2023-2024学年高一数学下学期期中考前必刷卷01（基础卷）（人教A版2019）

这是一份2023-2024学年高一数学下学期期中考前必刷卷01（基础卷）（人教A版2019），共21页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建漳州·一模）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4B．2C．8D．6
3．（22-23高一下·广东深圳·期中）在中，为的中点，为的中点，设，，则（ ）

A．B．C．D．
4．（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了（如图乙），测得，若点恰好在边上，请帮忙计算的值（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·辽宁·一模）已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖南邵阳·二模）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·海南·模拟预测）当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度、音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为（ ）

A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知复数 (为虚数单位)，复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数所对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
10．（21-22高一下·全国·期末）在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ）
A．三棱锥B．直三棱柱C．三棱台D．四棱柱
11．（23-24高一下·重庆·阶段练习）下列说法中正确的有（ ）
A．
B．已知在上的投影向量为且，则
C．若非零向量满足，则与的夹角是
D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是 ．
13．（2024·四川成都·二模）已知向量，，若，则 .
14．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为的正方体中，已知是的中点，点分别在上，则周长的最小值为 ．

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（22-23高一下·江苏连云港·期中）若复数，当实数m为何值时
(1)z是实数；
(2)z对应的点在第二象限．
16．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量，满足，，且，的夹角为.
(1)求；
(2)若，求实数的值；
17．（22-23高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，.
(1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；
(2)求该“阳马”的外接球的表面积.
18．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.
问题：在中，角、、所对的边分别为、、，已知_________.
(1)求；
(2)若的外接圆半径为2，且，求.
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.
19．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）如图：在中，已知与交于点．

(1)用向量表示向量；
(2)过点作直线，分别交线段于点，设，若，，当取得最小值时，求模长．
高一下期中考前必刷卷01（基础卷）
高一数学
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据复数的概念及运算法则即可求解.
【详解】
设，则，
因为，所以，
所以，解得所以.
故选：C.
2．（2024·福建漳州·一模）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4B．2C．8D．6
【答案】A
【分析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，结合圆柱的侧面积公式运算求解.
【详解】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，
则石磨的侧面积为，解得.
故选：A.
3．（22-23高一下·广东深圳·期中）在中，为的中点，为的中点，设，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据图形特征进行向量运算即可.
【详解】因为为的中点，为的中点，
所以，
又因为，，
所以.
故选：C
4．（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了（如图乙），测得，若点恰好在边上，请帮忙计算的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在中，由余弦定理求出，再在中，由得出，即可.
【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，，在中，由得，
故选：D.
5．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据斜二测画法的公式，画出复原图即可求解.
【详解】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图，
因为斜二测直观图为矩形，，,
则，
可得原图中（右图），,
,
四边形的面积为.
故选：D.
6．（2024·辽宁·一模）已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.
【详解】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
7．（2024·湖南邵阳·二模）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
建立平面直角坐标系，标出，，，四个点的坐标，写出向量，的坐标，即可表示出，进而可求得其范围．
【详解】
如图，以为原点建立平面直角坐标系，
易知，，，
当在线段上运动，设，其中，
所以，，
则，
因为，所以，
当在线段上运动，设，则，且,
则，故，，
则，
因为，所以，综上，的取值范围为.
故选：C.
8．（2024·海南·模拟预测）当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度、音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
作出半轴截面，解直角三角形得底面圆半径，进而即可得解.
【详解】如图所示：

该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆圆心为，为马赫锥的母线，
由题意，
而是锐角，所以，
又，所以，
该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知复数 (为虚数单位)，复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数所对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】通过复数中，对复数进行化简，就可判断A选项的正误；并通过共轭复数的定义得到，就可判断B选项的正误；然后通过复数的乘法和除法公式，分别计算和，即可判断选项C和D的正误.
【详解】因为，所以，故复数，而共轭复数
对于选项A，复数，对应点坐标为，所以在复平面内复数所对应的点位于第一象限，故A正确；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误.
故选：AC
10．（21-22高一下·全国·期末）在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ）
A．三棱锥B．直三棱柱C．三棱台D．四棱柱
【答案】ABC
【分析】根据已知结合平面图形分别分析即可得出.
【详解】如图，连接，则平面可截得三棱锥，故A正确；
如图，过作，过作，则过E，F的平面可截得直三棱柱，故B正确.
如图，延长至，连接，分别与交于两点，则可得平面截得三棱台，故C正确；
因为将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱，故D错误.
故选：ABC.
11．（23-24高一下·重庆·阶段练习）下列说法中正确的有（ ）
A．
B．已知在上的投影向量为且，则
C．若非零向量满足，则与的夹角是
D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【分析】利用向量数量积的定义可判断A；利用向量投影向量的定义可判断B；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断C；判断与平行时的取值可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，因为在上的投影向量为，所以，
又，所以，则，故B正确；
对于C，因为非零向量满足，
则，即有，
所以，又，
所以与的夹角的余弦值为，
又，可得与的夹角为，故C正确；
对于D，因为，，所以，
当与平行时，，解得，
此时与的夹角不为锐角，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是 ．
【答案】
【分析】
由对称性结合复数的几何意义得出点对应的复数．
【详解】
设向量对应的复数为，对应复平面的坐标为，
因为向量对应的复数为，所以对应复平面的坐标为，
因为与关于轴对称，所以．
即向量对应的复数为，因为点为坐标原点，所以点对应的复数是．
故答案为：.
13．（2024·四川成都·二模）已知向量，，若，则 .
【答案】/
【分析】
首先求出的坐标，再由向量垂直得到，即可求出，再根据数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
因为，所以，解得，
所以.
故答案为：
14．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为的正方体中，已知是的中点，点分别在上，则周长的最小值为 ．

【答案】/
【分析】
将分别沿展开到与平面共面的位置，由此可得所求最小值为，利用余弦定理可求得结果.
【详解】
将分别沿展开到与平面共面的位置，如下图所示，其中点为原来的点，

的周长（当且仅当四点共线时取等号），
，
，
，
，即周长的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（22-23高一下·江苏连云港·期中）若复数，当实数m为何值时
(1)z是实数；
(2)z对应的点在第二象限．
【答案】(1)或
(2)
【分析】
（1）根据已知条件，结合复数的分类，即可求解；
（2）根据复数的几何意义，即可列不等式求解．
【详解】（1）
因为，是实数，
则，解得或；
（2）
若对应的点在第二象限，
则，解得，
即的取值范围为．
16．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量，满足，，且，的夹角为.
(1)求；
(2)若，求实数的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合数量积的计算公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由向量，，且，的夹角为，可得，
则.
（2）解：因为，所以，
即，即，
可得，即，解得.
17．（22-23高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，.
(1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；
(2)求该“阳马”的外接球的表面积.
【答案】(1)证明见解析，4
(2)
【分析】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积；
（2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解.
【详解】（1）因为长方体中，平面，且是矩形，
所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面，
所以四棱锥是一个“阳马”，
体积；
（2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球，
因为，.
长方体的对角线长为，
则长方体的外接球的半径，
该“阳马”外接球的表面积为.
18．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.
问题：在中，角、、所对的边分别为、、，已知_________.
(1)求；
(2)若的外接圆半径为2，且，求.
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】
（1）根据正余弦定理边角互化，即可结合三角恒等变换求解，
（2）根据余弦的和差角公式可得，进而利用率正弦定理可得，由余弦定理即可求解.
【详解】（1）
选择条件①：因为，
在中，由余弦定理可得，
由余弦定理可得，
则，
因为，所以.
选择条件②：因为，由正弦定理得，
.
即，
则，
因为，所以，
因为，所以.
（2）
因为，所以，即，
即，又因为，
所以.
由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，
可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以.
19．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）如图：在中，已知与交于点．

(1)用向量表示向量；
(2)过点作直线，分别交线段于点，设，若，，当取得最小值时，求模长．
【答案】(1)
(2)5
【分析】
（1）设，将向量分别用和表示，根据三点共线可求的值；；
（2）将向量用表示，由三点共线，可得，由基本不等式可解.
【详解】（1）
设，将代入，
得,因为三点共线，且三点共线，
所以，得
即．
（2）
，
则，因为三点共线，
则，即
当且仅当，即时取得等号．
此时
.