2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型导数——讲义

这是一份2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型导数——讲义，共4页。试卷主要包含了导数的概念，导数的几何意义，复合函数的求导法则等内容，欢迎下载使用。
一、导数的概念
1.函数的平均变化率：
定义：一般地，已知函数，，是其定义域内不同的两点，记，
，则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率．
注：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为．
2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率．
函数的导数：“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：
“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．
这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当时，”或“”．
3．可导与导函数：
定义：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间 内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）．
注：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．
二、导数的几何意义
1.导数的几何意义：
意义：设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．
2.求曲线的切线方程
方法：若曲线在点及其附近有意义，给横坐标一个增量，相应的纵坐标也有一个增量，对应的点.则为曲线的割线.当时,如果割线趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线的斜率就趋近于切线的斜率.切线的方程为.
第02讲 导数的运算
一、初等函数的导数公式表
注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．
二、导数的四则运算法则
1.函数和（或差）的求导法则
设，是可导的，则，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．
2.函数积的求导法则
设，是可导的，则，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．
综上所述：，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．
3.函数的商的求导法则
设，是可导的，，则．特别是当时，有．
三、复合函数的求导法则
法则：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数。那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。复合函数的导数和函数的导数间的关系为（注：表示对的导数，表示对的导数
第03讲 利用导数研究函数的单调性
一、单调性
【定理】 设函数在上连续，在内可导.
（1）如果在内，那么函数在上单调增加；
（2）如果在内，那么函数在上单调减少.
【解读】设函数在某区间内可导，在该区间上单调递增；在该区间上单调递减.反之，若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）.
二、求可导函数单调区间
1) 确定函数的的定义区间；
2) 求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
3) 把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
4) 确定在各个区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间内的增减性.
第04讲利用导数研究函数的极值与最值
函数的极值
定义：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
二、求函数的极值的三个基本步骤
1) 求导数；
2) 求方程的所有实数根；
3) 检验在方程的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则在这个根处取得极大（小）值.
三、求函数最值
1) 求函数在区间上的极值；
2) 将极值与区间端点函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.
，为正整数
，为有理数