广西百所名校2023-2024学年高一下学期3月联合考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、必修第二册第六章至第七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法结合虚部的定义求解即可.
【详解】依题意得，则的虚部为．
故选：B
2. 若向量，则（ ）
A. B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解.
【详解】依题意得，即.
故选：D.
3. 在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理计算即得.
【详解】由正弦定理可得，所以.
故选：A
4. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用中间值0和1，比较大小即可.
【详解】因为，，，所以．
故选：D
5. 在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得.
【详解】在中，由余弦定理得.
故选：C
6. 已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量公式求解即可.
【详解】因为，所以向量在向量上的投影向量为．
故选：C
7. 定义二阶行列式，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先分别求出不等式的解集，再判断充分性、必要性.
【详解】由，得，
当时，，解得，
当时，，解得，所以的解集为.
由，即，解得或，
即不等式的解集为，
所以“”是“”的充要条件.
故选：A
8. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串，重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”．若把这个数字设为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先确定的值，再利用诱导公式可得答案.
【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字0，第一步之后变为101，第二步之后变为123，
接着变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即，
故．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 复数在复平面内对应的点在第四象限
C.
D. 若为纯虚数，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，结合复数基本概念，复数的几何意义，以及复数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由复数，则，所以A错误；
对于B中，由复数在复平面内对应的点为，在第四象限，所以B正确；
对于C中，由复数，所以C错误；
对于D中，由复数为纯虚数，可得，解得，所以D正确.
故选：BD.
10. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A. 是奇函数
B. 的单调递增区间为，
C. 在上的值域为
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质判断即可.
【详解】将函数图象向右平移个单位长度得到，
则是奇函数，故A、D正确；
令，，解得，，
故的单调递增区间为，，故B正确．
因为，，则，所以在上的值域为，故C错误．
故选：ABD
11. 初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（ ）

A. 舰艇所需的时间为1小时B. 舰艇所需的时间为2小时
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】设出所需时间，分别表示,在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得的值，即可判断结果.
【详解】
如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则.
根据余弦定理得，解得或（舍去），
故.由正弦定理得，解得
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 设集合，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意，.
故答案为：
13. 已知，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数模长的性质与计算求解即可.
【详解】，则，解得，因为，所以．
故答案为：4
14. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且有两解，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形有两解，结合图形列出限制条件可得答案.
【详解】依题意得，因为，，所以．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，．
（1）求与的夹角；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）直接利用夹角公式求解．
（2）由，列方程能求出的值．
【小问1详解】
，
因为，故与的夹角为;
【小问2详解】
，则，
即，解得．
16. 在中，已知，为上一点，，且.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【答案】（1）2； （2）.
【解析】
【分析】（1）中，由正弦定理得，在中，，可求的值；
（2）中，由余弦定理解得，勾股定理求出，由求的面积.
【小问1详解】
，，则，
在中，，所以.
在中，，，所以.
故.
【小问2详解】
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，，
则.
故的面积为.
17. 如图，在中，，，，且，，与交于点.
（1）用，表示，；
（2）求值；
（3）求的值.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得；
（3）依题意为向量与的夹角，求出，，再由夹角公式计算可得.
【小问1详解】
因为，，
所以，，
所以，；
【小问2详解】
因为，，，
所以，
所以
.
【小问3详解】
依题意为向量与的夹角，
又
，
，
所以.
18. 已知向量，函数，
（1）求不等式的解集；
（2）若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出并化简，再利用正弦函数性质解不等式.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出取值范围.
【小问1详解】
由向量，得，
由，得，则，
解得，
所以不等式的解集是.
【小问2详解】
在中，由，得，由，得，
则，即，由余弦定理得，
得，
解得，当且仅当时取等号，又，即，
所以的取值范围是.
19. 某农户有一块半径为20米的圆形菜地，为防止菜地被小鸟破坏，准备在菜地中扎两个稻草人.设该圆形菜地的圆心为两点为稻草人，为该圆形菜地边缘上任意一点，要求为的中点.
（1）若，求；
（2）设，试将表示为的函数；
（3）若同时要求该农户在该菜地边缘上任意一点处观察稻草人时，观察角度的最大值不小于，试求两个稻草人之间的距离的最小值.
【答案】（1）10米；
（2）；
（3）米.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理解答即可.
（2）利用余弦定理进行求解，根据已知条件，得出关系式.
（3）首先找出观察角度最大时，取得最小值.利用余弦定理进行下一步计算.
【小问1详解】

在中，由正弦定理得，
则，所以米.
小问2详解】
在中，由余弦定理得.
在中，由余弦定理得.
因为，所以，即，
故所求关系式为.
【小问3详解】
当观察角度最大时，取得最小值.
在中，由余弦定理可得.
因为的最大值不小于，所以，解得，
即.故两个稻草人之间的距离的最小值为米.