2023-2024学年高一数学下学期期中考试预测卷01（人教A版2019必修第二册）

这是一份2023-2024学年高一数学下学期期中考试预测卷01（人教A版2019必修第二册），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．）
1．已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，四边形中，，则必有（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，，则角B的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量，，若与共线，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
5．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）

A．B．1C．8D．
6．如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4B．2C．8D．6
7．如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，一块三角形铁片，已知，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点．过点作一条直线分别交于点，并沿直线裁掉，则剩下的四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C．若，则的模为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
10．下列关于向量的说法中，正确的是（ ）
A．若向量互为相反向量，则
B．若，则
C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同
D．若与是共线向量，则三点共线
11．如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为（ ）

A．截面
B．异面直线与所成的角为
C．
D．平面
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为 .
13．在中，已知向量与满足，且，则角 .
14．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 .
四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）（1）记是虚数单位，若复数满足，求；
（2）若复数．
①若复数为纯虚数，求实数的值；
②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
16．（15分）已知，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为，求；
(3)若与垂直，求与的夹角．
17．（15分）如图，点是中BC边的中点，.
(1)若点是的重心，试用表示;
(2)若点是的重心，求.
18．（17分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围.
19．（17分）如图，在三棱柱中，，，，．

(1)求证：；
(2)若，求点到平面的距离．
2023~2024学年度第二学期期中考试预测1
高一数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．）
1．已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，所以.
故选：C.
2．如图，四边形中，，则必有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】四边形中，，则且，
所以四边形是平行四边形；
则有，故A错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确；
由图可知，C错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．
故选：B．
3．在中，，，，则角B的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故选：A
4．已知平面向量，，若与共线，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【详解】由题意可得，
因为与共线，所以，解得，故D正确.
故选：D
5．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）

A．B．1C．8D．
【答案】B
【详解】由直观图还原平面图形，中，，，，
所以．
故选：B．
6．如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ）
A．4B．2C．8D．6
【答案】A
【详解】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，
则石磨的侧面积为，解得.
故选：A.
7．如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，
四面体的外接球即为长方体的外接球，
而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为，
故，所以外接球表面积为.
故选：B.
8．如图，一块三角形铁片，已知，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点．过点作一条直线分别交于点，并沿直线裁掉，则剩下的四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，，，，
则，
即，平方得，
当且仅当，即时取得等号，
故，又，
当的面积最小时，剩下的四边形面积的最大为．
故选：A.
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C．若，则的模为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】BD
【详解】对A,由，可得，且，故A错误；
对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确；
对C,若，则的模为，故C错误；
对D,设,若，则，
则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确．
故选：BD．
10．下列关于向量的说法中，正确的是（ ）
A．若向量互为相反向量，则
B．若，则
C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同
D．若与是共线向量，则三点共线
【答案】ACD
【详解】由向量互为相反向量，得的长度相等，即，则A正确；
当时，向量可以不平行，则B错误；
由，得表示向量的有向线段的长度和方向都相同.由两个相等向量的起点相同，得这两个向量的终点一定相同，则C正确；
由，且有公共点，得三点共线，则D正确.
故选：ACD
11．如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为（ ）

A．截面
B．异面直线与所成的角为
C．
D．平面
【答案】AC
【详解】对于选项A:点分别是棱的中点，，
平面，平面，截面，故A正确；
对于选项B: 点分别是棱的中点，，
为异面直线与所成的角，
截面是正方形，，
即异面直线与所成的角为，故B错误；
对于选项C:截面是正方形，，
又点分别是棱的中点，
，，，故C正确；
对于选项D:若要使平面，则需要，，
但由题意知不一定成立，故D错误．
故选：AC.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【详解】由题意知，故，
所以，而，则，
故，
则在方向上的投影向量为，
即在方向上的投影向量的坐标为，
故答案为：
13．在中，已知向量与满足，且，则角 .
【答案】/
【详解】设角的平分线交于，因为，故，即，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
设，（如图所示），，因为，
故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上.
因为，故，故.
综上，为等腰直角三角形且，所以.
故答案为：

14．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 .
【答案】
【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，母线长为，
则球的体积为，所以，
所以圆柱表面积为.
故答案为：.
四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）（1）记是虚数单位，若复数满足，求；
（2）若复数．
①若复数为纯虚数，求实数的值；
②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）① ；② ．
【详解】解：（1）设且，则，
因为，所以，
即，解得或，所以或．
（2）由复数，
①因为复数为纯虚数，所以，解得；
②因为复数在复平面内对应的点在第二象阳，可得，
解得，即，所以实数的取值范围为．
16．（15分）已知，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为，求；
(3)若与垂直，求与的夹角．
【答案】(1)；(2)；(3).
【详解】（1）∵，∴与的夹角为或， ∴=;
（2）；
（3），∴
∴，
，∴
17．（15分）如图，点是中BC边的中点，.
(1)若点是的重心，试用表示;
(2)若点是的重心，求.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为点是中BC边的中点，点是的重心，
所以.
（2）因为点是的重心且是BC边的中点，所以，
又，所以，
所以.
18．（17分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）在中，由已知结合正弦定理角化边可得，
整理可得，所以.
又，所以.
（2）由（1）知，
所以，，
记的周长为，则，
由，，得，
所以.
又，所以，则，故
19．（17分）如图，在三棱柱中，，，，．

(1)求证：；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)2
【详解】（1）如图，取的中点，连接，
，．

，，，
，
又，，
，
连接，则．
，平面，平面，
平面．
平面．
（2）如图，过点作的平行线，与过点的的平行线交于点，

，，
四边形为正方形且边长为2． ，．
连接，，，
平面，平面，平面，
又，，,
平面,则平面，
平面，平面，
，，又，
平面，平面，平面．
平面，，
，，． 故点到平面的距离为2.