2023-2024学年广东省深圳市宝安区宝安中学高二（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市宝安区宝安中学高二（下）月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知曲线f(x)=x3−x+3在点P处的切线与直线x+2y−1=0垂直，则P点的坐标为( )
A. (1,3)B. (−1,3)C. (1,3)或(−1,3)D. (1,−3)
2.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则点A1到平面ECC1的距离为( )
A. 15B. 55C. 2 55D. 25
3.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则不等式x⋅f′(x)b>0)的左、右焦点，如图，过F2的直线与C交于点A，与y轴交于点B，F1A⋅F1B=0，BF2=4F2A，设C的离心率为e，则( )
A. |AF2|=a2
B. 2cs∠BF1F2=e
C. sin∠F1AF2=35
D. e2=25
11.已知函数f(x)=x2+3x+1ex，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)存在三个不同的零点
B. 函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C. 若x∈[t,+∞)时，f(x)max=5e，则t的最大值为1
D. 当−e20,b>0)过点(2 2,1)，且与双曲线D：y22−x28=1有相同的渐近线．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y=k(x+32)(k≠0)与双曲线C交于M，N两点，且线段MN的垂直平分线过点B(0,1)，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，M，N分别是CC1，BC的中点，点P是线段A1B1上动点且PN⊥AM恒成立．
(1)证明：AB⊥AC；
(2)当三棱锥A−PNA1与三棱锥M−PNA1的体积之和为56时，求平面PMN与平面ABC所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第n(n∈N*)次得到的数列的所有项之和记为an．
(1)设第n次构造后得的数列为1，x1，x2，…，xk，2，则an=3+x1+x2+…+xk，请用含x1，x2，…，xk的代数式表达出an+1，并推导出an+1与an满足的关系式；
(2)求数列{an}的通项公式an；
(3)证明：1a1+1a2+1a3+…+1anln(n+1)+n．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由f(x)=x3−x+3，得f′(x)=3x2−1，
设P(t,t3−t+3)，则f′(t)=3t2−1，
∵曲线f(x)=x3−x+3在点P处的切线与直线x+2y−1=0垂直，
而直线x+2y−1=0的斜率为−12，
∴f′(t)=2，即3t2−1=2，解得t=±1．
∴P点的坐标为(1,3)或(−1,3)．
故选：C．
求出原函数的导函数，设P点坐标，利用切点处的导数值等于2求解切点横坐标，则答案可求．
本题考查导数的几何意义及应用，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，
如图，以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(2,0,0)，E(2,1,2)，C(0,2,2)，C1(0,2,0),A1E=(0,1,2),EC=(−2,1,0),EC1=(−2,1,−2)，
设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅EC=−2x+y=0m⋅EC1=−2x+y−2z=0，令x=1，得m=(1,2,0).|A1E⋅m||m|=2 5，
∴点A1到平面ECC1的距离为2 55．
故选：C．
以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面ECC1的距离．
本题考查空间中点到平面的距离公式、正方体结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3.【答案】D
【解析】解：由图象知f(x)在(−∞,12)和(2,+∞)上单调递增，在(12,2)上单调递减
∴f′(x)>0的解集为(−∞,12)∪(2,+∞)，f′(x)lnn+1n+1=ln(n+1)−lnn+1，
∴e+e12+⋯+e1n>ln2−ln1+ln3−ln2+ln4−ln3+⋯+ln(n+1)−lnn+n，
∴e+e12+⋯+e1n>ln(n+1)+n，
即i=1ne1i>ln(n+1)+n．
【解析】(1)求导，按照a的正负，讨论f′(x)正负得解．
(2)令g(x)=f(x)+x−lnx，分a=1和a>1两种情况讨论，利用导数判断单调性，求出最小值证明．
(3)由(2)，当a=1时，有ex−1≥lnx+1，令x=n+1n，n∈N*，代入运算得证．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．