四川省巴中市平昌中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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总分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 单位向量都相等B. 若，则
C. 零向量没有方向D. 模为0的向量与任意非零向量共线
【答案】D
【解析】
【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】对于A，单位向量的方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
对于B，取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误．
对于C，零向量有方向，其方向任意，故C错误；
对于D，模为的向量为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D正确；
故选：D．
2. 已知复数，则对应的点在复平面的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限.
【详解】因为，
所以对应的点在复平面的第三象限，
故选：C
3. 化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
4. 设的内角对边分别为，若，则的值可以是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理求出，再由大边对大角确定角的范围求解即可.
【详解】由正弦定理得，即，
解得，
因为，所以,
所以.
故选：A
5. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由列方程求得的值，结合必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】由题意，则，而或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 在中，已知，则的形状是（ ）
A. 等边三角形B. 直角三用形C. 等腰或直角三角形D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和差的余弦公式化简，可得出，即可得解.
【详解】因，
所以
由知，，
所以，即.
故选：D
7. 在中，内角所对的边分别为，若，则其最大角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形大边对大角原则和余弦定理直接求解即可.
【详解】设，则，，
，最大，
，，.
故选：C.
8. 已知点为的重心，分别是边上一点，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据重心性质可得，再由三点共线得出，根据“1”的变形技巧利用均值不等式求最值.
【详解】由点为的重心，为的中点知，
,
所以，
因为三点共线，分别是边上一点，
所以，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设复数，则（ ）
A. 的实部为B. C. 的虚部为D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据复数除法求出，由复数的概念判断AC，根据共轭复数判断B，根据模的定义判断D.
【详解】因为，
所以的实部为，虚部为，，，
故选：AB
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若为非零向量，且，则与共线
B. 若，则或
C. 若，则
D. 已知为单位向量，若，则在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，利用向量单位方向向量相等的定义，即可判断出选项A的正误；选项B，根据条件，利用数乘向量的定义，即可判断出选项B的正误； 选项C，利用与任何向量共线及向量共线的定义，即可判断出选项C的正误；选项D，根据条件，利用投影向量的定义，即可判断出选项D的正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，因为，即的单位方向向量相等，所以与共线，所以选项A正确；
对于选项B，因为，由数乘向量的定义可知，或，所以选项B正确；
对于选项C，当，有，但与不一定共线，所以选项C错误；
对于选项D，因为为单位向量，若，
所以在上的投影向量为，所以选项D正确，
故选：ABD.
11. 设向量若与的夹角为锐角，则实数t的值可能是（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】BC
【解析】
分析】由数量积公式求解.
【详解】，则.
当与同向时，，由于与的夹角为锐角，则且
故选：BC
12. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则
B. 若，则符合条件的有两个
C. 若点为所在平面内的动点，且，则点的轨迹经过的垂心
D. 已知是内一点，若分别表示的面积，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦定理及比例的性质判断A，根据正弦定理及大边对大角判断B，根据数量积的运算得垂直判断C，根据向量的运算得出比例关系判断D.
【详解】由正弦定理知，
所以可得，由可得，故A正确；
由正弦定理可知，即，解得，
又，所以，故只有一解，所以三角形一解，故B错误；
因为
，所以，所以点的轨迹经过的垂心，故C正确；
因为，所以，
设的中点分别为，如图，
则，即，所以，故D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知为纯虚数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据纯虚数的概念求解.
【详解】因为为纯虚数，
所以，即，
故答案：
14. 中，若，，则________.
【答案】-4
【解析】
【分析】先由已知条件求得，的夹角为，再结合向量的数量积的运算求解即可.
【详解】解：在中， ，，
则，
又的夹角为，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，重点考查了向量的夹角，属易错题.
15. 在锐角中，内角所对的边分别为，设向量且，若，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量平行及正弦定理化简得出三角形为等边三角形即可得解.
【详解】由可得，
由正弦定理可得，
由，所以，
又，所以，
所以为正三角形，.
故答案为：
16. 如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据锐角三角函数可得，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值.
【详解】设，则，
故，
故
，
当时，，即时，
此时取最小值.
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于的表达式，从而得解，
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤．
17. （1）已知：，求；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据复数模的定义求解；
（2）根据复数乘法与除法法则运算即可得解.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）
.
18. 已知向量与的夹角为60°，＝1，．
（1）求及；
（2）求.
【答案】（1）2，1；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用模长坐标公式求，再由数量积的定义求；
（2）应用向量数量积的运算律求即可.
【小问1详解】
由题设，则
【小问2详解】
由 ，
所以.
19. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．
（1）求的面积；
（2）求边长及的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可.
（2）利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【小问1详解】
由，且，
则，
所以．
【小问2详解】
由，
则，
又，则．
20. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果；
（2）根据，结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
且，所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，整理得，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
则，可得，即，
所以周长的最大值为.
21. 在直角梯形ABCD中，已知，，，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点.
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）2； （2）.
【解析】
【分析】（1）由、，应用向量数量积的运算律及向量位置关系求即可.
（2）令且，同（1）应用向量数量积的运算律得到关于的表示式，即可求值.
【小问1详解】
由图知：，，
所以，
所以，
又，，，
所以.
【小问2详解】
由（1）知：，
令且，则，，
所以.
则.
22. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．
（1）求的“相伴向量”；
（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；
（3）当向量时，其“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用两角和余弦公式展开化简函数，再根据相伴函数的概念求解即可；
（2）结合向量模的坐标运算公式，根据辅助角公式化简函数，利用正弦函数性质求解即可；
（3）由定义得并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程得或，求得两根，然后作出函数，的图象，由图象可得且有两根的的范围．
【小问1详解】
，
所以函数的“相伴向量”.
【小问2详解】
，
，，
的取值范围为；
【小问3详解】
，
当时，，
由，得：，
∴或，
由，即，而，解得或，
即在上有两个根，
方程在上存在4个不相等实数根，
当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线，如图，
方程在上有两个不等实根，
当且仅当函数在上的图象和直线有两个公共点，
观察图象知：或，
解得或，
所以实数的取值范围是.