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    辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(Word版附解析)
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    辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(Word版附解析)

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    这是一份辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(Word版附解析),共19页。试卷主要包含了的终边在,若,使等式成立的的值是,函数的图象大致为,若是方程的两根,则的值为,下列选项正确的是等内容,欢迎下载使用。

    命题人:大连市第十一中学 吴瑞丽 校对人:大连市第十一中学 肖巍巍
    一、单选题本题共8道小题,每小题5分,共40分,在每道小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
    1.的终边在( )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    2.若,使等式成立的的值是( )
    A. B. C. D.
    3.函数的图象大致为( )
    A. B.
    C. D.
    4.月牙泉,古称沙井,俗名药泉,自汉朝起即为“敦煌八景”之一,得名“月泉晓澈”,因其形酷似一弯新月而得名,如图所示,月牙泉边缘都是圆弧,两段圆弧可以看成是的外接圆的一部分和以为直径的圆的一部分,若是的中点,,南北距离的长大约,则该月牙泉的面积约为( )(参考数据:)
    A. B. C. D.
    5.若是方程的两根,则的值为( )
    A. B. C. D.
    6.已知是定义在上的奇函数,在上是减函数且有,若,则( )
    A. B.
    C. D.
    7.已知函数,现给出下列四个选项正确的是( )
    A.为奇函数
    B.的最小正周期为
    C.是的一条对称轴
    D.在上单调递增
    8.定义,已知函数,则函数的最小值为( )
    A. B. C.1 D.
    二、多选题本题共三道小题,每小题6分,共18分,在每道小题给出的四个选项中,多个选项是符合题目要求的,部分正确得2或3分,有选错的得0分
    9.下列选项正确的是( )
    A.函数的最小正周期是
    B.若是第一象限角,则
    C.函数的对称中心是
    D.在中,“”是“是钝角三角形”的充要条件
    10.函数的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )
    A.的表达式可以写成
    B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
    C.的对称中心
    D.若方程在上有且只有6个根,则
    11.已知函数,若有个零点,记为,且,则下列结论正确的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    三、填空题本题共三道小题,每小题5分,共15分
    12.函数的定义域是__________.
    13.已知函数,则__________.
    14.已知定义在上的偶函数,当时满足的方程有且仅有8个不同实根,则实数的取值范围是__________.
    四、解答题本题共五道小题,其中15题满分13分,16、17题满分各15分,18、19题满分各17分共77分.
    15.在单位圆中,锐角的终边与单位圆相交于点,连接圆心和得到射线,将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点,其中.
    (1)求的值;
    (2)记点的横坐标为,若,求的值.
    16.已知点是函数图象上的任意两点,,且当时,.
    (1)求当时,的单调递增区间;
    (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标也变为原来的倍,再将所得函数图象上的所有点向左平移个单位得到的图象,若在区间上有最大值没有最小值,求实数的取值范围.
    17.位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标,浪漫打卡新高度”的美称.如图,摩天轮的轮径(直径)为70米,座舱距离地面的最大高度可达80米,摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱,并且运行时按逆时针匀速旋转,转一周需要18分钟.如图,想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点,在乘降点处进入座舱后开始开始观光,再次回到乘降点时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点,每个座舱高度忽略不计.
    (1)甲乙两名游客分别坐在两个不同的座舱内,他们之间间隔4个座舱,求劣弧的弧长(单位:米);
    (2)设游客从乘降点处进舱,开始转动分钟后距离地面的高度为米,求在转动一周的过程中,关于时间的函数解析式;
    (3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮转动一周能有多长时间使(1)中的甲,乙两位游客都有最佳视觉效果.
    18.已知函数,且满足
    (1)设,若对任意的,存在,都有,求实数的取值范围;
    (2)当(1)中时,若,都有成立,求实数的取值范围.
    19.若函数满足且,则称函数为“函数”.
    (1)试判断是否为“函数”,并说明理由;
    (2)函数为“函数”,且当时,,求的解析式,并写出在上的单调递增区间;
    (3)在(2)的条件下,当时,关于的方程(为常数)有解,记该方程所有解的和为,求.
    滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试
    数学试卷答案详解
    一、单选题
    1.【答案】B
    【详解】易知,而的终边在第二象限,故的终边在第二象限.即B正确.
    2.【答案】D
    【详解】由得,所以,
    又,所以,所以或,
    因为,所以或.故选:D
    3.【答案】C
    【详解】,由已知的定义域为,
    又,
    所以为偶函数,图象关于轴对称,故排除,
    当时,,故排除D.故选:C.
    4.【答案】D
    【详解】设的外接圆的半径为,圆心为0,如图,因为
    ,所以是等边三角形,,
    因为月牙内弧所对的圆心角为,所以内弧的弧长,
    所以弓形的面积为,
    以为直径的半圆的面积为,
    所以该月牙泉的面积为,故选:D
    5.【答案】A
    【详解】由题设,得或.
    由韦达定理得且,
    所以,即,
    可得,又或,所以故.故选:A
    6.【答案】B
    【详解】根据题意,
    ,所以
    因为,由三角函数线知,所以
    已知是定义在上的奇函数,在上是减函数且有,
    所以在上是减函数且有
    则,已知,则有,所以.故选B.
    7.【答案】C
    【详解】因为的定义域为,所以为偶函数,错误;
    由,可得的最小正周期为,B错误;


    因为,所以是的一条对称轴,C正确;
    当时,函数单调递增,值域为,
    当时,函数单调递增,故在上单调递增.
    当时,函数单调递增,值域为,
    当时,函数单调递减,故在上单调递减,D错误.故选:C.
    8.【答案】A
    【详解】依题意得,则,
    (当且仅当
    ,即时“”成立.此时,,
    的最小值为,故选:A.
    二、多选题
    9.【答案】AB
    【详解】对:最小正周期是,故正确;
    对B:若是第一象限角,则是第一或第三象限角,所以,故B正确;
    对C:令,故C错误;
    对D:在中,由知,又由,
    则有或,所以或为钝角,满足充分性,
    而是钝角三角形,为钝角,则有,不满足必要性,故D错误.
    故选:AB
    10.【答案】ABC
    【详解】由,得,即,又,
    ,又的图象过点,则,即,
    ,即得,又,
    所以,故A正确;
    向右平移个单位后得
    ,为奇函数,
    故B正确;
    对于C,,
    所以对称中心,故C正确;
    对于D,由,得,解得或,
    方程即
    又在上有6个根,,所以,故D错误.故选:ABC.
    11.【答案】ABD
    【详解】将函数的图象沿轴对称并将轴下方部分翻折到轴上方,
    即可得到的图象;
    对于,最小正周期为,
    故上有4个周期,令,
    则可得的对称轴为;
    由此作出函数的图象,如图:
    则的零点问题即为的图象与直线的交点问题,
    由图象可知,当时,的图象与直线有1个交点,不合题意;
    当时,的图象与直线有5个交点,不合题意;
    当时,的图象与直线有9个交点,不合题意;
    当,即时,的图象与直线有10个交点,符合题意,A正确;
    由题意可知,满足,
    则,即,
    ,即,
    由图像知,有个零点,所以,
    由对勾函数得正确;
    由函数图象可得;,故错误;
    由图象可知的图象与直线有10个交点,即,
    且关于直线对称,故,
    同理得,

    ,D正确.故选:ABD
    三、填空题
    12.【答案】或者

    【详解】由函数定义可知,可得,
    所以定义域是或者

    13.【答案】
    【详解】因为

    所以.
    14.【答案】
    【详解】因为,可得,所以在单调递增,,
    又由时,为单调递减函数,且,
    因为函数是上的偶函数,画出函数的图象,如图所示,
    设,则方程可化为,
    由图象可得:
    当时,方程有2个实数根;
    当时,方程有4个实数根;
    当时,方程有2个实数根;
    当时,方程有1个实数根;
    要使得有8个不同的根,
    设是方程的两根,设,
    (1),即,解得,
    综上可得,实数的取值范围是.
    四、解答题
    15.【答案】(1)1;(2)
    【详解】(1)由于点在单位圆上,且是锐角,可得,
    所以,
    所以
    (2)由(1)可知,且为锐角,可得,
    根据三角函数定义可得:,
    因为,且,
    因此,所以
    所以
    16.【答案】(1);(2)
    【详解】(1)因为,
    且,所以
    依题意可得得
    又当时,,
    ,又,即,
    令得
    在的单调递增区间为
    又,所以的单调递增区间为
    (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,
    纵坐标变为原来的倍得到
    再向左平移个单位得到

    当,所以,
    因为在区间上有最大值没有最小值,所以,
    解得,
    17.【答案】(1)米;(2);(3)3分钟
    【详解】(1)解:由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱,
    所以两个相邻座舱所对的圆心角为:,
    因为甲、乙之间间隔4个座舱,所以劣弧所对的圆心角为
    所以,
    即劣弧的弧长为米.(单位:米)
    (2)如图,以摩天轮转轮中心为坐标原点,分别以过的水平线和坚直线为轴,建立平面直角坐标系.
    不妨设开始转动分钟后距离地面的高度
    (单位:米),由题可知,,
    所以,

    因为,解得,
    此时
    因为,代入有:,解得

    综上:;(的范围)
    (3)因为在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果,
    所以,即,
    解得:,即,解得,
    所以分钟,故有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果,
    因为劣弧所对的圆心角为,所以甲乙相隔的时间为,解得分钟
    当甲刚开始有最佳视觉效果时,乙需3分钟后才有视觉效果,
    故甲乙都有最佳视觉效果的时间为分钟.
    18.【答案】(1);(2)
    【详解】(1)因为满足,
    所以的对称中心为,所以,即,
    因为,所以,
    所以,
    又因为对任意的,都有成立,
    所以,

    因为,所以,设,
    则有图象开口向下,对称轴为的抛物线,
    当时,在上单调递增,所以,
    所以,解得,所以;
    当时,在上单调递减,所以,所以,
    解得,故;
    当时,,
    故,解得,所以,
    综上所述:实数的取值范围为.
    (2)当时,对,都有成立,

    由(1)可知时,,
    所以.
    则在恒成立,即在恒成立
    则在恒成立.
    令,则

    因为在单调递增,所以,
    所以,所以,
    综上所述,实数的取值范围为.
    19.【答案】(1)不是,理由见解析
    (2)答案见解析
    (3)
    【详解】(1)解:不是为“函数”,理由如下:
    因为
    所以,,
    因此,函数不是为“函数”.
    (2)解:函数满足,令得

    即所以,函数为周期函数,且最小正周期为,
    因为,则的一个对称轴为.
    ①当时,,
    则;
    ②当,则,
    则,
    所以,.
    综上所述,,
    所以,函数在上的单调递增区间为.
    (3)解:由(2)可得函数在上的图象如下图所示,
    下面考虑方程在区间的根之和.
    ①当或时,方程有两个实数解,其和为;
    ②当时,方程有三个实数解,其和为;
    ③当时,方程有四个实数解,其和为.
    当时,关于的方程(为常数)有解,记该方程所有解的和为,
    所以,当时,;
    当或时,;
    当时,;
    当时,.
    因此,

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