辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（信息卷）数学（二）

这是一份辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（信息卷）数学（二），共14页。试卷主要包含了设，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题纸上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．6B．3C．6D．15
3．在平行四边形中，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（ ）
A．167B．168C．169D．170
5．设，则（ ）
A．B．C．D．
6．现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩．在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（ ）
A．52B．72C．76D．100
7．已知抛物线的焦点为，过点的的弦中最短的弦长为8，点在上，是线段上靠近点的五等分点，则（为坐标原点）的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．设函数的定义域为，若，记为在上的2次迭代，为在上的3次迭代，依次类推，为在上的次迭代，即，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则能被17整除
D．若，则
11．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ）
A．若直线的斜率存在，则的取值范围为
B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6
C．当时，的面积为12
D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若随机变量，且，则____________．
13．已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则____________
14．已知函数满足，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为____________．（用区间表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知数列的前项和为，且．
（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；
（2）设，求数列的前100项和．
16．（15分）
如图，在三棱柱中，侧面底面，底面三角形是以为斜边的等腰直角三角形，侧面是边长为2的菱形，且．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
17．（15分）
已知函数．
（1）求的极值；
（2）设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围．
18．（17分）
第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦尔市举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最全的一届体育盛会，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会．为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表学院参加该大学的冬运会知识竞赛，且参赛选手是否答对各题相互独立．
（1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰．已知大学生甲答对每道题的概率均为．
（ⅰ）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率；
（ⅱ）设甲在初赛中答题的个数为，求的分布列和数学期望．
（2）决赛共3道题（均需作答），规定：答对题目数量不少于2道则胜出，代表学校参加市级比赛；否则被淘汰．已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中答对前2道题的概率相等，均为，且他3道题全答对的概率为，设他能代表学校参加市级比赛的概率为，求的最小值．
19．（17分）
设动点到点的距离与它到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）为与轴的负半轴的交点，为直线与在第一象限的交点，直线过点，且与相交于两点，过点作垂直于轴的直线分别与直线相交于点，分别记与的面积为与，求证：．
参考答案
数学（二）
一、选择题
1．A 【解析】由题意得，则．故选A项．
2．C 【解析】设复数，由，得，化简得，所以解得，所以，所以的虚部为6．故选C项．
3．C 【解析】如图，由题意可知是的中点，所以．故选C项．
4．A 【解析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，则既是3的倍数，也是4的倍数，故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列，所以，令，即，且，解得，且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167．故选A项．
5．B 【解析】．综上，．故选B项．
6．D 【解析】若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2，则不同的选择方案有种；若芈和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1，2，则不同的选择方案有种；若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1，1，则不同的选择方案有种．共有种选择方案．故选D项．
7．B 【解析】因为过点的的弦中最短的弦长为8，所以，即的方程为．设，由是线段上靠近点的五等分点，得，所以，故即不妨设点在第一象限，易知为锐角，当取最大值时，直线的斜率也最大，又，当且仅当，即时取等号，此时，即的最大值为．故选B项．
8．D 【解析】，设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，则切线方程分别为，，所以由①得，代入②得．令，则，所以当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以，又当时，，所以的值域为，所以的取值范围是．故选D项．
二、选择题
9．BD 【解析】对于A项，若，则或与异面，A项错误；对于B项，因为，所以，因为，所以，因为，所以，B项正确；对于C项，当时，或或或与相交，C项错误；对于D项，若，则，又，所以，D项正确．故选BD项．
10．AC 【解析】若，则，故A项正确；由，得，所以，解得或，故B项错误；若，则，所以，
故C项正确；若，则，，所以是以2为一个周期的迭代函数，所以，故D项错误．故选AC项．
11．ABD 【解析】如图，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为．
对于A项，由图可知，当点均在的右支时，或，A项正确；对于B项，光线由经过点到达点所经过的路程为，B项正确；对于C项，由，得，即，所以，设，则，因为，所以，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面积，C项错误；对于D项，在中，，所以，D项正确．故选ABD项．
三、填空题
12．0.1 【解析】因为，且，则，所以．
13． 【解析】圆0，即，圆心，因为圆关于直线对称，所以，解得，所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离，所以．
14． 【解析】由题意可知的最小正周期，因为，所以直线为图像的一条对称轴，则在直线右侧的零点依次为，若在区间上恰有2个零点，则．
四、解答题
15．解：（1）由已知得，①
当时，，②
①-②得，
所以．
当时，，所以，
所以是首项为2，公比为5的等比数列，
故．
（2），
所以
．
16．解：（1）取的中点，连接，
因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，所以．
又平面平面平面，平面平面，
所以平面，
所以的长即为点到平面的距离，
又，
故点到平面的距离为．
（2）连接，因为，所以，则两两垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题可知，则．
由，得．
设平面的法向量为，，
则
取，得．
设直线与平面所成角为，
则，
所以，
即直线与平面所成角的余弦值为．
17．解：（1），
令，得．
当时，由，得，由，得，
故在区间内单调递减，
在区间内单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值；
当时，由，得，由，得，
故在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值．
综上，当时，的极小值为3，无极大值；
当时，的极大值为，无极小值．
（2）等价于，则在区间内有解．
令，
则，
令，
则，
所以在区间内单调递增，
即，所以在区间内恒成立，
所以在区间内单调递增，即，即，
故的取值范围是．
18．解：（1）因为甲答对每道题的概率均为，
所以甲答错每道题的概率均为．
（ⅰ）甲答了4道题就进入决赛的概率为，
甲答了5道题就进入决赛的概率为．
所以甲至多回答了5道题就进入决赛的概率为．
（ⅱ）易知的可能取值为4，5，6，7，对应甲被淘汰或进入决赛的答题个数，
则，
，
，
，
所以的分布列为
则．
（2）设乙答对第3道题的概率为，由他3道题全答对的概率为，可知，
则，则．
当时，，当时，，
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以，
即的最小值为．
19．（1）解：由已知可得，
整理得，
即的方程为．
（2）证明：由的方程可知，将，可求得，
由题意知直线的斜率一定存在，故可设，
，
联立得，
，解得，
所以．
因为，所以直线的方程是，
联立得
即，
直线的方程为，
联立得，
即，
则
，
又
，
所以，
所以为的中点，所以．4
5
6
7