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辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(Word版附解析)
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这是一份辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(Word版附解析),共19页。试卷主要包含了的终边在,若,使等式成立的的值是,函数的图象大致为,若是方程的两根,则的值为,下列选项正确的是等内容,欢迎下载使用。
命题人:大连市第十一中学 吴瑞丽 校对人:大连市第十一中学 肖巍巍
一、单选题本题共8道小题,每小题5分,共40分,在每道小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若,使等式成立的的值是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.月牙泉,古称沙井,俗名药泉,自汉朝起即为“敦煌八景”之一,得名“月泉晓澈”,因其形酷似一弯新月而得名,如图所示,月牙泉边缘都是圆弧,两段圆弧可以看成是的外接圆的一部分和以为直径的圆的一部分,若是的中点,,南北距离的长大约,则该月牙泉的面积约为( )(参考数据:)
A. B. C. D.
5.若是方程的两根,则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数,在上是减函数且有,若,则( )
A. B.
C. D.
7.已知函数,现给出下列四个选项正确的是( )
A.为奇函数
B.的最小正周期为
C.是的一条对称轴
D.在上单调递增
8.定义,已知函数,则函数的最小值为( )
A. B. C.1 D.
二、多选题本题共三道小题,每小题6分,共18分,在每道小题给出的四个选项中,多个选项是符合题目要求的,部分正确得2或3分,有选错的得0分
9.下列选项正确的是( )
A.函数的最小正周期是
B.若是第一象限角,则
C.函数的对称中心是
D.在中,“”是“是钝角三角形”的充要条件
10.函数的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )
A.的表达式可以写成
B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C.的对称中心
D.若方程在上有且只有6个根,则
11.已知函数,若有个零点,记为,且,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题本题共三道小题,每小题5分,共15分
12.函数的定义域是__________.
13.已知函数,则__________.
14.已知定义在上的偶函数,当时满足的方程有且仅有8个不同实根,则实数的取值范围是__________.
四、解答题本题共五道小题,其中15题满分13分,16、17题满分各15分,18、19题满分各17分共77分.
15.在单位圆中,锐角的终边与单位圆相交于点,连接圆心和得到射线,将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点,其中.
(1)求的值;
(2)记点的横坐标为,若,求的值.
16.已知点是函数图象上的任意两点,,且当时,.
(1)求当时,的单调递增区间;
(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标也变为原来的倍,再将所得函数图象上的所有点向左平移个单位得到的图象,若在区间上有最大值没有最小值,求实数的取值范围.
17.位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标,浪漫打卡新高度”的美称.如图,摩天轮的轮径(直径)为70米,座舱距离地面的最大高度可达80米,摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱,并且运行时按逆时针匀速旋转,转一周需要18分钟.如图,想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点,在乘降点处进入座舱后开始开始观光,再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点,每个座舱高度忽略不计.
(1)甲乙两名游客分别坐在两个不同的座舱内,他们之间间隔4个座舱,求劣弧的弧长(单位:米);
(2)设游客从乘降点处进舱,开始转动分钟后距离地面的高度为米,求在转动一周的过程中,关于时间的函数解析式;
(3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮转动一周能有多长时间使(1)中的甲,乙两位游客都有最佳视觉效果.
18.已知函数,且满足
(1)设,若对任意的,存在,都有,求实数的取值范围;
(2)当(1)中时,若,都有成立,求实数的取值范围.
19.若函数满足且,则称函数为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”,并说明理由;
(2)函数为“函数”,且当时,,求的解析式,并写出在上的单调递增区间;
(3)在(2)的条件下,当时,关于的方程(为常数)有解,记该方程所有解的和为,求.
滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试
数学试卷答案详解
一、单选题
1.【答案】B
【详解】易知,而的终边在第二象限,故的终边在第二象限.即B正确.
2.【答案】D
【详解】由得,所以,
又,所以,所以或,
因为,所以或.故选:D
3.【答案】C
【详解】,由已知的定义域为,
又,
所以为偶函数,图象关于轴对称,故排除,
当时,,故排除D.故选:C.
4.【答案】D
【详解】设的外接圆的半径为,圆心为0,如图,因为
,所以是等边三角形,,
因为月牙内弧所对的圆心角为,所以内弧的弧长,
所以弓形的面积为,
以为直径的半圆的面积为,
所以该月牙泉的面积为,故选:D
5.【答案】A
【详解】由题设,得或.
由韦达定理得且,
所以,即,
可得,又或,所以故.故选:A
6.【答案】B
【详解】根据题意,
,所以
因为,由三角函数线知,所以
已知是定义在上的奇函数,在上是减函数且有,
所以在上是减函数且有
则,已知,则有,所以.故选B.
7.【答案】C
【详解】因为的定义域为,所以为偶函数,错误;
由,可得的最小正周期为,B错误;
,
,
因为,所以是的一条对称轴,C正确;
当时,函数单调递增,值域为,
当时,函数单调递增,故在上单调递增.
当时,函数单调递增,值域为,
当时,函数单调递减,故在上单调递减,D错误.故选:C.
8.【答案】A
【详解】依题意得,则,
(当且仅当
,即时“”成立.此时,,
的最小值为,故选:A.
二、多选题
9.【答案】AB
【详解】对:最小正周期是,故正确;
对B:若是第一象限角,则是第一或第三象限角,所以,故B正确;
对C:令,故C错误;
对D:在中,由知,又由,
则有或,所以或为钝角,满足充分性,
而是钝角三角形,为钝角,则有,不满足必要性,故D错误.
故选:AB
10.【答案】ABC
【详解】由,得,即,又,
,又的图象过点,则,即,
,即得,又,
所以,故A正确;
向右平移个单位后得
,为奇函数,
故B正确;
对于C,,
所以对称中心,故C正确;
对于D,由,得,解得或,
方程即
又在上有6个根,,所以,故D错误.故选:ABC.
11.【答案】ABD
【详解】将函数的图象沿轴对称并将轴下方部分翻折到轴上方,
即可得到的图象;
对于,最小正周期为,
故上有4个周期,令,
则可得的对称轴为;
由此作出函数的图象,如图:
则的零点问题即为的图象与直线的交点问题,
由图象可知,当时,的图象与直线有1个交点,不合题意;
当时,的图象与直线有5个交点,不合题意;
当时,的图象与直线有9个交点,不合题意;
当,即时,的图象与直线有10个交点,符合题意,A正确;
由题意可知,满足,
则,即,
,即,
由图像知,有个零点,所以,
由对勾函数得正确;
由函数图象可得;,故错误;
由图象可知的图象与直线有10个交点,即,
且关于直线对称,故,
同理得,
故
,D正确.故选:ABD
三、填空题
12.【答案】或者
且
【详解】由函数定义可知,可得,
所以定义域是或者
且
13.【答案】
【详解】因为
,
所以.
14.【答案】
【详解】因为,可得,所以在单调递增,,
又由时,为单调递减函数,且,
因为函数是上的偶函数,画出函数的图象,如图所示,
设,则方程可化为,
由图象可得:
当时,方程有2个实数根;
当时,方程有4个实数根;
当时,方程有2个实数根;
当时,方程有1个实数根;
要使得有8个不同的根,
设是方程的两根,设,
(1),即,解得,
综上可得,实数的取值范围是.
四、解答题
15.【答案】(1)1;(2)
【详解】(1)由于点在单位圆上,且是锐角,可得,
所以,
所以
(2)由(1)可知,且为锐角,可得,
根据三角函数定义可得:,
因为,且,
因此,所以
所以
16.【答案】(1);(2)
【详解】(1)因为,
且,所以
依题意可得得
又当时,,
,又,即,
令得
在的单调递增区间为
又,所以的单调递增区间为
(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,
纵坐标变为原来的倍得到
再向左平移个单位得到
,
当,所以,
因为在区间上有最大值没有最小值,所以,
解得,
17.【答案】(1)米;(2);(3)3分钟
【详解】(1)解:由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱,
所以两个相邻座舱所对的圆心角为:,
因为甲、乙之间间隔4个座舱,所以劣弧所对的圆心角为
所以,
即劣弧的弧长为米.(单位:米)
(2)如图,以摩天轮转轮中心为坐标原点,分别以过的水平线和坚直线为轴,建立平面直角坐标系.
不妨设开始转动分钟后距离地面的高度
(单位:米),由题可知,,
所以,
,
因为,解得,
此时
因为,代入有:,解得
故
综上:;(的范围)
(3)因为在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果,
所以,即,
解得:,即,解得,
所以分钟,故有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果,
因为劣弧所对的圆心角为,所以甲乙相隔的时间为,解得分钟
当甲刚开始有最佳视觉效果时,乙需3分钟后才有视觉效果,
故甲乙都有最佳视觉效果的时间为分钟.
18.【答案】(1);(2)
【详解】(1)因为满足,
所以的对称中心为,所以,即,
因为,所以,
所以,
又因为对任意的,都有成立,
所以,
,
因为,所以,设,
则有图象开口向下,对称轴为的抛物线,
当时,在上单调递增,所以,
所以,解得,所以;
当时,在上单调递减,所以,所以,
解得,故;
当时,,
故,解得,所以,
综上所述:实数的取值范围为.
(2)当时,对,都有成立,
则
由(1)可知时,,
所以.
则在恒成立,即在恒成立
则在恒成立.
令,则
,
因为在单调递增,所以,
所以,所以,
综上所述,实数的取值范围为.
19.【答案】(1)不是,理由见解析
(2)答案见解析
(3)
【详解】(1)解:不是为“函数”,理由如下:
因为
所以,,
因此,函数不是为“函数”.
(2)解:函数满足,令得
,
即所以,函数为周期函数,且最小正周期为,
因为,则的一个对称轴为.
①当时,,
则;
②当,则,
则,
所以,.
综上所述,,
所以,函数在上的单调递增区间为.
(3)解:由(2)可得函数在上的图象如下图所示,
下面考虑方程在区间的根之和.
①当或时,方程有两个实数解,其和为;
②当时,方程有三个实数解,其和为;
③当时,方程有四个实数解,其和为.
当时,关于的方程(为常数)有解,记该方程所有解的和为,
所以,当时,;
当或时,;
当时,;
当时,.
因此,
命题人:大连市第十一中学 吴瑞丽 校对人:大连市第十一中学 肖巍巍
一、单选题本题共8道小题,每小题5分,共40分,在每道小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若,使等式成立的的值是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.月牙泉,古称沙井,俗名药泉,自汉朝起即为“敦煌八景”之一,得名“月泉晓澈”,因其形酷似一弯新月而得名,如图所示,月牙泉边缘都是圆弧,两段圆弧可以看成是的外接圆的一部分和以为直径的圆的一部分,若是的中点,,南北距离的长大约,则该月牙泉的面积约为( )(参考数据:)
A. B. C. D.
5.若是方程的两根,则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数,在上是减函数且有,若,则( )
A. B.
C. D.
7.已知函数,现给出下列四个选项正确的是( )
A.为奇函数
B.的最小正周期为
C.是的一条对称轴
D.在上单调递增
8.定义,已知函数,则函数的最小值为( )
A. B. C.1 D.
二、多选题本题共三道小题,每小题6分,共18分,在每道小题给出的四个选项中,多个选项是符合题目要求的,部分正确得2或3分,有选错的得0分
9.下列选项正确的是( )
A.函数的最小正周期是
B.若是第一象限角,则
C.函数的对称中心是
D.在中,“”是“是钝角三角形”的充要条件
10.函数的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )
A.的表达式可以写成
B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C.的对称中心
D.若方程在上有且只有6个根,则
11.已知函数,若有个零点,记为,且,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题本题共三道小题,每小题5分,共15分
12.函数的定义域是__________.
13.已知函数,则__________.
14.已知定义在上的偶函数,当时满足的方程有且仅有8个不同实根,则实数的取值范围是__________.
四、解答题本题共五道小题,其中15题满分13分,16、17题满分各15分,18、19题满分各17分共77分.
15.在单位圆中,锐角的终边与单位圆相交于点,连接圆心和得到射线,将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点,其中.
(1)求的值;
(2)记点的横坐标为,若,求的值.
16.已知点是函数图象上的任意两点,,且当时,.
(1)求当时,的单调递增区间;
(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标也变为原来的倍,再将所得函数图象上的所有点向左平移个单位得到的图象,若在区间上有最大值没有最小值,求实数的取值范围.
17.位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标,浪漫打卡新高度”的美称.如图,摩天轮的轮径(直径)为70米,座舱距离地面的最大高度可达80米,摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱,并且运行时按逆时针匀速旋转,转一周需要18分钟.如图,想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点,在乘降点处进入座舱后开始开始观光,再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点,每个座舱高度忽略不计.
(1)甲乙两名游客分别坐在两个不同的座舱内,他们之间间隔4个座舱,求劣弧的弧长(单位:米);
(2)设游客从乘降点处进舱,开始转动分钟后距离地面的高度为米,求在转动一周的过程中,关于时间的函数解析式;
(3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮转动一周能有多长时间使(1)中的甲,乙两位游客都有最佳视觉效果.
18.已知函数,且满足
(1)设,若对任意的,存在,都有,求实数的取值范围;
(2)当(1)中时,若,都有成立,求实数的取值范围.
19.若函数满足且,则称函数为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”,并说明理由;
(2)函数为“函数”,且当时,,求的解析式,并写出在上的单调递增区间;
(3)在(2)的条件下,当时,关于的方程(为常数)有解,记该方程所有解的和为,求.
滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试
数学试卷答案详解
一、单选题
1.【答案】B
【详解】易知,而的终边在第二象限,故的终边在第二象限.即B正确.
2.【答案】D
【详解】由得,所以,
又,所以,所以或,
因为,所以或.故选:D
3.【答案】C
【详解】,由已知的定义域为,
又,
所以为偶函数,图象关于轴对称,故排除,
当时,,故排除D.故选:C.
4.【答案】D
【详解】设的外接圆的半径为,圆心为0,如图,因为
,所以是等边三角形,,
因为月牙内弧所对的圆心角为,所以内弧的弧长,
所以弓形的面积为,
以为直径的半圆的面积为,
所以该月牙泉的面积为,故选:D
5.【答案】A
【详解】由题设,得或.
由韦达定理得且,
所以,即,
可得,又或,所以故.故选:A
6.【答案】B
【详解】根据题意,
,所以
因为,由三角函数线知,所以
已知是定义在上的奇函数,在上是减函数且有,
所以在上是减函数且有
则,已知,则有,所以.故选B.
7.【答案】C
【详解】因为的定义域为,所以为偶函数,错误;
由,可得的最小正周期为,B错误;
,
,
因为,所以是的一条对称轴,C正确;
当时,函数单调递增,值域为,
当时,函数单调递增,故在上单调递增.
当时,函数单调递增,值域为,
当时,函数单调递减,故在上单调递减,D错误.故选:C.
8.【答案】A
【详解】依题意得,则,
(当且仅当
,即时“”成立.此时,,
的最小值为,故选:A.
二、多选题
9.【答案】AB
【详解】对:最小正周期是,故正确;
对B:若是第一象限角,则是第一或第三象限角,所以,故B正确;
对C:令,故C错误;
对D:在中,由知,又由,
则有或,所以或为钝角,满足充分性,
而是钝角三角形,为钝角,则有,不满足必要性,故D错误.
故选:AB
10.【答案】ABC
【详解】由,得,即,又,
,又的图象过点,则,即,
,即得,又,
所以,故A正确;
向右平移个单位后得
,为奇函数,
故B正确;
对于C,,
所以对称中心,故C正确;
对于D,由,得,解得或,
方程即
又在上有6个根,,所以,故D错误.故选:ABC.
11.【答案】ABD
【详解】将函数的图象沿轴对称并将轴下方部分翻折到轴上方,
即可得到的图象;
对于,最小正周期为,
故上有4个周期,令,
则可得的对称轴为;
由此作出函数的图象,如图:
则的零点问题即为的图象与直线的交点问题,
由图象可知,当时,的图象与直线有1个交点,不合题意;
当时,的图象与直线有5个交点,不合题意;
当时,的图象与直线有9个交点,不合题意;
当,即时,的图象与直线有10个交点,符合题意,A正确;
由题意可知,满足,
则,即,
,即,
由图像知,有个零点,所以,
由对勾函数得正确;
由函数图象可得;,故错误;
由图象可知的图象与直线有10个交点,即,
且关于直线对称,故,
同理得,
故
,D正确.故选:ABD
三、填空题
12.【答案】或者
且
【详解】由函数定义可知,可得,
所以定义域是或者
且
13.【答案】
【详解】因为
,
所以.
14.【答案】
【详解】因为,可得,所以在单调递增,,
又由时,为单调递减函数,且,
因为函数是上的偶函数,画出函数的图象,如图所示,
设,则方程可化为,
由图象可得:
当时,方程有2个实数根;
当时,方程有4个实数根;
当时,方程有2个实数根;
当时,方程有1个实数根;
要使得有8个不同的根,
设是方程的两根,设,
(1),即,解得,
综上可得,实数的取值范围是.
四、解答题
15.【答案】(1)1;(2)
【详解】(1)由于点在单位圆上,且是锐角,可得,
所以,
所以
(2)由(1)可知,且为锐角,可得,
根据三角函数定义可得:,
因为,且,
因此,所以
所以
16.【答案】(1);(2)
【详解】(1)因为,
且,所以
依题意可得得
又当时,,
,又,即,
令得
在的单调递增区间为
又,所以的单调递增区间为
(2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,
纵坐标变为原来的倍得到
再向左平移个单位得到
,
当,所以,
因为在区间上有最大值没有最小值,所以,
解得,
17.【答案】(1)米;(2);(3)3分钟
【详解】(1)解:由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱,
所以两个相邻座舱所对的圆心角为:,
因为甲、乙之间间隔4个座舱,所以劣弧所对的圆心角为
所以,
即劣弧的弧长为米.(单位:米)
(2)如图,以摩天轮转轮中心为坐标原点,分别以过的水平线和坚直线为轴,建立平面直角坐标系.
不妨设开始转动分钟后距离地面的高度
(单位:米),由题可知,,
所以,
,
因为,解得,
此时
因为,代入有:,解得
故
综上:;(的范围)
(3)因为在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果,
所以,即,
解得:,即,解得,
所以分钟,故有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果,
因为劣弧所对的圆心角为,所以甲乙相隔的时间为,解得分钟
当甲刚开始有最佳视觉效果时,乙需3分钟后才有视觉效果,
故甲乙都有最佳视觉效果的时间为分钟.
18.【答案】(1);(2)
【详解】(1)因为满足,
所以的对称中心为,所以,即,
因为,所以,
所以,
又因为对任意的,都有成立,
所以,
,
因为,所以,设,
则有图象开口向下,对称轴为的抛物线,
当时,在上单调递增,所以,
所以,解得,所以;
当时,在上单调递减,所以,所以,
解得,故;
当时,,
故,解得,所以,
综上所述:实数的取值范围为.
(2)当时,对,都有成立,
则
由(1)可知时,,
所以.
则在恒成立,即在恒成立
则在恒成立.
令,则
,
因为在单调递增,所以,
所以,所以,
综上所述,实数的取值范围为.
19.【答案】(1)不是,理由见解析
(2)答案见解析
(3)
【详解】(1)解:不是为“函数”,理由如下:
因为
所以,,
因此,函数不是为“函数”.
(2)解:函数满足,令得
,
即所以,函数为周期函数,且最小正周期为,
因为,则的一个对称轴为.
①当时,,
则;
②当,则,
则,
所以,.
综上所述,,
所以,函数在上的单调递增区间为.
(3)解:由(2)可得函数在上的图象如下图所示,
下面考虑方程在区间的根之和.
①当或时,方程有两个实数解,其和为;
②当时,方程有三个实数解,其和为;
③当时,方程有四个实数解,其和为.
当时,关于的方程(为常数)有解,记该方程所有解的和为,
所以,当时,;
当或时,;
当时,;
当时,.
因此,