2023-2024学年河南省南阳市方城县八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市方城县八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y=1x+1中，自变量x的取值范围是( )
A. x>−1B. x≠−1C. x≥−1D. x=−1
2.下列各式中，分式的个数为( )
a2x−1，xπ+1，−3ab，12x+y12x+y，12x+y．
A. 5B. 4C. 3D. 2
3.下列分式中，属于最简分式的是( )
A. 24xB. −1−xx−1C. x+1x2+1D. x−1x2−1
4.点A(4,−8)关于y轴的对称点的坐标是( )
A. (−4,−8)B. (4,8)C. (4,−8)D. (−4,8)
5.下列各图y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
6.解分式方程2x−3−x−13−x=2时，去分母后变形为( )
A. 2−(x−1)=2(x−3)B. 2+(x−1)=2(x−3)
C. 2−(x−1)=2D. 2+(x−1)=2(3−x)
7.如果把分式5xyx+y中的x、y都扩大到原来的5倍，那么分式的值( )
A. 扩大到原来的25倍B. 扩大到原来的5倍C. 不变D. 缩小到原来的15
8.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的52倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是( )
A. 800x+2=52×800x−1B. 800x−2=52×800x+1
C. 800x−1=52×800x+2D. 800x+1=52×800x−2
9.甲、乙两人骑车从A地出发前往B地，匀速骑行．甲、乙两人与A地的距离y(km)关于乙骑行的时间x(h)之间的关系图象如图所示．当x=3时，甲、乙两人相距( )
A. 15kmB. 20kmC. 18kmD. 30km
10.已知a≠−1，b≠−1，设M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1，结论Ⅰ：当ab=1时，M=N；结论Ⅱ：当a+b=0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( )
A. Ⅰ和Ⅱ都对B. Ⅰ和Ⅱ都不对C. Ⅰ不对Ⅱ对D. Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知一粒大米的质量为0.000021千克，把0.000021用科学记数法表示为 ．
12.在平面直角坐标系中，若点A(2,a)在第四象限，a的值为______.(写出一个即可)
13.关于x的分式方程2+1−mx−2=x2−x有增根，则m= ______．
14.如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为(−2,2)，(−3,0)，则叶杆“底部”点C的坐标为______．
15.对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号Max{a,b}表示a，b中的较大值，如：Max{2,4}=4，按照这个规定，方程Max{−1x,1x}=23−x的解为______．
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
16.计算：
(1)a2a−1−a−1；
(2)a−2a÷a2−4a2+a−1．
17.先化简：(5a−2−a−2)÷a2+6a+9a−2，再从−3，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
四、解答题：本题共6小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
(1)解分式方程：2x−2=3x；
(2)解分式方程：5x−4x−2=4x−103x−6−1．
19.(本小题9分)
已知点P(2m−1,m+2)，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
(1)点P的纵坐标比横坐标大5；
(2)点P到y轴的距离为3，且在第二象限．
20.(本小题9分)
小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后继续骑车去学校．如图是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的距离是______米，文具店到学校的距离是______米．
(2)小明在文具店停留了______分钟，本次上学途中，小明一共行驶了______米．
(3)在整个上学途中，哪个时间段小明骑车速度最快？最快的速度是多少？
(4)如果小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？本次上学比往常多用了多长时间？
21.(本小题9分)
已知关于x的方程：x+1x−2=mxx−2−3．
(1)当方程的解为正整数时，求整数m的值；
(2)当方程的解为正数时，求m的取值范围．
22.(本小题10分)
一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为x km/h．
(1)直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为______h；
(2)求汽车实际走完全程所花的时间；
(3)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以a km/h的速度行驶，另一半路程以bkm/h的速度行驶(a≠b)，则用时t1小时，若用一半时间以a km/h的速度行驶，另一半时间以b km/h的速度行驶，则用时t2小时，请比较t1、t2的大小，并说明理由．
23.(本小题10分)
阅读下列材料：求分式方程x+kx=m的解，不妨设k=ab，m=a+b，可得x1=a，x2=b是该分式方程的解.例如：求分式方程x+6x=−5的解，可发现k=6=(−2)×(−3)，m=−5=(−2)+(−3)，容易检验x1=−2，x2=−3是该方程的解.根据以上材料回答下列问题：
(1)求分式方程x+5x=−6的解；
(2)若x1=m，x2=n是分式方程x−3x=4的两个解，求1m+1n的值；
(3)设a为常数且a≠0，若关于x的分式方程x+a2+2ax+1=2a+1的两个解分别为x1，x2，求(x1−x2)2的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：
x+1≠0，
解得：x≠−1，
故选：B．
根据分母不为0可得：x+1≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：xπ+1，12x+y，12x+y的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
a2x−1，−3ab，12x+y分母中含有字母，因此是分式．
故选：C．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
3.【答案】C
【解析】解：A、24x=2x，不是最简分式，不符合题意；
B、−1−xx−1=−1，不是最简分式，不符合题意；
C、x+1x2+1是最简分式，符合题意；
D、x−1x2−1=x+1，不是最简分式，不符合题意．
故选：C．
根据最简分式的概念判断即可．
本题考查的是最简分式的概念，关键是记忆一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
4.【答案】A
【解析】解：点A(4,−8)关于y轴的对称点的坐标是：(−4,−8)．
故选：A．
直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是有唯一的值和它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，y不是有唯一的值和它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，y不是有唯一的值和它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意；
故选：D．
根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，判断即可．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：分式方程变形得：2x−3+x−1x−3=2，
去分母得：2+(x−1)=2(x−3)．
故选：B．
找出分式方程的最简公分母x−3，去分母得到结果，即可作出判断．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7.【答案】B
【解析】解：当x、y都扩大到原来的5倍，
5xy扩大到原来的25倍，x+y扩大到原来的5倍，
∴分式的值扩大到原来的5倍．
故选：B．
把分式5xyx+y中的x、y都扩大到原来的5倍，5xy扩大到原来的25(5×5=25)倍，x+y扩大到原来的5倍，所以分式的值扩大到原来的5倍，据此解答即可．
此题主要考查了分式的基本性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
800x−2=52×800x+1，
故选：B．
根据题意可知慢马的速度为800x+1，快马的速度为800x−2，再根据快马的速度是慢马的52倍，即可列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9.【答案】A
【解析】解：甲的速度为：30÷(1.5−0.5)=30(km/h)，乙的速度为：30÷1.5=20(km/h)，
3h时，甲、乙两人相距：30×(3−0.5)−20×3=15(km)，
故选：A．
根据题意和函数图象中的数据求出两人的速度，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】A
【解析】解：结论Ⅰ：当ab=1，则M=aa+1+bb+1=aa+ab+bb+ab=aa(b+1)+bb(a+1)=1b+1+1a+1=N．
∴当ab=1时，M=N，即结论Ⅰ正确．
结论Ⅱ：当a+b=0时，则b=−a．
∴M=aa+1+bb+1=aa+1+−a−a+1=−2a2(1+a)(1−a)，N=1a+1+1b+1=1a+1+1−a+1=2(a+1)(1−a)．
∴MN=−4a2(1−a2)2≤0．
∴结论Ⅱ正确．
综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确．
故选：A．
根据分式的加法法则解决此题．
本题主要考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法法则是解决本题的关键．
11.【答案】2.1×10−5
【解析】解：0.000021用科学记数法可表示为2.1×10−5．
故本题答案为：2.1×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查科学记数法，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】解：∵点A(2,a)在第四象限内，
∴a<0，
∴a的取值可以是−1，
故答案为：−1(答案不唯一)．
根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征，可得a<0，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】【解析】
解：去分母得：2x−4+1−m=−x，
由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程得：1−m=−2，
解得：m=3，
故答案为：3．
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】(2,−3)
【解析】解：因为A，B两点的坐标分别为(−2,2)，(−3,0)，
所以得出坐标轴如下图所示位置：
所以点C的坐标为(2,−3)．
故答案为：(2,−3)．
根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得．
本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．
15.【答案】x=1或x=−3
【解析】解：当−1x<1x时，方程整理得：1x=23−x，
去分母得：3−x=2x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解；
当−1x>1x时，方程整理得：−1x=23−x，
去分母到：x−3=2x，
解得：x=−3，
经检验x=−3是分式方程的解．
故答案为：x=1或x=−3．
分类讨论−1x与1x的大小，利用题中的新定义化简，求出解即可．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：(1)a2a−1−a−1
=a2a−1−(a+1)
=a2−(a+1)(a−1)a−1
=a2−a2+1a−1
=1a−1；
(2)a−2a÷a2−4a2+a−1
=a−2a×a(a+1)(a+2)(a−2)−1
=a+1a+2−1
=a+1−a−2a+2
=−1a+2．
【解析】(1)先对原式通分变为同分母分式，再相减即可解答本题；
(2)先对原式化简，再通分变为同分母分式再相减即可解答本题．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
17.【答案】解：原式=[5a−2−(a+2)(a−2)a−2]⋅a−2(a+3)2
=5−a2+4a−2⋅a−2(a+3)2
=(3−a)(3+a)(a+3)2
=3−aa+3，
∵x≠2，−3，
∴x=0．
当x=0时，原式=33=1．
【解析】括号内通分计算，再将除法转化为乘法计算，最后选择合适的a值代入求值即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式．
18.【答案】解：(1)方程两边同时乘以x(x−2)得：2x=3(x−2)，
解得：x=6，
检验：把x=6代入x(x−2)≠0，
因此分式方程的解为：x=6
(2)方程两边同时乘以3(x−2)得：3(5x−4)=4x−10−3(x−2)，
15x−12=4x−10−3x+6，
14x=8，
解得：x=47，
检验：把x=47代入3(x−2)≠0，
因此分式方程的解为x=47．
【解析】(1)根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验，看整式方程的解是否是分式方程的解即可．
(2)根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验，看整式方程的解是否是分式方程的解即可．
本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程是关键．
19.【答案】解：(1)∵点P(2m−1,m+2)的纵坐标比横坐标大5，
∴m+2−(2m−1)=5，
解得m=−2，
∴2m−1=−5，m+2=0，
∴点P的坐标为(−5,0)；
(2)∵点P到y轴的距离为3，
∴|2m−1|=3，
解得m=2或m=−1，
又∵点P在第二象限，
∴2m−1<0，
∴m=−1，
此时2m−1=−3，m+2=1，
∴点P的坐标为(−3,1)．
【解析】(1)根据纵坐标比横坐标大5列方程求解m的值，再求解即可；
(2)根据点P到y轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
本题考查了点的坐标，根据题意列出相关方程是解答本题的关键．
20.【答案】1500 900 4 2700
【解析】解：(1)由题意可知，小明家到学校的距离是1500米，
1500−600=900(米)．
即文具店到学校的距离是900米．
故答案为：1500；900；
(2)12−8=4(分钟)．
故小明在文具店停留了4分钟．
1200+(1200−600)+(1500−600)=2700(米)．
故本次上学途中，小明一共行驶了2700米，
故答案为：4；2700；
(3)根据题中图象，可知第12分钟至第14分钟这一时间段的线段最陡，所以小明在第12分钟至第14分钟这一时间段的骑车速度最快，
此时速度为1500−60014−12=450(米/分)；
(4)小明往常的速度为1 200÷6=200(米/分)，
去学校需要花费的时间为1 500÷200=7.5(分钟)，
本次上学共用了14分钟，比往常多用的时间为14−7.5=6.5(分钟)．
(1)根据函数图象的纵坐标，可得答案；
(2)根据函数图象的横坐标，可得到达文具店时间，离开文具店时间，根据有理数的减法，可得答案，根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
(3)根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度；
(4)根据路程、速度，即可得到时间．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
21.【答案】解：(1)去分母得：x+1=mx−3(x−2)，
解得：x=54−m，
∵方程的解为正整数，且m为整数，
∴4−m=5或4−m=1，
解得：m=−1或3，
∴整数m的值为−1或3；
(2)去分母得：x+1=mx−3(x−2)，
解得：x=54−m，
∵方程的解为正数且x≠2，
∴54−m>0且54−m≠2，
解得：m<4，且m≠32，
∴m的取值范围为m<4且m≠32．
【解析】(1)去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正整数，得出关于m的方程，解方程即可得出m的值；
(2)去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正数及分式方程的意义，得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围．
本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于m的方程或不等式是解决问题的关键．
22.【答案】360−2x3x
【解析】解：(1)∵设前一小时行驶的速度为x km/h，且提速后的速度为原来速度的1.5倍，
∴提速后走完剩余路程的时间为180−x1.5x=360−2x3x(h)，
故答案为：360−2x3x；
(2)依题意，得：180−xx−360−2x3x=4060，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴180x−4060=73，
答：汽车实际走完全程所花的时间为73h；
(3)t1>t2，理由：
∵t1=90a+90b=90(a+b)ab t2=360a+b，
∴90(a+b)ab−360a+b=90(a−b)2ab(a+b)，
∵a，b均为正数，且a≠b，
∴(a−b)2>0，ab(a+b)>0，
∴90(a−b)2ab(a+b)>0，即90(a+b)ab−360a+b>0，
∴t1>t2．
(1)根据时间=路程÷速度，可找出提速后走完剩余路程的时间；
(2)根据提速后比原计划提前40min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入(180x−4060)中即可求出结论；
(3)利用时间=路程÷速度，分别找出按照司机及朋友的方案所需时间，比较(做差)后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，求出提速后走完剩余路程的时间；(2)找准等量关系，正确列出分式方程；(3)根据各数量之间的关系，用含m，n的代数式表示出按照司机及朋友的方案所需时间．
23.【答案】解：(1)x+5x=−6可化为x+(−1)×(−5)x=(−1)+(−5)，
∴x1=−1，x2=−5．
经检验x1=−1，x2=−5是该方程的解．
(2)由已知得mn=−3，m+n=4，
∴1m+1n
=m+nmn
=4−3
=−43．
(3)原方程变为x+1+a(a+2)x+1=a+(a+2)，
∴x1+1=a，x2+1=a+2，
∴x1=a−1，x2=a+1，
∴x1−x2=a−1−(a+1)=−2，
∴(x1−x2)2=(−2)2=4．
【解析】(1)类比题目中“阅读材料”的答题方法即可求解．
(2)结合运用“阅读材料”即可求出m和n的值，并代数运算即可求解；
(3)善于观察并分析方程，即可求出x1和x2的值，代入运算即可求解．
本题考查根与系数的关系，分式方程；理解“阅读材料”中的答题方法，能够将所求分式方程转化为k=ab，m=a+b求解是解题的关键．