广东省湛江市2024届高三下学期4月二模考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省湛江市2024届高三下学期4月二模考试数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了函数在上的值域为，已知，则，已知函数，，则，50万等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在木试卷上无效。
3，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容；高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台（设上、下底面的半径分别为a厘米，b厘米，高为c厘米），则该青铜器的容积约为（取）（ ）
A.立方厘米B.立方厘米
C.立方厘米D.立方厘米
3.函数在上的值域为（ ）
A.B.C.D.
4.若复数的实部为4，则点的轨迹是（ ）
A.直径为2的圆B.实轴长为2的双曲线
C.直径为1的圆D.虚轴长为2的双曲线
5.已知，则（ ）
A.-2B.-19C.15D.17
6.当，时，，这个基本不等式可以推广为当时，，其中且，.考虑取等号的条件，进而可得当时，.用这个式子估计可以这样操作：，则.用这样的方；法，可得的近似值为（ ）
7.已知函数，，则（ ）
A.当有2个零点时，只有1个零点
B.当有3个零点时，有2个零点
C.当有2个零点时，有2个零点
D.当有2个零点时，有4个零点
8.在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，与底面所成的角分别为，，且，则（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（ ）
A.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万
10.已知函数的定义域为，不恒为零，且，则（ ）
A.B.为偶函数
C.在处取得极小值D.若，则
11.下列命题为真命题的是（ ）
A.的最小值是2
B.的最小值是
C.的最小值是
D.的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若向量，，，则____________，___________，（本题第一空3分，第二空2分）
13.财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为，在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度___________米.
14.已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
甲、乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为，且每局的胜负相互独立.
（1）求该比赛三局定胜负的概率；
（2）在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为X，求X的分布列与数学期望
16.（15分）
如图，在直三棱柱中，，，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.
17.（15分）
在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，.
（1）计算；
（2）设数列满足，，求的通项公式；
（3）设排列满足，，，求.
18.（17分）
双曲线：上一点到左、右焦点的距离之差为6.
（1）求的方程.
（2）已知，，过点（5，0）的直线与交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，试问点P到直线的距离是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19.（17分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，且，证明：.
2024年湛江市普通高考第二次模拟测试
数学参考答案
1.D【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.
2.C【解析】本题考查中国古代数学文化与圆台的体积，考查应用意识.
该青铜器的容积约为立方厘米.
3.B【解析】本题考查三角函数的值域，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
因为，所以，所以，故在上的值域为.
4.A【解析】本题考查复数的运算与圆的方程，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，即，所以点的轨迹是直径为2的圆.
5.D【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
令，得.因为，所以.
6.C【解析】本题考查基本不等式的推广，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
，则.
7.D【解析】本题考查函数的零点，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
作出，的大致图象，如图所示.由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；当有3个零点时，只有1个零点；当有2个零点时，有4个零点.
8.B【解析】本题考查线面角与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算的核心素养.
设，，因为，所以，所以，.因为，所以，解得（负根已舍去）.
9.ACD【解析】本题考查统计，考查数据处理能力.
由图可知，B错误.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，则极差为736-698.12≈38万，6×0.6=3.6，所以第60百分位数为730.50万，中位数为万，A，C，D均正确.
10.ABD【解析】本题考查抽象函数，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.
令，得，解得或，当时，令，则，则，这与不恒为零矛盾，所以，A正确.
令，则，即，为偶函数，B正确.
取，满足题意，此时不是的极小值点，C错误.
令，得，若，则，则，则，D正确.
11.BC【解析】本题考查抛物线定义的应用，考查逻辑推理、直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.
设，，，，易知点P的轨迹是抛物线的上半部分，抛物线的准线为直线，到准线的距离，为抛物线的焦点：
所以
，
所以的最小值为，A错误，B正确.
，
所以的最小值是，C正确，D错误.
12.9；-4【解析】本题考查平面向量的共线问题与对数的运算，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，解得，所以.
13.204【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象与数学运算的核心素养.
设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，则米.因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以米.由余弦定理，得，即，解得.
4. 【解析】本题考查椭圆的定义与几何性质，考查逻辑推理的核心素养.
因为，所以，
则，所以，
则，又，所以C的离心率的取值范围是.
15.解：（1）该比赛三局定胜负意味着甲、乙两人前面三局有一人连赢，
则该比赛三局定胜负的概率为.
（2）的可能取值为2，3，4，
，
,
,
则的分布列为
故.
16.（1）证明：连接交于点E，
则E为的中点，
因为D为的中点，所以，
又平面，在平面，
所以平面.
（2）解：因为，为的中点，所以，
且.
因为以为直径的球的表面积为，
所以，
解得.
以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，，，
则
令，得.
设平面的法向量为，，
则
令，得.
因为，
且由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17.解：（1）在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，
所以.
（2）由（1）中的方法，同理可得，
所以，设，
得，所以，解得，则.
因为，所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，
所以，则.
（3）因为，
所以，
所以（或），
所以.
18.解：（1）依题意可得
解得，，
故的方程为.
（2）由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为，
设，，
联立得，
则，，.
直线：，直线：，
联立与，
消去得
，
解得，所以点在定直线上.
因为直线与直线之间的距离为，
所以点P到直线的距离为定值，且定值为.
19.（1）解：由，得，
则，.
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）证明：由，，且，不妨设，，，
则证明等价于证明，，
即证.
令，则，
当时，，单调递减，
故，，
即，，
则
.
要证，
只需证.
令，则.
令，得.
令，，则
令，，
则在上恒成立，
则，则在上恒成立，则单调递增.
当时，，则，则，单调递减，
当时，，则，则，单调递增.
因为，所以，即在上恒成立，从而.2
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