-2023-2024学年高一下学期数学期中模拟试卷03（人教A版2019必修二）

这是一份-2023-2024学年高一下学期数学期中模拟试卷03（人教A版2019必修二），共18页。试卷主要包含了函数的最小正周期是，若，则，已知，是虚数单位，若，则，已知，，，且，则实数，下面说法正确的是，已知复数等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点
A．向右平移3个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移3个单位长度D．向左平移个单位长度
2．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
5．已知，是虚数单位，若，则
A．1或B．或C．D．
6．已知，，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
7．平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
8．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．下面说法正确的是（ ）
A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形
C．棱台的侧面都是梯形D．长方体、正方体都是正四棱柱
10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为2
B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C．z的共轭复数
D．
11．下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且 ，则与共线
C．若 ，则存在唯一的实数 使得
D．若 是两个单位向量，且 ，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．向量均为非零向量，，则的夹角为 ．
13．若△ABC中，，那么csC= ．
14．函数的定义域为 ，单调增区间为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．求四面体的体积，其中．
16．在中，．
(1)求B的大小；
(2)延长BC至点M，使得．若，求的大小．
17．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.记梯形的周长为，.

(1)将表示成的函数；
(2)求梯形周长的最大值.
18．中，为边的中点，.
(1)若的面积为，且，求的值；
(2)若，求的取值范围．
19．如图所示，为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动.
(1)求出的值.
(2)求的范围.
(3)若，当最大时，求的值.
参考答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点
A．向右平移3个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移3个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】先化简得，根据函数图像的变换即得解.
【详解】因为，
所以函数图象上的所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象.
故选B
【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦函数的最小正周期求解即可.
【详解】函数的最小正周期是：.
故选：C.
3．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以．
故选：A
5．已知，是虚数单位，若，则
A．1或B．或C．D．
【答案】A
【分析】由复数，则，可得，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，复数，则，
所以，所以，即或，故选A．
【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，以及复数的运算的应用，其中解答中熟记共轭复数的概念，以及复数的乘法运算，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．已知，，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直的条件和向量数量积的坐标表示建立方程，求解即可.
【详解】解：因为，所以，
又，，，所以
，
解得，
故选：A.
7．平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算可得，，组成方程组即可求解．
【详解】点为线段的中点，
，
即①，
，
，
即②，
由①②得，，
故选：A．
8．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取的中点，根据题意，可得为的重心，则在上，又，可得，所以，，，四点共线，根据三角形的性质，设，即可求得答案.
【详解】取的中点，连接，则，
由，知为的重心，则在上，
所以，而，
所以，，，四点共线，所以，即，
不妨令，则，，则，
所以．

故选：D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．下面说法正确的是（ ）
A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形
C．棱台的侧面都是梯形D．长方体、正方体都是正四棱柱
【答案】ABC
【分析】对于A：由多面体的定义即可判断；对于B：由平行六面体的定义即可判断；对于C：由棱台的定义即可判断；对于D：举反例：底面不是正方形的长方体可以否定命题.
【详解】对于A：最简单的多面体是三棱锥，有4个面，所以多面体的面数大于等于4，所以“多面体至少有四个面”正确.故A正确；
对于B：由平行六面体的定义可知：平行六面体六个面都是平行四边形.故B正确；
对于C：由棱台的定义可知：棱台的侧面都是梯形.故C正确；
对于D：按照正四棱柱的定义，底面必须是正方形，所以底面不是正方形的长方体就不是正四棱柱.故D错误.
故选：ABC
10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为2
B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C．z的共轭复数
D．
【答案】AD
【分析】先求出复数z的代数形式，然后再利用复数的概念和几何意义逐一判断即可.
【详解】，
则的虚部为2，A正确；
复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；
z的共轭复数，C错误；
，D正确.
故选：AD.
11．下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且 ，则与共线
C．若 ，则存在唯一的实数 使得
D．若 是两个单位向量，且 ，则
【答案】ACD
【分析】利用零向量与任意向量平行可判定A，利用共线向量的定义可判定B，利用共线向量的充要条件可判定C，利用平面向量的数量积与模长关系可判定D.
【详解】对A，若为零向量时，与的方向不确定，故A错误；
对B，分别表示，方向上的单位向量，根据题意可知B正确；
对C，若为零向量，不为零向量时，不存在实数 使得 ，故C错误；
对D，由，
所以，故D错误.
故选：ACD
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．向量均为非零向量，，则的夹角为 ．
【答案】/60°
【分析】根据，得到,再利用夹角公式求解.
【详解】.因为，
所以，
即,
所以,
因为,
所以，
故答案为：
13．若△ABC中，，那么csC= ．
【答案】-0.25.
【详解】试题分析：由正弦定理得，
所以.
故答案为-0.25.
考点：正弦定理；余弦定理.
14．函数的定义域为 ，单调增区间为 ．
【答案】
【分析】根据正切函数的图像和性质即可求解.
【详解】由，解得，
所以的定义域为，
由解得，
所以的单调增区间为，
故答案为：，
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．求四面体的体积，其中．
【答案】
【分析】首先根据余弦定理求出，进一步根据许崇宁体积公式即可求解.
【详解】，，

因为，
所以，
由许崇宁体积公式得：
．
16．在中，．
(1)求B的大小；
(2)延长BC至点M，使得．若，求的大小．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）由，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得，可得B的大小；
（2）设，，在和中，由正弦定理表示边角关系，化简求的大小.
【详解】（1）在中，，所以．
因为，所以，
即
化简得．
因为，所以，．
因为，所以．
（2）法1：设，，则．
由（1）知，又，所以在中，．
在中，由正弦定理得，即①．
在中，由正弦定理得，即②．
①÷②，得，即，所以．
因为，，所以或，故或．
法2：设，则，．
因为，所以，因此，
所以，．
在中，由正弦定理得，即，
化简得．
因为，所以或，，
故或．
17．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.记梯形的周长为，.

(1)将表示成的函数；
(2)求梯形周长的最大值.
【答案】(1)；
(2)10.
【分析】（1）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形边角关系求解即得.
（2）利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值.
【详解】（1）由是半圆的直径，得，则，
过作交于，连接，则，

因此，
所以.
（2）由（1）知，
设，则，显然当时，有最大值10，
所以梯形周长的最大值是10.
18．中，为边的中点，.
(1)若的面积为，且，求的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用面积公式求出，在中由余弦定理求出，再由正弦定理求出；
（2）设，，分别利用余弦定理表示出、，从而得到，再由余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为为边的中点，所以，
又，即，解得，
在中由余弦定理，
即，所以，
在中由正弦定理，即，解得.
（2）设，，
在中由余弦定理，
即，
在中由余弦定理，
即，
在中由余弦定理，
因为，所以，则，
所以，
所以，
所以，即.
19．如图所示，为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动.
(1)求出的值.
(2)求的范围.
(3)若，当最大时，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示，依题意点在圆上，设，即可表示，，，根据平面向量模的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）由（1）知，根据正弦函数的性质计算可得；
（3）根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再根据同角三角函数的基本关系，得到，又，两边同除，令，，将原式化为，再根据求出的取值范围，即可得解；
【详解】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示．
由正弦定理得外接圆半径，则，进而可得，．
因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，故设，
则，，，
所以
．
（2）由（1）知，
又因为，所以，
即.
（3）因为
，
所以，
代入整理得，，
显然，两边同时除以，
得，
令，，则，
即，
所以，即，
解得，所以（即）的最大值为．
此时，所以，
所以，，所以.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，将问题转化为三角函数及不等式问题.