安徽省皖北名校2023-2024学年高一下学期4月阶段性联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省皖北名校2023-2024学年高一下学期4月阶段性联考数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了已知函数，则下列结论正确的是，已知，是方程的两个解，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号，座位号填写在答题纸上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示的几何体是数学奥林匹克竞赛的奖杯，则该几何体由（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数图像的最高点，Q是的图像与x轴的交点，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为B．在上为增函数
C．是偶函数D．的图像关于点对称
5．已知，是两个不共线的向量，若向量与共线，则t的值为（ ）
A．B．C．－2D．2
6．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图①．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图②，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ）
A．B．C．1sD．
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则ab的值为（ ）
A．B．C．D．3
8．已知，是方程的两个解，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若a，，则的充要条件是
D．的充要条件是
10．已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．B．是周期函数
C．为偶函数D．为奇函数
11．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（ ）
A．B．的最大值为
C．最大值为9D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则z的共轭复数为______．
13．当时，的最小值为______．
14．17世纪德国著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（JhannesKepler）曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图，在其中一个黄金三角形ABC中，，根据这些信息，可得______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1）已知，求的值；
（2）求值：．
16．（15分）
已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）求图像的对称中心的坐标；
（3）若，，求的值．
17．（15分）
某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且要求奖金不低于7万元，不超过年产值的15%．
（1）若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？
（2）若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定满足题目所述原则的最小正整数a．
18．（17分）
已知集合，．
（1）求；
（2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围．
19．（17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，且点P为的费马点，求；
（3）设点P为的费马点，，求t的最小值．
参考答案及解析
一、选择题
1．C 【解析】由题意得，解得，故的定义域为．故选C项．
2．B 【解析】由图可知，该几何体由一个球、一个长方体、一个棱台构成，故选B项．
3．B 【解析】由题意及图可知，，所以．故选B项．
4．D 【解析】对于A项，由于，，，故A项错误；对于B项，当时，，则在区间上单调递减，故B项错误；对于C项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C项错误；对于D项，，所以的图像关于点对称，故D项正确，故选D项．
5．C 【解析】由题知向量，不共线，则，由与共线，得，，所以，则且，解得，，所以t的值为－2．故选C项．
6．D 【解析】由题意得，，所以函数的周期为，，可得，令，解得，，故总时间为，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为．故选D项．
7．C 【解析】因为，，，所以，，R为外接圆的半径，所以．故选C项．
8．B 【解析】设，，分别作出两个函数的图像，如图所示：
不妨设，则由图像知，，则，，两式相减得，因为为减函数，所以，即，则．因为，所以，可得，，则，即，因为，所以．故选B项．
二、选择题
9．BD 【解析】由，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A项错误．
若，当时，，当时，，故充分性不成立；若，则，故必要性成立．所以“”是“”的必要不充分条件，故B项正确．当，时，，，所以成立；当，时，，，所以成立；当时，也成立．所以的充分不必要条件是，故C项错误．等价于，即，所以，故的充要条件是，故D项正确．故选BD项．
10．BC 【解析】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，即，又是定义在上的奇函数，所以，，于是，即，所以是以4为一个周期的周期函数，故A项错误，B项正确；设，则，即，所以为偶函数，故C项正确；设，则，即，所以为偶函数，故D项错误，故选BC项．
11．ACD 【解析】因为，AD的中点为O，所以，则，故A项正确；，，则，故D项正确；如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，
则，，，因为点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，且在x轴的下半部分，所以设，，则，，，所以，因为，所以，所以当时，取得最大值9，故C项正确；因为，所以，即，所以，所以，因为，所以当时，取得最大值，故B项错误．故选ACD项．
三、填空题
12． 【解析】由题意得，所以z的共轭复数为．
13． 【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．
14． 【解析】在等腰三角形ABC中，，则，由正弦定理得，所以，所以．
四、解答题
15．解：（1）由，得，所以，
因为，所以．
（2）
．
16．解：（1），
令，可得，
所以的单调递减区间为，．
（2）由（1）知，
令，，解得，，
所以图像的对称中心的坐标为，．
（3）由，得，则，
因为，所以，所以，
所以．
17．解：（1）当时，．
因为，所以，符合要求，
故该企业可获得10.5万元奖金．
（2），
因为a为正整数，所以在上单调递增，
由题意知对时恒成立，解得．
又，即，
在恒成立，即，
所以正整数．综上，，，
故最小正整数a的值为158．
18．解：（1）因为．
由，得，所以，
即，解得，所以，
所以．
（2）当时，因为单调递减，
所以，
因为对任意的，恒成立，
所以当时，则，即，
因为，所以解得；
当时．则，即，
因为，所以解得．
综上a的取值意围是．
19．解：（1）在中，，
可得，
故，由正弦定理可得，
故为直角三角形，即．
（2）由（1）知，所以的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知．
设，，，由，
整理得，整理得，
则．
（3）因为点P为的费马点，所以，
设，，，，，，
则由，得．
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
，又，，所以，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，所以，解得或（舍去），
故t的最小值为．