2023-2024学年高一数学下学期期中押题试卷02（新高考专用）

这是一份2023-2024学年高一数学下学期期中押题试卷02（新高考专用），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：平面向量、解三角形、复数、立体几何
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则
A．B．C．3D．
2．在直角三角形中，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
3．在三角形中，，，，则
A．10B．12C．D．
4．已知向量，，则
A．B．C．D．
5．在中，若，则
A．B．C．D．
6．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体体积是 （不计氟原子的大小）
A．B．C．D．
7．如图，在四面体中，平面，，，则此四面体的外接球表面积为
A．B．C．D．
8．在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为
A．1B．C．D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．给出下列命题，其中正确的选项有
A．已知，，则
B．若非零向量满足，则
C．若是的重心，则点满足条件
D．若是等边三角形，则
10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为2
B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C．z的共轭复数
D．
11．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． ．
13．已知点、、三点共线，则实数的值是 ．
14．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，则 ，若，则外接圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知不共线的两个平面向量，满足，．
（1）若与的夹角，求的值；
（2）若，求实数的值．
16．在中，、、所对的边分别为、、，，．
（1）求的值；
（2）若，求．
17．如图，在正方体中，是的中点，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求：棱锥体积．
18．已知的内角，，所对的边分别为，，，且向量与平行．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
19．如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过，，三点的平面交于．
（1）证明：是的中点；
（2）证明：平面；
（3）是上一点，已知二面角为，求的值．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则
A．B．C．3D．
【分析】以为原点建立如图所示平面直角坐标系，求出对应的坐标，再结合平面向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：如图，以为原点建立如图所示平面直角坐标系，
网格中每个小正方形的边长均为1，
则，，，，
故，，
故，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查向量的模，属于基础题．
2．在直角三角形中，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
【分析】画出图形，判断即可．
【解答】解：如图：在直角三角形中，，则向量在向量上的投影向量为．
故选：．
【点评】本题考查向量的投影向量的求法，考查数形结合的应用，是基础题．
3．在三角形中，，，，则
A．10B．12C．D．
【分析】根据向量的数量积公式求得结果．
【解答】解：在三角形中，，，，
记，
则，，
，
，
即．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量数量积公式，属基础题．
4．已知向量，，则
A．B．C．D．
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解作答．
【解答】解：因为向量，，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
5．在中，若，则
A．B．C．D．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：在中，若，
利用正弦定理：；
由于、，
所以，
解得．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体体积是 （不计氟原子的大小）
A．B．C．D．
【分析】六氟化硫的分子是一个正八面体结构，这个正八面体结构是两个正四棱锥组合而成，求解正四棱锥的体积，即可得到结果．
【解答】解：六氟化硫的分子是一个正八面体结构，这个正八面体结构是两个正四棱锥组合而成，
棱锥的高为：，
正四棱锥的体积为：，
六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体体积是：．
故选：．
【点评】本题考查棱锥的体积的求法，多面体的体积的求法，是基础题．
7．如图，在四面体中，平面，，，则此四面体的外接球表面积为
A．B．C．D．
【分析】根据题意将三棱锥还原到长方体中，求出长方体的体对角线的长，即可得外接球的直径，从而可求出其表面积．
【解答】解：将四面体补形成长方体，长、宽、高分别为2，1，2，
外接球直径等于体对角线长，故，
所以外接球表面积为．
故选：．
【点评】本题考查了四面体外接球的表面积计算，属于基础题．
8．在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为
A．1B．C．D．2
【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解．
【解答】解：由余弦定理得，
即，即，
所以，
，当且仅当时等号成立．
因为，
所以，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．给出下列命题，其中正确的选项有
A．已知，，则
B．若非零向量满足，则
C．若是的重心，则点满足条件
D．若是等边三角形，则
【分析】由平面向量的坐标运算，结合平面向量的夹角的运算及平面向量的模的运算逐一判断即可得解．
【解答】解：对于选项，已知，，
则，
即选项错误；
对于选项，已知非零向量满足，
则，
即，
则，
即选项正确；
对于选项，已知是的重心，
设为的中点，
则，
则，
即选项正确；
对于选项，
已知是等边三角形，
则，
即选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，重点考查了平面向量的夹角的运算，属基础题．
10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为2
B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C．z的共轭复数
D．
【答案】AD
【分析】先求出复数z的代数形式，然后再利用复数的概念和几何意义逐一判断即可.
【详解】，
则的虚部为2，A正确；
复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；
z的共轭复数，C错误；
，D正确.
故选：AD.
11．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则
A．B．C．D．
【分析】利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解．
【解答】解：，
整理可得：，
可得，
为三角形内角，，
，故正确；
，，
，
，解得，
由余弦定理得，
，
解得，故错误，正确．
故选：．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，由即求解．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
13．已知点、、三点共线，则实数的值是 1 ．
【分析】利用坐标表示向量、，根据、、三点共线得，
列方程求出的值．
【解答】解：由点、、，
则，；
又、、三点共线，则，
所以，
解得，
所以实数的值是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．
14．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，则 ，若，则外接圆的半径为 ．
【分析】直接利用余弦定理和正弦定理求出结果．
【解答】解：在中，角，，所对的边分别为，，．已知，
故，
由于，
故；
利用正弦定理：，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知不共线的两个平面向量，满足，．
（1）若与的夹角，求的值；
（2）若，求实数的值．
【分析】（1）利用向量模的运算及数量积的运算律求解即可；
（2）利用向量垂直的运算及向量模的公式列式计算即可．
【解答】解：（1）
，
所以．
（2）因为，所以，
即，因为，，所以，解得．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
16．在中，、、所对的边分别为、、，，．
（1）求的值；
（2）若，求．
【分析】（1）由正弦定理可得，又由，代入即可求出；
（2）首先得到，再由余弦定理，可得边．
【解答】解：（1）因为，，
所以由正弦定理得；
（2）因为，，
所以，
由余弦定理，可得，
解得或（舍．
【点评】本题主要考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
17．如图，在正方体中，是的中点，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求：棱锥体积．
【分析】（1）分析图中的几何关系，是中位线，所以平行于，所以平行于平面；
（2）取的中点，连接，则平面，所以是底面的高，从而可以求得体积．
【解答】（1）证明：如图所示，连接，
则是△底边上的中位线，
，
平面，平面，平面；
（2）解：取的中点，连接，则是的中位线，，
并且，平面，
三棱锥也可以看作三棱锥，是底面，是高，
取的中点，连接，则是底边上的中位线，
，，，
；
综上：三棱锥的体积为．
【点评】本题考查了线面平行的证明以及三棱锥体积的计算，属于基础题．
18．已知的内角，，所对的边分别为，，，且向量与平行．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得，在根据正弦定理进行边角互化即可求得角；
（2）根据余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：，所以，
由正弦定理得：，
又因为，则有，
又，所以．
（2）由余弦定理得：，
又，，，
所以，解得，
则的面积．
【点评】本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19．如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过，，三点的平面交于．
（1）证明：是的中点；
（2）证明：平面；
（3）是上一点，已知二面角为，求的值．
【分析】（1）在图①中过作，证明，结合是的中点，推出是的中点．
（2）证明，推出，得到平面，推出，，即可证明平面，得到，推出然后证明平面．
（3）过作，过作，连结，说明为二面角的平面角，设，然后转化求解即可．
【解答】证明：（1）在图①中过作，
则，，
又，，，，且，，
又，，平面，
又平面平面，，，
又是的中点，是的中点．
（2）在直角梯形中，，
，．
又，，，，①
又平面平面，，平面，，②
由①②得平面，，③
，，，，④
由③④可得平面，，⑤
又，，平面，，⑥
由⑤⑥可得平面．
（3）过作，则平面，
过作，连结，
则为二面角的平面角，，
设，，
又，，，，
由得，
，
．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法与应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，中档题．