2024年浙江省衢州市初中学业水平考试数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1. 在4，，0，四个数中，最小的为（ ）
A. 4B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数比较各数的大小即可求解．
【详解】解：∵，
∴最小的数为，
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解答的关键．
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，逐一判断即可解答．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键．
4. 某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( )
A. 15，16B. 15，15C. 15，15.5D. 16，15
【答案】A
【解析】
【详解】∵14岁有1人，15岁有4人，16岁有3人，17岁有2人，18岁有2人，
∴出现次数最多的数据时15，
∴队员年龄的众数为15岁；
∵一共有12名队员，
∴因此其中位数应是第6和第7名同学的年龄的平均数，
∴中位数为（16+16）÷2=16，
故中位数为16．
故选A．
5. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】设共有x人，y辆车，由每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行列方程可求解．
【详解】解：由题意得
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出，，的值，即可得出结论．
【详解】解：，，都在反比例函数的图象上，
∴，，．
∴．
故选C．
【点睛】本题考查比较反比例函数的函数值的大小．根据图象上的点的特征，求出函数值，是解题的关键．
7. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ）．

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点到直线距离为米，
在中，，
在中，，
由题意得，，
解得，（米，
故选：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
8. 如图，小明分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，作直线分别交弦和劣弧于点．小明量得．则劣弧所在圆的半径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图即可得到直线是的垂直平分线，再利用垂径定理及勾股定理即可解答．
【详解】解：∵直线是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴设，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴圆的半径为，
故答案为．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
9. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”，图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．连接图1中相应的顶点得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若大正方形的边长为，，则小正方形的边长为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图2，由题意可设，，则可以用表示出，又由于大正方形的边长为，可得，与构成方程组，可求出，从而得到的值，然后在中，利用勾股定理列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：如图2，设，，
∴，
∴，
∵大正方形的边长为，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
解得：，（舍去），
在中，，
∴，
解得：，（舍去），
∴小正方形边长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的面积，正方形的面积，二元一次方程组，一元二次方程等知识．设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理列方程，是解决本题的关键．
10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：，
，
点，都在直线的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
的开口向上，
的解为，
根据题意还可列不等式：，
，
可得，
整理得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
抛物线开口向下，
的解为或，
综上所述，可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式：3a2-3__．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式3，再对余下的的多项式利用平方差公式继续分解.
【详解】3a2-3=3(a2-1)=3(a+1)(a-1)；
故答案是；.
【点睛】本题考查的知识点是用提公因式法和公式法进行分解，解题关键是熟记因式分解的方法.
12. 在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有_______个．
【答案】10
【解析】
【分析】设袋中共有x个球，再由袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为求出x的值即可．
【详解】解：设袋中共有x个球，
∵袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为，
∴，
解得x=10．
经检验，x=10是分式方程的解，且符合题意，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
13. 已知一次函数的图象经过点和，则________________．
【答案】
【解析】
【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点和，
∴，即，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．
14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是________米．
【答案】
【解析】
【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：连接交于，连接，
点为运行轨道的最低点，
，
（米，
在中，（米，
点到弦所在直线的距离米，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 ___________．
【答案】5
【解析】
【分析】作CE⊥x轴于E，根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，即可求得CE=OA=2，T通过证得△AOB∽△BEC，求得BE=4，进而得到D点坐标，代入y=，利用待定系数法求出k．
【详解】解：作CE⊥x轴于E，
∵AC∥x轴，OA=2，OB=1，
∴OA=CE=2，
∵∠ABO+∠CBE=90°=∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AOB=∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴，即，
∴BE=4，
∴OE=5，
∵点D是AB的中点，
∴D（，2）．
∵反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象经过点D，
∴k=×2=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质等知识，求出D点坐标是解题的关键．
16. 下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．

（1）若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________．
（2）若，则________．
【答案】 ①. 9 ②. ##
【解析】
【分析】（1）在图1中，过作于，由，可得，，故，而的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为；
（2）标识字母如图，设，证明，可得，由，有，即，可得或，而，，即可得到答案．
【详解】（1）在图1中，过作于，如图：

，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
的面积为16，
，
，
，
纸片Ⅲ的面积为；
故答案为：9；
（2）如图：

，
，
设，则，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
解得或，
当时，，这情况不符合题意，舍去；
当时，，
而，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）2 ；（2）
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，求不等式组的解集：
（1）分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可．
（2）分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可．
【详解】解：（1）


．
（2） 解：解不等式，
，
解得：．
解不等式，
，
解得：．
所以原不等式组的解集是：．
18. 解分式方程：．
【答案】．
【解析】
【分析】去分母转化为整式方程，解整式方程，检验，得出结论即可
【详解】解：方程两边同时乘以，去分母，得，
整理得：
即，
解得．
经检验，为原方程的解，为原方程的增根．
∴原分式方程的解为．
【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解题方法与步骤是解题关键
19. 如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．

（1）若，试说明；
（2）在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析
（2），详见解析
【解析】
【分析】（1）根据，得到，，由证明全等即可．
（2）由全等的性质得到，由证明，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
证明：连接、，

由（1）可知
，
在和中
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
20. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
（3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
（4）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）40；36；见解析
（2）70；70；66.5
（3）280 （4）
【解析】
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【小问1详解】
本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
【小问2详解】
由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
【小问3详解】
等级达到优秀的人数大约有（人）；
【小问4详解】
画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，众数，平均数，树状图等知识点，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若sin∠EGC＝，⊙O的半径是3，求AF的长．

【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）连接EO，由∠EOG=2∠C、∠ABG=2∠C知∠EOG=∠ABG，从而得AB∥EO，根据EF⊥AB得EF⊥OE，即可得证；
（2）由∠ABG=2∠C、∠ABG=∠C+∠A知∠A=∠C，即BA=BC=6，在Rt△OEG中求得OG==5、BG=OG-OB=2，在Rt△FGB中求得BF=BGsin∠EGO，根据AF=AB-BF可得答案．
【详解】解：（1）如图，连接EO，则OE=OC，

∴∠EOG=2∠C，
∵∠ABG=2∠C，
∴∠EOG=∠ABG，
∴AB∥EO，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC=6，
在Rt△OEG中，∵sin∠EGO=，
∴OG=，
∴BG=OG﹣OB=2，
在Rt△FGB中，∵sin∠EGO=，
∴BF=BGsin∠EGO=2×，
则AF=AB﹣BF=6﹣．
【点睛】本题主要考查切线的判定与性质及解直角三角形的应用，熟练掌握切线的判定与性质及三角函数的定义是解题的关键．
22. 某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】（1）A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）最多购置100个A玩具．
【解析】
【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；
由题意得：；
解得：，
则B玩具单价为（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
【小问2详解】
设A玩具购置y个，则B玩具购置个，
由题意可得：，
解得：，
∴最多购置100个A玩具．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．
23. 随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
（1）喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
（2）现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围．
【答案】（1）①图见解析，；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，结合实际理清题中的数量关系是解题的关键．
（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
②令，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值即可；
（2）由题意可得，，分别代入，求出的最小值和最大值，再令，求得的最小值和最大值，即可得出答案．
小问1详解】
①以点O为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为
把代入得
解得：
抛物线的表达式为；
②令，得，
解得：，（舍去）
喷灌器底端O到点B的距离；
【小问2详解】
如图所示：
，
，
设
把代入得
解得：
当时，
设，
把代入得
解得：
当时，
使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为．
24. 如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．

（1）求证：；
（2）当时，求的长；
（3）令，．
①求证：；
②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答；
（2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答；
（3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答；
②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形为矩形，
，
，
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，过点作于，
设设，则，
，
，
四边形为矩形，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
可得方程，
解得（此时，故舍去0），
；
【小问3详解】
解：①证明：过点作于，连接，
点为矩形的对称中心，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
；

②如图，连接，
由题意可得,
点为矩形的对称中心，
，
同理可得，
由（1）知，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由①可得，
解得，
，
，
．
【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
年龄(单位：岁)
14
15
16
17
18
人数
1
4
3
2
2