福建省莆田华侨中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知复数满足（为虚数单位），则对应的点在（ ）
A 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
5. 已知点，向量，点是直线上一点，满足，则点的坐标是（ ）
A. .B.
C. 或D. 或
6. 在的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A B. C. D.
7. 已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二.多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中错误的是（ ）.
A. 若，，，则
B. 若且，则
C. 若，非零向量且，则
D. 若，则有且只有一个实数，使得
10. 已知复数，下列命题正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D. 若，则为实数
11. 在中，a，b，c分别为的对边，下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则有两解
B. 若，则为等腰三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则为锐角三角形
三、填空题:本题共3小题，每小题5分:共15分.
12. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为______.
13. 已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为______.
14. 已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设A，B，C，D为平面内的四点，且.
（1）若，求D点的坐标；
（2）设向量，若向量与平行，求实数k的值.
16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，．
（1）求c的值．
（2）求值．
17. 已知中，，点在边上且满足交CE于点.
（1）求;
（2）若点为边中点，求
18. 如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且．
（1）若M在距离A点处，求的长度；
（2）为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积．
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.