2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型平面向量及其应用-讲义

这是一份2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型平面向量及其应用-讲义，共5页。试卷主要包含了平面向量的概念，向量加法的运算律，平面向量共线定理，数量积的性质等内容，欢迎下载使用。
1.平面向量的概念：
向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作.
零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作.
单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：.
规定：零向量与任意向量平行.
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§6.2.平面向量的运算
§向量的加法运算
1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则.


2.≤（当且仅当与方向方向相同时等号成立）.
3.向量加法的运算律：
交换律： 结合律：
§向量的减法运算
相反向量：
与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.记作.
向量减法的定义：
加上的相反向量，叫做与的差.
3. 向量减法的法则：三角形法则.

§向量的数乘运算
数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下：
⑴；
⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.
2.运算律：
；；
3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算.
4.平面向量共线定理：
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
§向量的数量积
向量的夹角：
已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作,则叫做向量与的夹角.
2. 与垂直：
如果与的夹角是 ，则与垂直，记作.
3.数量积：
已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.
4.投影向量：
向量在上的投影向量：在平面内任取一点O，作,过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
设与同方向的单位向量为，与的夹角为，则.
5.数量积的性质：
（1）
（2）
（3） 或
（4）
6.数量积的运算律：
（1）
（2）
（3）
结论： ，.
§6.3平面向量基本定理及坐标表示
§6.3.1平面向量基本定理
平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
§6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
2.向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中,设与轴.轴方向相同的两个单位向量分别为 ,取作为基底.对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得 ，这样平面内的任一向量都可由唯一确定,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做 在 轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.
§6.3.3平面向量加.减运算的坐标表示
1.设，则：
⑴，
⑵，
即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
2.已知 ，则 .
§6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
1.设，则.
2.设,则向量共线的充要条件是 .
§6.3.5平面向量数量积的坐标表示
1. 设，则：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）设，则：.
6.4 平面向量的应用
1.余弦定理： 推论：
2.正弦定理：
.
（其中为外接圆的半径）