2023-2024学年高一数学下学期期中模拟卷（新题型）（人教A版2019必修第二册）

这是一份2023-2024学年高一数学下学期期中模拟卷（新题型）（人教A版2019必修第二册），共14页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（23-24高一下·浙江·月考）若复数对应的点在第四象限，则m的值为（ ）
A．B．0C．1D．
2．（22-23高一下·甘肃白银·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A．B．2C．D．
3．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知向量满足，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
4．（22-23高一下·福建厦门·期中）设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一下·浙江·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
7．（22-23高一下·江苏淮安·月考）在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
8．（23-24高一下·广东珠海·月考）在锐角中，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·山东泰安·月考）已知复数，下列结论正确的有（ ）
A．B．若，则
C．D．若，则
10．（22-23高一下·河南洛阳·月考）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（ ）

A．B．
C．平面D．平面平面
11．（23-24高一下·重庆巴南·月考）中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形．
B．若，则点的轨迹一定通过的内心．
C．若为重心，则
D．若点满足，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的体积为 .
13．（23-24高一下·宁夏银川·月考）钟楼是银川二中校园的一大特色建筑，每逢新年，悠扬深远的钟声都会为大家祈福．小蓝为了测量钟楼的高度AB，采取了以下方法：在校园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退36.8米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为米，则钟楼高度AB约为 米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）．
14．（23-24高一下·福建泉州·月考）如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知复数，．
（1）当m取何值时，z为纯虚数？
（2）当时，求的值．
16．（15分）（22-23高一下·陕西榆林·期中）已知向量.
（1）求；
（2）设的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值.
17．（15分）（22-23高一下·湖南·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，.
（1）求的大小；
（2）若，，求BC的长.
18．（17分）（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点.
（1）求证：B，C，H，G四点共面；
（2）求证：平面；
（3）若底面边长为2，，求三棱锥的体积.
19．（17分）（23-24高一下·广东韶关·月考）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·浙江·月考）若复数对应的点在第四象限，则m的值为（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】B
【解析】由可得，又m为整数，所以.故选：B.
2．（22-23高一下·甘肃白银·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】在直角梯形中，，，
则，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
，
所以该平面图形的高为.故选：C.
3．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知向量满足，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
故.故选：B
4．（22-23高一下·福建厦门·期中）设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【解析】对于A，若相交，令，
当，且时，满足，，显然不平行，A错误；
对于B，，则存在直线，使得，而，则，因此，B正确；
对于C，若，令，当且时，满足，而与不平行，C错误；
对于D，若，令，当，时，有，
此时或，与不垂直，D错误．故选：B
5．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，且，，三点共线，
所以存在实数，使得，即，
则，解得.故选：B
6．（23-24高一下·浙江·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【解析】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；
对于B，根据正弦定理得，，
又，，B有两解，故B符合题意；
对于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合题意.
对于D，根据正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合题意.故选：B
7．（22-23高一下·江苏淮安·月考）在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接，
因为//，且，则为平行四边形，可得//，
又因为分别为的中点，则//，所以//，
故异面直线DE与AC所成角为（或的补角），
设正方体的棱长为2，则，
在中，由余弦定理，
所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是.故选：D.
8．（23-24高一下·广东珠海·月考）在锐角中，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，
在中，由余弦定理，得，
当且仅当，即时，等号成立，则；
当时，不妨设，则，，
所以，即，所以，
因为锐角中，，则，故，而，
则，所以；
综上，.故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·山东泰安·月考）已知复数，下列结论正确的有（ ）
A．B．若，则
C．D．若，则
【答案】ACD
【解析】设，
对于A，，，故选项A正确；
对于B，因为，
则，则或，
所以中至少有一个0，即或，故选项B不正确；
对于C，由复数模的运算性质可知，
，=，
所以，故选项C正确；
对于D，当，则，
可得，解得，即，所以，故选项D正确.故选：ACD.
10．（22-23高一下·河南洛阳·月考）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（ ）

A．B．
C．平面D．平面平面
【答案】BD
【解析】因为平面，平面，所以，，
因为点是以为直径的圆上且异于、的任一点，，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，平面平面，B对D对；
因为平面，平面，则，则为锐角，
即与不垂直，故与平面不垂直，C错；
若，又因为，，、平面，
所以，平面，与C选项矛盾，A错.故选：BD.
11．（23-24高一下·重庆巴南·月考）中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形．
B．若，则点的轨迹一定通过的内心．
C．若为重心，则
D．若点满足，则
【答案】BCD
【解析】选项A：若，则，因此角为锐角，
但不一定为锐角三角形，故A错误；
选项B：因为分别表示方向上的单位向量，
所以的方向与的角平分线一致．
若，则的方向与的角平分线一致，
所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；
选项C：若为的重心，设边的中点为，
则，故C正确；

选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心，
于是有．又，
则
，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的体积为 .
【答案】
【解析】设上底面半径为，则下底面半径为，高为，
因为母线长为10，所以，解得，
所以下底面半径为，高，
则体积.
13．（23-24高一下·宁夏银川·月考）钟楼是银川二中校园的一大特色建筑，每逢新年，悠扬深远的钟声都会为大家祈福．小蓝为了测量钟楼的高度AB，采取了以下方法：在校园内D点处测得塔顶A点处的仰角为45°，后退36.8米后，在F点处测得塔顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为米，则钟楼高度AB约为 米．（结果保留小数点后一位，参考数据：）．
【答案】
【解析】由已知得，
因为所以，即，解得，
所以钟楼高度AB约为米.
14．（23-24高一下·福建泉州·月考）如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则 ．
【答案】
【解析】因为 三点共线，且，点是边的中点，
所以存在实数x满足，
又因为三点共线，所以，
所以，而，
且，
所以
.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知复数，．
（1）当m取何值时，z为纯虚数？
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若为纯虚数，则，解得.
（2）当时，，所以，
所以.
16．（15分）（22-23高一下·陕西榆林·期中）已知向量.
（1）求；
（2）设的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因为，所以；
（2）的夹角为，则；
（3）因为，所以，，
由向量与互相垂直得，，
所以，化简得，解得.
17．（15分）（22-23高一下·湖南·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，.
（1）求的大小；
（2）若，，求BC的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理以及已知可得，，
整理可得，.
由余弦定理可得，.
又，所以.
（2）在中，由余弦定理可得，.
在中，由余弦定理可得，.
又，所以，
即，整理可得.
因为，
在中，由余弦定理可得，，
即，
整理可得，.
联立可得.所以，.
18．（17分）（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点.
（1）求证：B，C，H，G四点共面；
（2）求证：平面；
（3）若底面边长为2，，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）∵G，H分别是，的中点，
∴GH是的中位线，∴，
又在三棱柱中， ，
∴，∴B，C，H，G四点共面．
（2）∵在三棱柱中，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面
（3）由题意，知 ．
19．（17分）（23-24高一下·广东韶关·月考）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）根据题意，结合维向量的定义，
则两两垂直的4维信号向量可以为：.
（2）假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，
任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，
因为，所以有7个分量为，
设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14个两两垂直的14维信号向量.
（3）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到，
则，设的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为，
所以，
令所以，所以.