专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练(新题型)
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【题型1 线面平行问题(刻度尺平移大法)】
【题型2 线面垂直问题(勾股定理妙解)】
【题型3 点面距离(体积求算)问题】
【题型4 线面夹角问题(两大法)】
【题型5 面面夹角问题(两大法)】
基础工具:法向量的求算
待定系数法:步骤如下:
①设出平面的法向量为.
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量,.
③根据法向量的定义建立关于的方程组
④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
注意:在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组有无数多个解,只需给中的一个变量赋于一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.
秒杀大法:口诀:求谁不看谁,积差很崩溃(求外用外减,求内用内减)
向量,是平面内的两个不共线向量,则向量是平面的一个法向量.
特别注意:空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标,然后利用距离列三个方程求解.
:线面平行问题
线面平行:关键点①必须将刻度尺与所证线重合,然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法:观察采用哪一种技巧(五种方法)(记住六大图像)
:中位线型
如图 = 1 \* GB2 ⑴,在底面为平行四边形的四棱锥中,点是的中点.求证:平面.
分析:
:构造平行四边形
如图 = 2 \* GB2 ⑵, 平行四边形和梯形所在平面相交,//,求证://平面.
分析:过点作//交于, 就是平面
与平面的交线,那么只要证明//即可。
:作辅助面使两个平面是平行
如图⑶,在四棱锥中,底面为菱形, 为的中点,为的中点,证明:直线
分析::取中点,连接,只需证平面∥平面。
:利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且AP=DQ(如图).求证:PQ∥平面CBE.
如图 = 5 \* GB2 ⑸,已知三棱锥,是,,的重心.(1)求证:∥面;
(向量法)所证直线与已知平面的法向量垂直,关键:建立空间坐标系(或找空间一组基底)及平面的法向量。
如图 = 6 \* GB2 ⑹,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面分别为的中点.证明平面;
分析:因为侧棱底面,底面是正方形,所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明:如图,建立空间直角坐标系.
设,则
,.
因为轴垂直与平面,故可设平面的法向量为=(0,1,0)
则:=0因此,所以平面.
如图,三棱柱中,为底面的重心,.
(1)求证:∥平面;
(2)若底面,且三棱柱的各棱长均为6,设直线与平面所成的角为,求的值.
如图,平行六面体中,分别为的中点,在上.
(1)求证:平面;
(2)若平面,求平面与平面的夹角的余弦值.
如图,已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,平面⊥平面ABCD,,点P是棱的中点,点Q在棱BC上.
(1)若,证明:平面;
(2)若二面角的正弦值为,求BQ的长.
1.如图,在直三棱柱中,,,M,N,P分别为,AC,BC的中点.
求证:平面;
2.如图,在四棱锥中,平面,, 为棱的中点.
求证://平面;
3.如图,在四棱锥中,平面,,,.
(1)求证:平面;
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求平面与平面所成锐二面角的大小.
条件①:;
条件②:平面.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
4.如图,为圆锥顶点,是圆锥底面圆的圆心,,是长度为的底面圆的两条直径,,且,为母线上一点.
求证:当为中点时,平面;
5.如图,在四棱锥中,平面,,点在棱上,,点,是棱上的三等分点,点是棱的中点.,.
证明:平面,且;
6.如图,在四棱锥中,底面为正方形,,平面平面,,是的中点,作交于.
求证:平面;
7.在四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,.
(1)证明:四边形ABCD为菱形;
(2)E为棱PB上一点(不与P,B重合),证明:AE不可能与平面PCD平行.
8.如图,在平行六面体中,,,,,点为中点.
证明:平面;
线面垂直问题(勾股定理妙解)
必记结论:①特殊的平行四边形边长之比1:2,夹角为,则对角线与边垂直
②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直
③等腰三角形三线合一,三线与底垂直
④直径所对的圆周角为直角 ⑤菱形和正方形:对角线互相垂直
⑥特殊的矩形:边长之比1:2或1:有明显的直角关系
要证线面垂直,只需让线垂直于平面内两条相交直线即可
如:要证平面;
第一步:表示,表示()中的两个
第二步:
如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,.
求证:平面.
如图,在三棱柱中,平面,.
求证:平面;
三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,,分别是,的中点.
求证:平面.
1.在长方体中, 是上的点,,且的长成等比数列,又是所在的直线上的动点.
求证:平面
2.如图,在三棱柱中,平面,是的中点,是边长为的等边三角形.
证明:.
3.如图,在三棱台中,平面平面.
证明:平面;
4.如图,在四棱锥中,平面,,点在棱上,,点,是棱上的三等分点,点是棱的中点.,.
(1)证明:∥平面,且,,,四点共面;
(2)证明:平面平面;
5.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面侧面,为中点,是上的点,,.
求证:平面平面;
6.如图,四棱锥,平面平面为中点.
证明:平面平面;
7.如图几何体中,底面是边长为2的正三角形,平面,若,,,.
求证:平面平面;
8.如图,在直四棱柱中,底面为矩形,,高为,O,E分别为底面的中心和的中点.
求证:平面平面;
点面距离问题
结论1:《点线距离》《异面直线求距离问题》
结论2:《点面距离》结论3:《线面距离》
结论4:《面面距离》
结论5:《点点距离》
在棱长为1的正方体中,为的中点,则点到直线的距离为
在棱长为的正方体中,则平面与平面之间的距离为( )
已知正方形的边长为1,平面,且,,分别为,的中点.(1)求点到平面的距离;(2)求直线到平面的距离.
1.如图,在平行六面体 中,E在线段 上,且 F,G分别为线段,的中点,且底面 为正方形.
(1)求证:平面 平面
(2)若与底面不垂直,直线 与平面所成角为 且 求点 A 到平面 的距离.
2.如图,四边形是圆柱的轴截面,点在底面圆上,圆的半径为1,,点是线段的中点.
(1)证明:平面;
(2)若直线与圆柱底面所成角为,求点到平面的距离.
3.如图,在直三棱柱形木料中,为上底面上一点.
(1)经过点在上底面上画一条直线与垂直,应该如何画线,请说明理由;
(2)若,,,为的中点,求点到平面的距离.
4.如图,在直四棱柱中,底面ABCD为菱形,,,,E是的中点.
(1)证明:平面;
(2)求点B到平面的距离.
5.图,在四棱锥中,平面,底面是正方形,点E在棱上,,.
(1)证明:;
(2)求点C到平面的距离.
6.设四边形为矩形,点为平面外一点,且平面,若
(1)求与平面所成角的正切值;
(2)在边上是否存在一点,使得点到平面的距离为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
7.如图,在四棱锥中,,,平面平面.
(1)证明:平面;
(2)已知,且,求点D到平面的距离.
8.如图,在三棱柱中,,,,点E,F分别为BC,的中点.
(1)求证:平面;
(2)若底面是边长为2的正三角形,且平面平面,求点到平面的距离.
线面夹角问题(两大法)
结论1:异面直线所成角
①能建空间直角坐标系时,写出相关各点的坐标,然后利用结论求解
②不能建空间直角坐标系时,取基底的思想,在由公式求出
关键是求出及与
结论2:线面角
结论:{点面距离(往往用等体积法计算),线自身长度}
如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为正三角形,.
求直线与平面所成角的大小;
四棱锥中,平面,四边形为菱形,,,为的中点.
求与平面所成的角的正切值;
如图,在直三棱柱中,,,是的中点,是的中点.
求直线与平面所成的角的大小.
在长方体中,,,则与平面所成角的正弦值为______________.
1.如图,在几何体中,为等腰梯形,为矩形,,,,,,平面平面.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
2.如图,三棱柱中,四边形均为正方形,分别是棱的中点,为上一点.
(1)证明:平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
3.如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,,,平面平面,,点是的中点.
(1)证明:.
(2)点是的中点,,当直线与平面所成角的正弦值为时,求四棱锥的体积.
4.如图,四边形是圆柱的轴截面,点在底面圆上,圆的半径为1,,点是线段的中点.
(1)证明:平面;
(2)若直线与圆柱底面所成角为,求点到平面的距离.
5.如图,在三棱柱中,在底面ABC上的射影为线段BC的中点,M为线段的中点,且,.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求MC与平面所成角的正弦值.
6.如图,已知三棱锥平面,点是点在平面内的射影,点在棱上,且满足.
(1)求证:;
(2)求与平面所成角的正弦值.
7.如图,在三棱台中,平面,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)求与平面所成角正弦值.
8.如图,在多面体中,四边形为平行四边形,且平面,且.点分别为线段上的动点,满足.
(1)证明:直线平面;
(2)是否存在,使得直线与平面所成角的正弦值为?请说明理由.
面面夹角问题(两大法)
结论:二面角的平面角
提示:是二面角的夹角,具体取正取负完全用眼神法观察,若为锐角则取正,若为钝角则取负.
结论:任意二面角的平面角满足如()
注意:为原图上的点,而分子_则是点在面的投影点
在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,∥,平面.
求二面角的余弦值.
如图,在三棱柱-中,,,,在底面的射影为的中点,为的中点.
求二面角-BD-的平面角的余弦值.
四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠ADC=60°,PA=AD=2,E为AD的中点.
求二面角A-PD-C的正弦值.
1.如图,三棱台中,是边长为2的等边三角形,四边形是等腰梯形,且为的中点.
(1)证明:;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的大小.
2.如图,在三棱锥中,.
(1)证明:平面平面;
(2)若是线段上的点,且,求二面角的正切值.
3.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,平面为侧棱的中点.
(1)求点到平面的距离;
(2)求二面角的正切值.
4.如图,在正四面体中,是棱的两个三等分点.
(1)证明:;
(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值.
5.如图,已知平面与底面所成角为,且.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的大小.
6.如图,在四棱锥中,四边形为梯形,其中,,平面平面.
(1)证明:;
(2)若,且与平面所成角的正切值为2,求平面与平面所成二面角的正弦值.
7.如图,在三棱柱中,平面是线段上的一个动点,分别是线段的中点,记平面与平面的交线为.
(1)求证:;
(2)当二面角的大小为时,求.
8.如图,在梯形中,,,.将沿对角线折到的位置,点P在平面内的射影H恰好落在直线上.
(1)求二面角的正切值;
(2)点F为棱上一点,满足,在棱上是否存在一点Q,使得直线与平面所成的角为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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