高一下学期数学期中模拟卷（二）（人教A版2019必修第二册）

这是一份高一下学期数学期中模拟卷（二）（人教A版2019必修第二册），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
2．若是第四象限角，则复数在复平面内所对应的点在第几象限（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若三点共线，则（ ）
A．B．5C．0或D．0或5
4．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为
A．B．C．D．
6．已知中，，，点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为（ ）
A．27B．0C．D．
7．已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．中，分别是角的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．直角或钝角三角形D．锐角三角形
二、多选题
9．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则t的值为-2
B．的最小值为1
C．若，则t的值为2
D．若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是
10．设，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，∥，∥，则∥
B．若上有两点到的距离相等，则∥
C．，，两两相交于三条直线，，，若∥，则∥
D．与互为异面直线，∥，∥，∥，∥，则∥
11．下列选项中哪些是正确的（ ）
A．（为虚数单位）
B．用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台
C．在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形
D．当时，向量，的夹角为钝角
12．设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
三、填空题
13．设，则 .
14．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的侧棱长为，正六棱柱的高为2，则此组合体的体积为 .
15．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于 ．
16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 .
四、解答题
17．已知，为虚数单位，复数.
(1)若，求m的值；
(2)若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围.
18．已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．

(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
19．如图所示，三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，求.

20．如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若且，求边长c的取值范围．
22．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.

(1)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？
(2)点B在什么位置时，线段的长度最大？
参考答案
高一期中模拟卷（二）
一、单选题
1．下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【答案】B
【详解】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确；
对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误；
对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；
对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确．
故选：B．
2．若是第四象限角，则复数在复平面内所对应的点在第几象限（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】因为是第四象限角，所以，
所以复数在复平面内所对应的点在第二象限.
故选：B
3．若三点共线，则（ ）
A．B．5C．0或D．0或5
【答案】D
【详解】因为，
若三点共线，则，
所以，
解得或5．
故选：D.
4．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意在上的投影向量为
.
故选：A.
5．如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如下图，∵三点共线，∴，∴，即,
∴①,又∵，∴，∴②，
对比①，②，由平面向量基本定理可得：．
6．已知中，，，点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为（ ）
A．27B．0C．D．
【答案】D
【详解】解：以 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示 ，

由题意可知， ， ， ，
设 ，其中 ，则 ， ，
故 ，
所以当 时， 有最小值 .
故选：D.
7．已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，
所以圆锥的底面半径为，
所以圆锥的表面积为.
故选：B
8．中，分别是角的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．直角或钝角三角形D．锐角三角形
【答案】B
【详解】由得，
即，
因为，所以，则，
，
，
，
，
又，所以，，所以角为钝角，为钝角三角形.
故选：B.
二、多选题
9．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则t的值为-2
B．的最小值为1
C．若，则t的值为2
D．若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是
【答案】BC
【详解】A选项：若，则，解得：，故A错；
B选项：，所以，当t=-1时，取得最小值为1，故B正确；
C选项：，
若，即，解得：，故C正确；
D选项：若与的夹角为钝角，则且，，所以，且，解得：且，故D错误．
故选：BC
10．设，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，∥，∥，则∥
B．若上有两点到的距离相等，则∥
C．，，两两相交于三条直线，，，若∥，则∥
D．与互为异面直线，∥，∥，∥，∥，则∥
【答案】CD
【详解】若，，∥，∥，当m与n相交时，有∥，否则，∥不一定平行，故A错误；
若上有两点到的距离相等，与可能平行，也可能相交，故B错误；
，，两两相交于三条直线，，，不妨设，
易知，否则，，交于同一条直线，不满足题意，
因为，则，
又，则，故 C 正确；
因为与互为异面直线，∥，∥，
则内存在，且直线、会相交，
因为，则易得，所以，故D正确．
故选： CD .
11．下列选项中哪些是正确的（ ）
A．（为虚数单位）
B．用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台
C．在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形
D．当时，向量，的夹角为钝角
【答案】AC
【详解】对于A，由，，，，，
则，
所以，
故A正确；
对于B，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故B错误；
对于C，由，则根据正弦定理得，
所以，即，即，
由，则为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故C正确；
对于D，由，则，
所以向量，的夹角为钝角或平角，故D错误．
故选：AC．
12．设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
【答案】ACD
【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，
又∵，∴，∴，
∴为的重心，故选项A正确；
对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，
则，，
∵，∴，
∴，∴，，∴，，
∴，分别是，边上的垂直平分线，
∴，为的外心，故选项B错误；
对于C，作角的内角平分线与边交于点，
∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，
∴（），∴（），
∴，∴，∴，为等腰三角形，
又∵，且，∴，
∴为等边三角形，故选项C正确；
对于D，设，，由得，
则由选项A可知，为的重心，设的面积，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
∴，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．设，则 .
【答案】/
【详解】设，则，
所以，，，
所以，，
则，解得，因此，.
故答案为：.
14．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的侧棱长为，正六棱柱的高为2，则此组合体的体积为 .
【答案】
【详解】由正六棱柱的高为2知底面正六边形的边长为1，又正六棱锥的侧棱长为，所以正六棱锥的高为，所以底面正六边形的面积为，此组合体的体积为．
故答案为：．
15．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于 ．
【答案】解析：在△ABC中，AB=AC=2，BC=中，，而∠ADC=45°，,,答案应填．
【详解】试题分析：取BC的中点M，则AM=1,所以在中，.
16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 .
【答案】
【详解】过作，交于，则，
由于，所以，
设，则，，
设，则,
则，
由于，所以在三角形中，
由余弦定理得，
所以，，
在三角形中，由正弦定理得：
，，
所以.
，
在三角形中，由正弦定理得：
，，
所以.
所以.
故答案为：
四、解答题
17．已知，为虚数单位，复数.
(1)若，求m的值；
(2)若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由题意得：，解得：或1，
经检验，均满足题意，故m的值为或 .
（2）由题意得：，
得，解得：，
故m的取值范围是.
18．已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．

(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在平行四边形中，，，，
所以，
因为点是线段的中点，
所以，
则，
故的值为.
（2）由（1）知：，，
则，，
又因为，
则，
即，
即，解得：，
故的值为.
19．如图所示，三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，求.

【答案】
【详解】设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，
则.
因为、分别为、的中点，
所以，
，
，故
20．如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），
，，因此，；
（2）设，
再设，则，即，
所以，，解得，所以，
因此，.
21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若且，求边长c的取值范围．
【答案】(1)
(2)(1,2)
【详解】（1）由余弦定理及得，
所以，因为，所以；
（2）∵,
∴,
∵，∴，
∴,
∴边长的取值范围是(1,2).
22．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.

(1)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？
(2)点B在什么位置时，线段的长度最大？
【答案】(1)点满足
(2)点满足
【详解】（1）解：设,中，
由余弦定理得：
四边形OACB的面积
，
，所以当四边形OACB的面积.
（2）（2）中，由正弦定理得：
所以
不是中的最大角，，
中：
由余弦定理得：
，
时，所以当,OC有最大值.