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2024年甘肃省武威十六中教研联片中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年甘肃省武威十六中教研联片中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组数中，成比例的是( )
A. 1，−2，−3，−6B. 1，4，2，−8
C. 5，6，2，3D. 2， 6，1， 3
2.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则csA的值是( )
A. 55
B. 22
C. 33
D. 2 55
3.下列各点中，在反比例函数y=−2x图象上的点是( )
A. (−4,2)B. (−2,−4)C. (−2,1)D. (2,1)
4.若点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y1>y3>y2 D. y3>y2>y1
5.下列两个图形一定是相似图形的是( )
A. 菱形B. 矩形C. 等腰三角形D. 等边三角形
6.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图：△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为(−1,2)，则点B1的坐标为( )
A. (2,−4)
B. (−2,4)
C. (3,−6)
D. (3,6)
8.如图，⊙A过点O(0,0)，C( 3,0)，D(0,1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是
( )
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
9.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是( )
A. BD=10B. HG=2C. EG//FHD. GF⊥BC
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= 5.以AB为直径作⊙O，作直径CD，连结AD并延长至点E，使DE=AD，连结CE交AB于点F，DG//AB交CE于点G.若AC=2EG，则直径AB的长为( )
A. 3 2
B. 19
C. 2 5
D. 21
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在反比例函数y=2x的图象上，若点B在反比例函数y=kx的图象上，则k=______．
12.如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE，AE=4，EB=1，则BC的长为______．
13.五边形ABCDE～五边形A′B′C′D′E′相似比为1：3.若AB=2，则A′B′= ______．
14.将含有30°角的直角三角板OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB=2 3，将三角板绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为______．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4 3，点P是直角边BC上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得线段AD，连接CD，则线段CD的最小值是______．
16.在Rt△ABC中，∠C=90°，csB=57，如果AB=14，那么AC= ______．
17.如图，A、B、C为⊙O上的点，OC//AB，连接OA，BC交于点D，若AC=CD，OC=2，则AB的长为______．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点F、G分别在AB、DC边上，沿GF将四边形AFGD翻折得到四边形EFGP，且点E落在BC边上，EP交CD于点H.若sin∠CGP=35,GF=2 5，则CE的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：(1− 3)0+|− 2|−2cs45°+(14)−1；
(2)解方程：3x2−6x−1=0．
20.(本小题4分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．
(1)请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
21.(本小题6分)
一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3.这些小球除标有的数字外都相同．
(1)从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为______；
(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
22.(本小题6分)
某片果园有果树100棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系为：y=−12x+80．
(1)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实8250千克？
(2)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
23.(本小题6分)
已知反比例函数y=m−8x(m为常数)．
(1)若函数图象经过点A(−1,6)，求m的值；
(2)若x>0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
24.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD，CH分别是AB边上的中线和高，BC=6，cs∠ACD=45，求AB，CH的长．
25.(本小题6分)
如图，矩形ABCD中，⊙O经过点A，且与边BC相切于M点，⊙O过CD边上的点N，且CM=CN．
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若BE=2，AE=6，求BC的长．
26.(本小题6分)
如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，BE平分∠ABC交⊙O于E，过B作BD⊥EC的延长线于D．
(1)若AB=BE，求证：∠BCA=∠BAE；
(2)若AB=12，BC=5，求AE的长度．
27.(本小题8分)
根据下列题目要求，解答下列问题：
(1)如图1，已知正方形ABCD和正方形BEFG，连接AG、CE.求证：AG=CE．
(2)如图2，在矩形ABCD中，AB：BC=2：3，已知矩形ABCD∽矩形GBEF，相似比为AD：GF= 3，∠ABG=30°，连接AG、CE，延长EF交BC于M.探究线段AG与CE的数量关系．
28.(本小题10分)
抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和B(4,0)，与y轴交于点C，连接BC。点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过点C作CH⊥PN于点H，BN=3CH．
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.由−2×(−3)≠1×(−6)，得1，−2，−3，−6不成比例，故A不符合题意．
B.由4×2≠1×(−8)，得1，4，2，−8不成比例，故B不符合题意．
C.由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意．
D.由 2× 3= 6×1，得 2， 6，1， 3成比例，故D符合题意．
故选：D．
根据比例的性质解决此题．
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：如图，
从图形可知：AE=4，CE=2，
由勾股定理得：AC= CE2+AE2= 22+42=2 5，
csA=AEAC=42 5=2 55．
故选：D．
根据勾股定理求出AC，根据锐角三角函数的定义求出即可．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
3.【答案】C
【解析】解：当x=−4时，y=12，故(−4,2)不在反比例函数y=−2x图象上；
当x=−2时，y=1，故(−2,−4)不在反比例函数y=−2x图象上；
当x=−2时，y=1，故(−2,1)在反比例函数y=−2x图象上；
当x=2时，y=−1，故(2,1)不在反比例函数y=−2x图象上；
故选：C．
将各选项坐标代入解析式可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，
∴y1=−6−1=6，y2=−62=−3，y3=−63=−2，
又∵−3<−2<6，
∴y1>y3>y2．
故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意；
故选：D．
根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．
此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形定义．
6.【答案】B
【解析】解：∵小正方形的边长均为1，
∴△ABC三边分别为2， 2， 10，
同理：A选项中各边的长分别为： 5，1，2 2；
B选项中各边长分别为： 2，1， 5；
C选项中各边长分别为：3、 5， 2；
D选项中各边长分别为：2， 5， 13；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 2，
故选：B．
根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
本题考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．
7.【答案】C
【解析】解：∵△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为(−1,2)，
∴点B1的坐标为[−1×(−3),2×(−3)]，即(3,−6)．
故选：C．
直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出相似三角形的性质是解题关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，关键是求出∠DCO=30°，属于基础题．
连接DC，易得∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
【解答】
解：连接DC，
∵C( 3,0)，D(0,1)，
∴∠DOC=90°，OD=1，OC= 3，
∴DC=2，
易得∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选B．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，BC=AD，
∵AB=6，BC=8，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10，
故A选项不符合题意；
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴AB=BG=6，CD=DH=6，
∴GH=BG+DH−BD=6+6−10=2，
故B选项不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，
∴EG//FH．
故C选项不符合题意；
∵GH=2，
∴BH=DG=BG−GH=6−2=4，
设FC=HF=x，则BF=8−x，
∴x2+42=(8−x)2，
∴x=3，
∴CF=3，
∴BFCF=53，
又∵BGDG=64=32，
∴BFCF≠BGDG，
若GF⊥BC，则GF//CD，
∴BFCF=BGDG，
故D选项不符合题意．
故选：D．
由矩形的性质及勾股定理可求出BD=10；由折叠的性质可得出AB=BG=6，CD=DH=6，则可求出GH=2；证出∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，由平行线的判定可得出结论；由勾股定理求出CF=3，根据平行线分线段成比例定理可判断结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接BD，
∵AB与CD是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CAD=∠CBD=90°，
∴四边形ACBD为矩形，
∴BC=AD= 5，
∵DE=AD，且DG//AB，
∴DG是△EAF的中位线，
∴AE=2AD=2 5，
设EG=FG=x，则EF=2x，
∵BC//AE，
∴△CBF∽△EAF，
∴CFEF=BCAE=12，
∴CF=x，
∴EF=2x，
∴EC=EF+CF=3x，
∵AC=2EG，
∴AC=EF=2x，
在Rt△AEC中，由勾股定理得，4x2+20=9x2，
解得x=2(负值舍去)，
∴AC=2x=4，
∴AB= AC2+BC2= 42+( 5)2= 21，
故选：D．
连接BD，得四边形ACBD为矩形，得BC=AD= 5，再根据△CBF∽△EAF，得CFEF=BCAE=12，设CF=x，则EC=EF+CF=3x，AC=2EG=2x，从而解决问题．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，证明△CBF∽△EAF是解题的关键．
11.【答案】−6
【解析】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是(m,n)，则AC=n，OC=m．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC．
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴OBOA= 3，
∴BDOC=ODAC=OBOA= 3，
设A(m,n)，则B(− 3n, 3m)，
∵点A在反比例函数y=2x的图象上，
∴mn=2，
∴− 3n⋅ 3m=−3×2=−6，
∴k=−6．
故答案为：−6．
要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：BDOC=ODAC=OBOA= 3，然后用待定系数法即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B的坐标(用含n的式子表示)是解题的关键．
12.【答案】 5
【解析】解∵四边形ABCD和四边形BCFE都是矩形，
∴AD=BC，EF=BC，
∴AD=EF=BC，
∵AE=4，EB=1，
∴AB=AE+BE=5，
∵矩形ABCD∽矩形BCFE，
∴ABBC=ADBE，即5BC=BC1，
∴BC= 5(负值舍去)，
经检验，BC= 5是原方程的解，
故答案为： 5．
先根据矩形的性质得到AD=EF=BC，再求出AB=AE+BE=5，最后根据相似多边形对应边成比例得到ABBC=ADBE，据此代值计算即可．
本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
13.【答案】6
【解析】解：∵五边形ABCDE～五边形A′B′C′D′E′相似比为1：3．
∴ABA′B′=13，
∵AB=2，
∴A′B′=6．
故答案为：6．
利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可．
本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．
14.【答案】(3,−3 3)
【解析】解：如图，过点A′作A′H⊥OB于点H．
在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2 3，
∴OB=4 3，OA=6，
∵将三角板绕原点O顺时针旋转90°，
∴OA′=OA=6，∠A′OB′=30°，
在Rt△OA′H中，∠OHA′=90°，∠A′OH=60°，
∴OH=OA′⋅cs60°=3，A′H=3 3，
∴A′(3,−3 3)，
故答案为：(3,−3 3).
如图，过点A′作A′H⊥OB于点H.解直角三角形求出OH，A′H可得结论．
本题考查旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15.【答案】2
【解析】解：将AC绕点A顺时针旋转60°至点E，连接ED，如图：
则△AED≌△ACP，
∴点D在直线ED上运动，当CD⊥ED时，CD有最小值，
过C作CF⊥AE，
∵∠B=30°，BC=4 3，
∴AE=AC=BC⋅tan30°=4 3× 33=4，
∵∠EAB=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AF=12AC=2，
∴CD=AE−AF=4−2=2．
故答案为：2．
将AC绕点A顺时针旋转60°至点E，连接ED，则△AED≌△ACP，确定点D的运动轨迹，过C作CF⊥AE，根据勾股定理即可解答．
本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，确定何时CD有最小值是解题关键．
16.【答案】4 6
【解析】解：∵csB=57，AB=14，
∴csB=BCAB=BC14=57，
∴BC=10，
∴AC= AB2−BC2= 142−102=4 6．
故答案为：4 6．
根据csB=57，AB=14，得csB=BCAB=BC14=57，求出BC=10，再根据勾股定理可得AC的长．
此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
17.【答案】2 2
【解析】解：过点O作OE⊥AB交于点E，如图：
设∠ABC=α，则∠AOC=2∠ABC=2α，
∵OC//AB，
∴∠BAO=∠AOC=2α，
则∠ADC=∠BAO+∠ABC=2α+α=3α，
∵AC=CD，
∴∠ADC=∠DAC=3α，
∵OA=OC=2，
∴∠OCA=∠OAC=3α，
∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，
即2α+3α+3α=180°，
解得：α=22.5°，
∴∠BAO=2×22.5°=45°，
∵OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，AE=BE，
∴∠EAO+∠EOA=90°，
即∠EAO=∠EOA=45°，
∴AE=OE，
在Rt△AEO中，AE2+OE2=AO2，
即2AE2=4，
解得：AE= 2，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，
∴AB=2AE=2 2，
故答案为：2 2．
过点O作OE⊥AB交于点E，设∠ABC=α，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=2α，根据平行线的性质可得∠BAO=∠AOC=2α，根据三角形的外角性质可得∠ADC=3α，根据等边对等角可得∠ADC=∠DAC=3α，∠OCA=∠OAC=3α，根据三角形的内角和定理即可求得α=22.5°，∠BAO=45°，根据直角三角形两个锐角互余可求得∠EAO=∠EOA=45°，根据等角对等边可得AE=OE，根据勾股定理即可求得AE= 2，根据垂径定理可得AE=BE，即可求解．
本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的外角性质，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形两个锐角互余，等角对等边，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆和三角形的相关知识是解题的关键．
18.【答案】 2
【解析】解：由折叠的性质得：∠AOF=∠EOF，
∵∠AOF+∠EOF=180°，
∴∠AOF=∠EOF=90°，
∴GF⊥AE，
过G作GM⊥AB于M，如图1所示：
则∠FMG=90°，四边形ADGM是矩形，
∴AD=GM，∠MFG+∠MGF=90°，
由(1)得：GF⊥AE，
∴∠MFG+∠FAO=90°，
∴∠BAE=∠MGF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠D=∠B=90°=∠FMG，
∴△ABE∽△GMF，
∴AEGF=ABGM=ABAD=ABBC=2，
∴AE=2GF，
过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，如图2所示，
由折叠的性质得：AF=EF，∠FEP=∠FAD=∠D=∠EPG=90°，
∴∠CGP+∠GHP=90°，
∵∠PEC+∠EHC=90°，∠GHP=∠EHC，
∴∠PEC=∠CGP，
∵∠BFE+∠BFE=∠BEF+∠PEC=90°，
∴∠BFE=∠PEC=∠CGP，
∵sin∠CGP=35
∴sin∠BFE=BEEF=35，
设BE=3x，则AF=EF=5x，
∴BF= EF2−BE2= 25x2−9x2=4x，
∴AB=AF+BF=9x，
∵AE=2GF，GF=2 5，
∴AE=4 5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，
即(9x)2+(3x)2=(4 5)2，
解得：x=2 23或x=−2 23(舍去)，
∴AB=9x=6 2，BE=3x=2 2，
∵AB=2BC，
∴BC=3 2，
∴CE=BC−BE=3 2−2 2= 2．
故答案为： 2．
由折叠的性质得出GF⊥AE，过G作GM⊥AB于M，证△ABE∽△GMF，得AEGF=ABGM=ABAD=ABBC=2，可得AE=2GF，过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，由折叠的性质得AF=EF，∠FEP=∠FAD=∠D=∠EPG=90°，再证出∠BFE=∠PEC=∠CGP，则sin∠BFE=BEEF=35，设BE=3x，则AF=EF=5x，BF=4x，AB=AF+BF=9x，然后在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=1+ 2−2× 22+4
=1+ 2− 2+4
=5；
(2)3x2−6x−1=0，
a=3，b=−6，c=−1，
Δ=(−6)2−4×3×(−1)=48>0．
∴x=6± 486，
∴x1=3+2 33，x2=3−2 33．
【解析】(1)先根据零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值和负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
(2)利用公式法求解．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，负整数指数幂和解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求，
由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A(2,2)，C(4,−4)，B(4,0)，易得D(4,2)，
故AD=2，CD=6，AC= 22+62=2 10，
∴sin∠ACB=ADAC=22 10= 1010，
即sin∠A2C2B2= 1010．
【解析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了平移变换以及位似变换、锐角三角三角函数关系等知识，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】12
【解析】解：(1)由题意可得，
从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为24=12，
故答案为：12；
(2)树状图如下：
由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率716．
(1)根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率；
(2)根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
22.【答案】解：(1)根据题意，得，
(−12x+80)(100+x)=8250，
解得，x1=10，x2=50，
∵投入成本最低．
∴x2=50不满足题意，舍去，
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实8250千克．
(2)根据题意可知，
w=(−12x+80)(100+x)
=−12(x−30)2+8450，
∵−12<0，
∴当x=30时，w的最大值为8450．
∴当增种果树30棵时，果园的总产量w(千克)最大，最大产量是8450千克．
【解析】(1)根据题意列出方程，可求解；
(2)根据题意列出w与x的函数关系式，根据二次函数的性质可得出结论．
本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质属于中考常考题．
23.【答案】解：(1)∵函数图象经过点A(−1,6)，
∴m−8=xy=−1×6=−6，
解得：m=2，
∴m的值是2；
(2)∵若x>0时，y随x的增大而减小，
∴m−8>0，
解得：m>8，
∴m的取值范围是m>8．
【解析】(1)将点A的坐标代入即可求得m的值；
(2)根据增减性确定m−8的符号，从而确定m的取值范围．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．
24.【答案】解：∵CD是Rt△ABC的斜边中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴csA=cs∠ACD=45，
∵∠ACB=90°，在Rt△ABC中，
由于csA=ACAB=45，
可设AC=4x，则AB=5x，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2= (5x)2−(4x)2=3x，
∴3x=6，
即x=2，
∴AB=5x=10，AC=4x=8，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，
∴12×8×6=12×10×CH，
解得CH=245．
答：AB=10，CH=245．
【解析】根据三角形中线的定义，等腰三角形性质以及锐角三角函数可得csA=ACAB=45，设AC=4x，则AB=5x，勾股定理可求出BC=3x=6，进而求出AB，再根据三角形面积公式求出CH即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．
25.【答案】(1)证明：连接OM、ON、OC，如图，
∵⊙O与BC边相切于点M，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
在△OCN和△OCM中，
OM=ONOC=OCCM=CN,
∴△OCN≌△OCM(SSS)，
∴∠ONC=∠OMC=90°，
∴ON⊥CD，
∵ON为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切；
(2)解：延长NO交AB于点P，连接OA，如图，
在矩形ABCD中，∠BCD=∠B=90°，
∵OM⊥BC，ON⊥CD，
∴四边形MCNO是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MCNO是正方形，
∴ON=NC=MC，ON//BC，
∴∠APO=∠OPB=∠B=90°，
由垂径定理得PE=AP=12AE=3，
∵BE=2，AE=6，
∴AB=8，
∴BP=2+3=5，
∵∠OPB=∠B=90°，OM⊥BC，
∴四边形BMOP是矩形，
∴OM=BP=5，PO=BM，
∴AO=ON=5，
由勾股定理得PO= AO2−AP2=4，
∴BC=BM+MC=OP+ON=4+5=9．
【解析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、正方形的性质与判定、垂径定理和勾股定理．
(1)连接OM、ON、OC，如图，先根据切线的性质得到∠OMC=90°，再证明△OCN≌△OCM得到∠ONC=∠OMC=90°，然后根据切线的判定方法得到结论；
(2)延长NO交AB于点P，连接OA，如图，根据正方形的判定得到四边形MCNO是正方形，根据正方形的性质得到ON=NC=MC，ON//BC，由垂径定理得PE=AP=12AE=3，然后根据矩形的判定得到四边形BMOP是矩形，根据矩形的性质得到OM=BP=5，PO=BM，由勾股定理得PO= AO2−AP2=4，即可求出BC=BM+MC=OP+ON=4+5=9．
26.【答案】(1)证明：∵AB=BE，
∴∠BEA=∠BAE，
∵∠BCA=∠BEA，
∴∠BCA=∠BAE；
(2)解：在Rt△ABC中，AB=12，BC=5，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=13，AC是⊙O的直径，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴CE=AE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE=AE= 22AC，
∵AC=13，
∴AE= 22AC=13 22．
【解析】(1)根据等边对等角，圆周角相等即可证明；
(2)先利用勾股定理得出AC= AB2+BC2=13，再根据角平分线以及圆周角定理证明△AEC是等腰直角三角形，问题随之得解．
本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD和BEFG都是正方形，
∴BA=BC，BG=BE，
∴∠ABG+∠GBC=∠GBC+∠CBE=90°，
即∠ABG=∠CBE，
在△ABG与△CBE中，
BA=BC∠ABG=∠CBEBG=BE，
∴△ABG≌△CBE (SAS)，
∴AG=CE；
(2)解：AG=23CE.理由如下：
∵AB：BC=2：3，
设AB=2a，
则BC=3a，
∴AD=BC=3a，
∵矩形ABCD∽矩形GBEF，相似比为 3，
∴BE=GF，ABBG= 3，
∴BE=GF= 33AD= 3a，BG=2 33a，
∴ABBC=23，BGBE=2 33a 3a=23
∴ABBC=BGBE
∵∠ABG=30°，∠ABC=90°，
∴∠GBC=60°，
∴∠CBE=90°−60°=30°，
∴∠ABG=∠CBE
∴△ABG∽△CBE，
∴ABBC=AGCE=23，
即AG=23CE．
【解析】(1)根据正方形的性质，利用SAS即可证得△ABG≌△CBE，据此即可证得结论；
(2)设AB=2a，BC=3a，根据AD：GF= 3，可求得BE= 3a，BG=2 33a，据此即可证得△ABG∽△CBE，据此即可求得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
28.【答案】解：(1)把A(−2,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx−4得：
4a−2b−4=016a+4b−4=0，
解得a=12b=−1，
∴y=12x2−x−4；
(2)①如图：
在y=12x2−x−4中，令x=0得y=−4，
∴C(0,−4)，
设P(m,12m2−m−4)，则H(m,−4)，N(m,0)，
∵B(4,0)，
∴BN=4−m，CH=m，
∵BN=3CH，
∴4−m=3m，
解得m=1，
∴P(1,−92)；
②存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，
如图：
由①得：C(0,−4)，P(1,−92)，
设Q(0,t)，
∴CP2=54，CQ2=(t+4)2，PQ2=1+(t+92)2，
当CP为斜边时，CQ2+PQ2=CP2，
∴(t+4)2+1+(t+92)2=54，
化简得2t2+17t+36=0，
解得t=−4(与C重合，舍去)或t=−92，
∴Q(0,−92)；
当CQ为斜边时，CQ2=PQ2+CP2，
∴(t+4)2=1+(t+92)2+54，
解得t=−132，
∴Q(0,−132)；
当PQ为斜边时，PQ2=CQ2+CP2，
∴1+(t+92)2=(t+4)2+54，
解得t=−4(舍去)，
综上所述，Q的坐标为(0,−92)或(0,−132).
【解析】(1)用待定系数法可得y=12x2−x−4；
(2)①求出C(0,−4)，设P(m,12m2−m−4)，可得BN=4−m，CH=m，由BN=3CH，知4−m=3m，解得P(1,−92)；
②设Q(0,t)，可得CP2=54，CQ2=(t+4)2，PQ2=1+(t+92)2，分三种情况：当CP为斜边时，(t+4)2+1+(t+92)2=54，当CQ为斜边时，(t+4)2=1+(t+92)2+54，当PQ为斜边时，1+(t+92)2=(t+4)2+54，分别解方程可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
1.下列各组数中，成比例的是( )
A. 1，−2，−3，−6B. 1，4，2，−8
C. 5，6，2，3D. 2， 6，1， 3
2.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则csA的值是( )
A. 55
B. 22
C. 33
D. 2 55
3.下列各点中，在反比例函数y=−2x图象上的点是( )
A. (−4,2)B. (−2,−4)C. (−2,1)D. (2,1)
4.若点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y1>y3>y2 D. y3>y2>y1
5.下列两个图形一定是相似图形的是( )
A. 菱形B. 矩形C. 等腰三角形D. 等边三角形
6.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图：△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为(−1,2)，则点B1的坐标为( )
A. (2,−4)
B. (−2,4)
C. (3,−6)
D. (3,6)
8.如图，⊙A过点O(0,0)，C( 3,0)，D(0,1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是
( )
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
9.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是( )
A. BD=10B. HG=2C. EG//FHD. GF⊥BC
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= 5.以AB为直径作⊙O，作直径CD，连结AD并延长至点E，使DE=AD，连结CE交AB于点F，DG//AB交CE于点G.若AC=2EG，则直径AB的长为( )
A. 3 2
B. 19
C. 2 5
D. 21
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在反比例函数y=2x的图象上，若点B在反比例函数y=kx的图象上，则k=______．
12.如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE，AE=4，EB=1，则BC的长为______．
13.五边形ABCDE～五边形A′B′C′D′E′相似比为1：3.若AB=2，则A′B′= ______．
14.将含有30°角的直角三角板OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB=2 3，将三角板绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为______．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4 3，点P是直角边BC上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得线段AD，连接CD，则线段CD的最小值是______．
16.在Rt△ABC中，∠C=90°，csB=57，如果AB=14，那么AC= ______．
17.如图，A、B、C为⊙O上的点，OC//AB，连接OA，BC交于点D，若AC=CD，OC=2，则AB的长为______．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点F、G分别在AB、DC边上，沿GF将四边形AFGD翻折得到四边形EFGP，且点E落在BC边上，EP交CD于点H.若sin∠CGP=35,GF=2 5，则CE的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：(1− 3)0+|− 2|−2cs45°+(14)−1；
(2)解方程：3x2−6x−1=0．
20.(本小题4分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．
(1)请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
21.(本小题6分)
一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3.这些小球除标有的数字外都相同．
(1)从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为______；
(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
22.(本小题6分)
某片果园有果树100棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系为：y=−12x+80．
(1)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实8250千克？
(2)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
23.(本小题6分)
已知反比例函数y=m−8x(m为常数)．
(1)若函数图象经过点A(−1,6)，求m的值；
(2)若x>0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
24.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD，CH分别是AB边上的中线和高，BC=6，cs∠ACD=45，求AB，CH的长．
25.(本小题6分)
如图，矩形ABCD中，⊙O经过点A，且与边BC相切于M点，⊙O过CD边上的点N，且CM=CN．
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若BE=2，AE=6，求BC的长．
26.(本小题6分)
如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，BE平分∠ABC交⊙O于E，过B作BD⊥EC的延长线于D．
(1)若AB=BE，求证：∠BCA=∠BAE；
(2)若AB=12，BC=5，求AE的长度．
27.(本小题8分)
根据下列题目要求，解答下列问题：
(1)如图1，已知正方形ABCD和正方形BEFG，连接AG、CE.求证：AG=CE．
(2)如图2，在矩形ABCD中，AB：BC=2：3，已知矩形ABCD∽矩形GBEF，相似比为AD：GF= 3，∠ABG=30°，连接AG、CE，延长EF交BC于M.探究线段AG与CE的数量关系．
28.(本小题10分)
抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和B(4,0)，与y轴交于点C，连接BC。点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过点C作CH⊥PN于点H，BN=3CH．
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.由−2×(−3)≠1×(−6)，得1，−2，−3，−6不成比例，故A不符合题意．
B.由4×2≠1×(−8)，得1，4，2，−8不成比例，故B不符合题意．
C.由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意．
D.由 2× 3= 6×1，得 2， 6，1， 3成比例，故D符合题意．
故选：D．
根据比例的性质解决此题．
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：如图，
从图形可知：AE=4，CE=2，
由勾股定理得：AC= CE2+AE2= 22+42=2 5，
csA=AEAC=42 5=2 55．
故选：D．
根据勾股定理求出AC，根据锐角三角函数的定义求出即可．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
3.【答案】C
【解析】解：当x=−4时，y=12，故(−4,2)不在反比例函数y=−2x图象上；
当x=−2时，y=1，故(−2,−4)不在反比例函数y=−2x图象上；
当x=−2时，y=1，故(−2,1)在反比例函数y=−2x图象上；
当x=2时，y=−1，故(2,1)不在反比例函数y=−2x图象上；
故选：C．
将各选项坐标代入解析式可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，
∴y1=−6−1=6，y2=−62=−3，y3=−63=−2，
又∵−3<−2<6，
∴y1>y3>y2．
故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意；
故选：D．
根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．
此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形定义．
6.【答案】B
【解析】解：∵小正方形的边长均为1，
∴△ABC三边分别为2， 2， 10，
同理：A选项中各边的长分别为： 5，1，2 2；
B选项中各边长分别为： 2，1， 5；
C选项中各边长分别为：3、 5， 2；
D选项中各边长分别为：2， 5， 13；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 2，
故选：B．
根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
本题考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．
7.【答案】C
【解析】解：∵△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为(−1,2)，
∴点B1的坐标为[−1×(−3),2×(−3)]，即(3,−6)．
故选：C．
直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出相似三角形的性质是解题关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，关键是求出∠DCO=30°，属于基础题．
连接DC，易得∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
【解答】
解：连接DC，
∵C( 3,0)，D(0,1)，
∴∠DOC=90°，OD=1，OC= 3，
∴DC=2，
易得∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选B．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，BC=AD，
∵AB=6，BC=8，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10，
故A选项不符合题意；
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴AB=BG=6，CD=DH=6，
∴GH=BG+DH−BD=6+6−10=2，
故B选项不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，
∴EG//FH．
故C选项不符合题意；
∵GH=2，
∴BH=DG=BG−GH=6−2=4，
设FC=HF=x，则BF=8−x，
∴x2+42=(8−x)2，
∴x=3，
∴CF=3，
∴BFCF=53，
又∵BGDG=64=32，
∴BFCF≠BGDG，
若GF⊥BC，则GF//CD，
∴BFCF=BGDG，
故D选项不符合题意．
故选：D．
由矩形的性质及勾股定理可求出BD=10；由折叠的性质可得出AB=BG=6，CD=DH=6，则可求出GH=2；证出∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，由平行线的判定可得出结论；由勾股定理求出CF=3，根据平行线分线段成比例定理可判断结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接BD，
∵AB与CD是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CAD=∠CBD=90°，
∴四边形ACBD为矩形，
∴BC=AD= 5，
∵DE=AD，且DG//AB，
∴DG是△EAF的中位线，
∴AE=2AD=2 5，
设EG=FG=x，则EF=2x，
∵BC//AE，
∴△CBF∽△EAF，
∴CFEF=BCAE=12，
∴CF=x，
∴EF=2x，
∴EC=EF+CF=3x，
∵AC=2EG，
∴AC=EF=2x，
在Rt△AEC中，由勾股定理得，4x2+20=9x2，
解得x=2(负值舍去)，
∴AC=2x=4，
∴AB= AC2+BC2= 42+( 5)2= 21，
故选：D．
连接BD，得四边形ACBD为矩形，得BC=AD= 5，再根据△CBF∽△EAF，得CFEF=BCAE=12，设CF=x，则EC=EF+CF=3x，AC=2EG=2x，从而解决问题．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，证明△CBF∽△EAF是解题的关键．
11.【答案】−6
【解析】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是(m,n)，则AC=n，OC=m．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC．
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴OBOA= 3，
∴BDOC=ODAC=OBOA= 3，
设A(m,n)，则B(− 3n, 3m)，
∵点A在反比例函数y=2x的图象上，
∴mn=2，
∴− 3n⋅ 3m=−3×2=−6，
∴k=−6．
故答案为：−6．
要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：BDOC=ODAC=OBOA= 3，然后用待定系数法即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B的坐标(用含n的式子表示)是解题的关键．
12.【答案】 5
【解析】解∵四边形ABCD和四边形BCFE都是矩形，
∴AD=BC，EF=BC，
∴AD=EF=BC，
∵AE=4，EB=1，
∴AB=AE+BE=5，
∵矩形ABCD∽矩形BCFE，
∴ABBC=ADBE，即5BC=BC1，
∴BC= 5(负值舍去)，
经检验，BC= 5是原方程的解，
故答案为： 5．
先根据矩形的性质得到AD=EF=BC，再求出AB=AE+BE=5，最后根据相似多边形对应边成比例得到ABBC=ADBE，据此代值计算即可．
本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
13.【答案】6
【解析】解：∵五边形ABCDE～五边形A′B′C′D′E′相似比为1：3．
∴ABA′B′=13，
∵AB=2，
∴A′B′=6．
故答案为：6．
利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可．
本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．
14.【答案】(3,−3 3)
【解析】解：如图，过点A′作A′H⊥OB于点H．
在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2 3，
∴OB=4 3，OA=6，
∵将三角板绕原点O顺时针旋转90°，
∴OA′=OA=6，∠A′OB′=30°，
在Rt△OA′H中，∠OHA′=90°，∠A′OH=60°，
∴OH=OA′⋅cs60°=3，A′H=3 3，
∴A′(3,−3 3)，
故答案为：(3,−3 3).
如图，过点A′作A′H⊥OB于点H.解直角三角形求出OH，A′H可得结论．
本题考查旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15.【答案】2
【解析】解：将AC绕点A顺时针旋转60°至点E，连接ED，如图：
则△AED≌△ACP，
∴点D在直线ED上运动，当CD⊥ED时，CD有最小值，
过C作CF⊥AE，
∵∠B=30°，BC=4 3，
∴AE=AC=BC⋅tan30°=4 3× 33=4，
∵∠EAB=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AF=12AC=2，
∴CD=AE−AF=4−2=2．
故答案为：2．
将AC绕点A顺时针旋转60°至点E，连接ED，则△AED≌△ACP，确定点D的运动轨迹，过C作CF⊥AE，根据勾股定理即可解答．
本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，确定何时CD有最小值是解题关键．
16.【答案】4 6
【解析】解：∵csB=57，AB=14，
∴csB=BCAB=BC14=57，
∴BC=10，
∴AC= AB2−BC2= 142−102=4 6．
故答案为：4 6．
根据csB=57，AB=14，得csB=BCAB=BC14=57，求出BC=10，再根据勾股定理可得AC的长．
此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
17.【答案】2 2
【解析】解：过点O作OE⊥AB交于点E，如图：
设∠ABC=α，则∠AOC=2∠ABC=2α，
∵OC//AB，
∴∠BAO=∠AOC=2α，
则∠ADC=∠BAO+∠ABC=2α+α=3α，
∵AC=CD，
∴∠ADC=∠DAC=3α，
∵OA=OC=2，
∴∠OCA=∠OAC=3α，
∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，
即2α+3α+3α=180°，
解得：α=22.5°，
∴∠BAO=2×22.5°=45°，
∵OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，AE=BE，
∴∠EAO+∠EOA=90°，
即∠EAO=∠EOA=45°，
∴AE=OE，
在Rt△AEO中，AE2+OE2=AO2，
即2AE2=4，
解得：AE= 2，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，
∴AB=2AE=2 2，
故答案为：2 2．
过点O作OE⊥AB交于点E，设∠ABC=α，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=2α，根据平行线的性质可得∠BAO=∠AOC=2α，根据三角形的外角性质可得∠ADC=3α，根据等边对等角可得∠ADC=∠DAC=3α，∠OCA=∠OAC=3α，根据三角形的内角和定理即可求得α=22.5°，∠BAO=45°，根据直角三角形两个锐角互余可求得∠EAO=∠EOA=45°，根据等角对等边可得AE=OE，根据勾股定理即可求得AE= 2，根据垂径定理可得AE=BE，即可求解．
本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的外角性质，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形两个锐角互余，等角对等边，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆和三角形的相关知识是解题的关键．
18.【答案】 2
【解析】解：由折叠的性质得：∠AOF=∠EOF，
∵∠AOF+∠EOF=180°，
∴∠AOF=∠EOF=90°，
∴GF⊥AE，
过G作GM⊥AB于M，如图1所示：
则∠FMG=90°，四边形ADGM是矩形，
∴AD=GM，∠MFG+∠MGF=90°，
由(1)得：GF⊥AE，
∴∠MFG+∠FAO=90°，
∴∠BAE=∠MGF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠D=∠B=90°=∠FMG，
∴△ABE∽△GMF，
∴AEGF=ABGM=ABAD=ABBC=2，
∴AE=2GF，
过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，如图2所示，
由折叠的性质得：AF=EF，∠FEP=∠FAD=∠D=∠EPG=90°，
∴∠CGP+∠GHP=90°，
∵∠PEC+∠EHC=90°，∠GHP=∠EHC，
∴∠PEC=∠CGP，
∵∠BFE+∠BFE=∠BEF+∠PEC=90°，
∴∠BFE=∠PEC=∠CGP，
∵sin∠CGP=35
∴sin∠BFE=BEEF=35，
设BE=3x，则AF=EF=5x，
∴BF= EF2−BE2= 25x2−9x2=4x，
∴AB=AF+BF=9x，
∵AE=2GF，GF=2 5，
∴AE=4 5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，
即(9x)2+(3x)2=(4 5)2，
解得：x=2 23或x=−2 23(舍去)，
∴AB=9x=6 2，BE=3x=2 2，
∵AB=2BC，
∴BC=3 2，
∴CE=BC−BE=3 2−2 2= 2．
故答案为： 2．
由折叠的性质得出GF⊥AE，过G作GM⊥AB于M，证△ABE∽△GMF，得AEGF=ABGM=ABAD=ABBC=2，可得AE=2GF，过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，由折叠的性质得AF=EF，∠FEP=∠FAD=∠D=∠EPG=90°，再证出∠BFE=∠PEC=∠CGP，则sin∠BFE=BEEF=35，设BE=3x，则AF=EF=5x，BF=4x，AB=AF+BF=9x，然后在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=1+ 2−2× 22+4
=1+ 2− 2+4
=5；
(2)3x2−6x−1=0，
a=3，b=−6，c=−1，
Δ=(−6)2−4×3×(−1)=48>0．
∴x=6± 486，
∴x1=3+2 33，x2=3−2 33．
【解析】(1)先根据零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值和负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
(2)利用公式法求解．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，负整数指数幂和解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求，
由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A(2,2)，C(4,−4)，B(4,0)，易得D(4,2)，
故AD=2，CD=6，AC= 22+62=2 10，
∴sin∠ACB=ADAC=22 10= 1010，
即sin∠A2C2B2= 1010．
【解析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了平移变换以及位似变换、锐角三角三角函数关系等知识，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】12
【解析】解：(1)由题意可得，
从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为24=12，
故答案为：12；
(2)树状图如下：
由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率716．
(1)根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率；
(2)根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
22.【答案】解：(1)根据题意，得，
(−12x+80)(100+x)=8250，
解得，x1=10，x2=50，
∵投入成本最低．
∴x2=50不满足题意，舍去，
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实8250千克．
(2)根据题意可知，
w=(−12x+80)(100+x)
=−12(x−30)2+8450，
∵−12<0，
∴当x=30时，w的最大值为8450．
∴当增种果树30棵时，果园的总产量w(千克)最大，最大产量是8450千克．
【解析】(1)根据题意列出方程，可求解；
(2)根据题意列出w与x的函数关系式，根据二次函数的性质可得出结论．
本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质属于中考常考题．
23.【答案】解：(1)∵函数图象经过点A(−1,6)，
∴m−8=xy=−1×6=−6，
解得：m=2，
∴m的值是2；
(2)∵若x>0时，y随x的增大而减小，
∴m−8>0，
解得：m>8，
∴m的取值范围是m>8．
【解析】(1)将点A的坐标代入即可求得m的值；
(2)根据增减性确定m−8的符号，从而确定m的取值范围．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．
24.【答案】解：∵CD是Rt△ABC的斜边中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∴csA=cs∠ACD=45，
∵∠ACB=90°，在Rt△ABC中，
由于csA=ACAB=45，
可设AC=4x，则AB=5x，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2= (5x)2−(4x)2=3x，
∴3x=6，
即x=2，
∴AB=5x=10，AC=4x=8，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，
∴12×8×6=12×10×CH，
解得CH=245．
答：AB=10，CH=245．
【解析】根据三角形中线的定义，等腰三角形性质以及锐角三角函数可得csA=ACAB=45，设AC=4x，则AB=5x，勾股定理可求出BC=3x=6，进而求出AB，再根据三角形面积公式求出CH即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．
25.【答案】(1)证明：连接OM、ON、OC，如图，
∵⊙O与BC边相切于点M，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
在△OCN和△OCM中，
OM=ONOC=OCCM=CN,
∴△OCN≌△OCM(SSS)，
∴∠ONC=∠OMC=90°，
∴ON⊥CD，
∵ON为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切；
(2)解：延长NO交AB于点P，连接OA，如图，
在矩形ABCD中，∠BCD=∠B=90°，
∵OM⊥BC，ON⊥CD，
∴四边形MCNO是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MCNO是正方形，
∴ON=NC=MC，ON//BC，
∴∠APO=∠OPB=∠B=90°，
由垂径定理得PE=AP=12AE=3，
∵BE=2，AE=6，
∴AB=8，
∴BP=2+3=5，
∵∠OPB=∠B=90°，OM⊥BC，
∴四边形BMOP是矩形，
∴OM=BP=5，PO=BM，
∴AO=ON=5，
由勾股定理得PO= AO2−AP2=4，
∴BC=BM+MC=OP+ON=4+5=9．
【解析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、正方形的性质与判定、垂径定理和勾股定理．
(1)连接OM、ON、OC，如图，先根据切线的性质得到∠OMC=90°，再证明△OCN≌△OCM得到∠ONC=∠OMC=90°，然后根据切线的判定方法得到结论；
(2)延长NO交AB于点P，连接OA，如图，根据正方形的判定得到四边形MCNO是正方形，根据正方形的性质得到ON=NC=MC，ON//BC，由垂径定理得PE=AP=12AE=3，然后根据矩形的判定得到四边形BMOP是矩形，根据矩形的性质得到OM=BP=5，PO=BM，由勾股定理得PO= AO2−AP2=4，即可求出BC=BM+MC=OP+ON=4+5=9．
26.【答案】(1)证明：∵AB=BE，
∴∠BEA=∠BAE，
∵∠BCA=∠BEA，
∴∠BCA=∠BAE；
(2)解：在Rt△ABC中，AB=12，BC=5，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=13，AC是⊙O的直径，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴CE=AE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE=AE= 22AC，
∵AC=13，
∴AE= 22AC=13 22．
【解析】(1)根据等边对等角，圆周角相等即可证明；
(2)先利用勾股定理得出AC= AB2+BC2=13，再根据角平分线以及圆周角定理证明△AEC是等腰直角三角形，问题随之得解．
本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD和BEFG都是正方形，
∴BA=BC，BG=BE，
∴∠ABG+∠GBC=∠GBC+∠CBE=90°，
即∠ABG=∠CBE，
在△ABG与△CBE中，
BA=BC∠ABG=∠CBEBG=BE，
∴△ABG≌△CBE (SAS)，
∴AG=CE；
(2)解：AG=23CE.理由如下：
∵AB：BC=2：3，
设AB=2a，
则BC=3a，
∴AD=BC=3a，
∵矩形ABCD∽矩形GBEF，相似比为 3，
∴BE=GF，ABBG= 3，
∴BE=GF= 33AD= 3a，BG=2 33a，
∴ABBC=23，BGBE=2 33a 3a=23
∴ABBC=BGBE
∵∠ABG=30°，∠ABC=90°，
∴∠GBC=60°，
∴∠CBE=90°−60°=30°，
∴∠ABG=∠CBE
∴△ABG∽△CBE，
∴ABBC=AGCE=23，
即AG=23CE．
【解析】(1)根据正方形的性质，利用SAS即可证得△ABG≌△CBE，据此即可证得结论；
(2)设AB=2a，BC=3a，根据AD：GF= 3，可求得BE= 3a，BG=2 33a，据此即可证得△ABG∽△CBE，据此即可求得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
28.【答案】解：(1)把A(−2,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx−4得：
4a−2b−4=016a+4b−4=0，
解得a=12b=−1，
∴y=12x2−x−4；
(2)①如图：
在y=12x2−x−4中，令x=0得y=−4，
∴C(0,−4)，
设P(m,12m2−m−4)，则H(m,−4)，N(m,0)，
∵B(4,0)，
∴BN=4−m，CH=m，
∵BN=3CH，
∴4−m=3m，
解得m=1，
∴P(1,−92)；
②存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，
如图：
由①得：C(0,−4)，P(1,−92)，
设Q(0,t)，
∴CP2=54，CQ2=(t+4)2，PQ2=1+(t+92)2，
当CP为斜边时，CQ2+PQ2=CP2，
∴(t+4)2+1+(t+92)2=54，
化简得2t2+17t+36=0，
解得t=−4(与C重合，舍去)或t=−92，
∴Q(0,−92)；
当CQ为斜边时，CQ2=PQ2+CP2，
∴(t+4)2=1+(t+92)2+54，
解得t=−132，
∴Q(0,−132)；
当PQ为斜边时，PQ2=CQ2+CP2，
∴1+(t+92)2=(t+4)2+54，
解得t=−4(舍去)，
综上所述，Q的坐标为(0,−92)或(0,−132).
【解析】(1)用待定系数法可得y=12x2−x−4；
(2)①求出C(0,−4)，设P(m,12m2−m−4)，可得BN=4−m，CH=m，由BN=3CH，知4−m=3m，解得P(1,−92)；
②设Q(0,t)，可得CP2=54，CQ2=(t+4)2，PQ2=1+(t+92)2，分三种情况：当CP为斜边时，(t+4)2+1+(t+92)2=54，当CQ为斜边时，(t+4)2=1+(t+92)2+54，当PQ为斜边时，1+(t+92)2=(t+4)2+54，分别解方程可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
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