧共有三条；
在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为B，半径为BF＝A1E＝，
所以弧FG的长为，这样的弧也有三条，
于是，所得的曲线长，故D正确．
故选：BCD．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 ﹣2π ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据1小时，分针转过一周角为2π，即可得到答案．
【解答】解：由于经过了1小时，分针转过一周角为2π，
又由顺时针旋转得到的角是负角，
故分针转过的角的弧度数是﹣2π，
故答案为：﹣2π．
13．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(﹣2，1)、(﹣1，3)、(3，4)，则顶点D的坐标是 (2，2) ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设D(x，y)，可得，．由于四边形ABCD是平行四边形，可得，即可得出．
【解答】解：设D(x，y)，则＝(3﹣x，4﹣y)，
＝(﹣1，3)﹣(﹣2，1)＝(1，2)．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴．
∴(1，2)＝(3﹣x，4﹣y)．
∴，解得x＝y＝2．
∴D(2，2)．
故答案为：(2，2)．
14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面积为S，体积为V，从该正方体中切割出一个四面体C1﹣A1BD，其表面积S1，体积为V1，则＝ ，＝ ．
【答案】；．
【分析】根据题意，设正方体的棱长为1，求出S和V的值，进而分析求出四面体C1﹣A1BD的表面积S1，体积为V1，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设正方体的棱长为1，则S＝6×1×1＝6，V＝1×1×1＝1，
四面体C1﹣A1BD中，其棱长为，每个面都是等边三角形，其面积为×()2＝，
故该四面体的表面积S1＝6×＝3，
则＝＝；
其体积V1＝V﹣4＝1﹣4×××1×1×1＝；
故＝．
故答案为：；．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量与的夹角，且．
(1)求；
(2)在上的投影向量；
(3)求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】(1)先求出，可求得；
(2)根据投影向量的计算公式计算即可；
(3)利用向量的夹角公式求解即可．
【解答】解：(1)，，
所以；
(2)在上的投影向量为：；
(3)，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
16．（15分）如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱ABC﹣A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上)，AB＝AC，棱柱侧面BB1C1C是一个长为4的正方形．
(1)求挖掉的直三棱柱的体积；
(2)求剩余几何体的表面积．
【答案】(1)16；
(2)．
【分析】(1)记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE，由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径，又B1BC1C是一个长为4的正方形，求出球的半径后即可求解；
(2)由图可得剩余几何体表面积．
【解答】解：(1)记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE，
由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径，又B1BC1C是一个长为4的正方形，
因此OE＝AE＝2，球半径为，
挖掉的直三棱柱的体积；
(2)由(1)知＝，
所以剩余几何体表面积为：
．
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin(A﹣)．
(1)求A；
(2)D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA＝﹣，结合范围A∈(0，π)，可求A的值．
(2)设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinθ＝csθ，可求sinθ，csθ，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ，进而根据三角形的面积公式可求S△ADC的值．
【解答】解：(1)由正弦定理可得asinB＝bsinA，
则有bsinA＝b(sinA﹣csA)，化简可得sinA＝﹣csA，
可得tanA＝﹣，
因为A∈(0，π)，
所以A＝．
(2)设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，
在△ADC中，，则＝，
所以＝，可得sinθ＝csθ，
又因为sin2θ+cs2θ＝1，可得sinθ＝，csθ＝，
则sin2θ＝2sinθcsθ＝，
所以S△ADC＝sin∠ADC＝＝．
18．（17分）如图，在三棱柱．ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，E，F分别是BC，A1C1的中点，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1＝2AB．
(1)求异面直线EF与A1A所成角的余弦值；
(2)求点C到平面AEF的距离．
【答案】(1)异面直线EF与A1A所成角的余弦值为．
(2)点C到平面AEF的距离为．
【分析】(1)取AB的中点D，连接DE，A1D，可得EF∥DA1．进而得∠AA1D是异面直线EF与A1A所成的角，求解即可；
(2)利用等体积法可求点C到平面AEF的距离．
【解答】解：(1)取AB的中点D，连接DE，A1D．
∵E是BC的中点，∴DE∥AC，且DE＝AC．
由三棱柱的性质知AC∥A1C1．
∵F是A1C1的中点，∴A1F∥AC，且A1F＝AC，
∴A1F∥DE，且A1F＝DE，
∴四边形DEFA1是平行四边形，得EF∥DA1．
∴∠AA1D是异面直线EF与A1A所成的角，
在Rt△AA1D中，AA1＝＝，
∴cs∠AA1D＝＝＝，
∴异面直线EF与A1A所成角的余弦值为．
(2)已知可得：VF﹣ACE＝AA1×S△ACE＝×4××22＝．
在△AEF中，AE＝，AF＝，EF＝，
AE边上的高为＝，
∴S△AEF＝××＝．
设点C到平面AEF的距离为h，
则VC﹣AEF＝h×S△AEF＝，解得h＝．
即点C到平面AEF的距离为．
19．（17分）由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB＝120°，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA、PB的距离分别为RS＝4m，RT＝6m，(m为长度单位)．陈某准备过点R修建一条长椅MN(点M，N分别落在PA，PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计)，以供购买冷饮的人休息．
(1)求点S到点T的距离；
(2)为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值．
【答案】(1)2．
(2)32m2．
【分析】(1)连接ST，先在△RST中，由余弦定理即可求出ST的值；
(2)由正弦面积公式和S△PMN＝S△PRM+S△PRN，可推出|PM|•|PN|＝2|PM|+3|PN|，再结合基本不等式，得解．
【解答】解：(1)连接ST，
在△RST中，∠SRT＝180°﹣∠APB＝60°，
由余弦定理知，ST2＝RS2+RT2﹣2RS•RTcs∠SRT＝42+62﹣2×4×6cs60°＝28，
∴ST＝2．
(2)由正弦面积公式知，S△PMN＝|PM|•|PN|sin120°＝|PM|•|PN|，
∵S△PMN＝S△PRM+S△PRN＝|PM|•|RS|+|PN|•|RT|＝|PM|×4+|PN|×6＝2|PM|+3|PN|，
∴|PM|•|PN|＝2|PM|+3|PN|≥2，
∴|PM|•|PN|≥128，当且仅当2|PM|＝3|PN|，即|PM|＝8，|PN|＝时，等号成立，
此时S△PMN＝|PM|•|PN|≥×128＝32，
故当PM等于8m时，该三角形PMN区域面积最小，面积的最小值为32m2．